Belka obustronnie utwierdzona

Analiza drgań własnych belki obustronnie utwierdzonej o ciągłym rozkładzie masy.

EJ [Nm²]

μ [kg/m]

l

Belka obustronnie utwierdzona

Dla belki przedstawionej na rys. możemy zapisać następujące warunki brzegowe:

1) W 0 =0

2) 0 = dW 0 =0 dx

3) W l =0

4) l = dW l =0 dx

Funkcję rozwiązującą przyjmujemy jak w. Jej pierwsza pochodna wynosi:

W I x =⋅A⋅cos  x −⋅B⋅sin  x ⋅C⋅cosh  x ⋅D⋅sinh  x

Po podstawieniu otrzymujemy:

1)

2)

3)

B D=0

⋅A⋅C =0  AC =0

A⋅sin  l B⋅cos  l C⋅sinh  l D⋅cosh  l =0

4)

⋅A⋅cos  l −⋅B⋅sin  l ⋅C⋅cosh  l ⋅D⋅sinh  l =0

czyli: A⋅cos  l −B⋅sin  l C⋅cosh  l D⋅sinh  l =0

Układ równań jednorodnych rozwiązujemy przez przyrównanie wyznacznika det∣W ∣ do zera. Aby uprościć rozwinięcie wyznacznika sprowadźmy układ do dwóch równań z dwoma niewiadomymi. Z dwóch pierwszych równań wiemy, że:

B =−D A=−C

podstawmy powyższe do równań 3) i 4)

−C⋅sin  l −D ⋅cos  l C⋅sinh  l D⋅cosh  l =0

−C⋅cos  l −−D ⋅sin  l C⋅cosh  l D⋅sinh  l =0

Po przekształceniach mamy:

C sinh  l −sin  l D cosh  l −cos  l =0

C cosh  l −cos  l D sinh  l −sin  l =0

Zatem wyznacznik tego układu to:

det ∣W∣= sinh  l −sin  l  cosh  l −cos  l 

cosh  l −cos  l  sinh  l −sin  l 

det∣W∣=−sin2  l sinh2  l −cosh  l −cos l 2 =−sin2  l sinh2  l −cosh2  l 2 cos  l cosh  l −cos2  l

Korzystając ze związków:

sin2  l cos2  l =1 cosh2  l −sinh2  l =1

po uproszczeniach otrzymujemy

det ∣W∣=cosh  l⋅cos  l −1=0

Rozwiązaniem są wartości (miejsca zerowe).

 l = 2 k 1

2 ⋅

gdzie k jest liczbą naturalną. Podstawiając w miejsce k kolejne wartości k =1,2 ,3 , ...  otrzymujemy:

 = 4,712

1 l

 =7,853

2 l

 =10,996

3 l

Częstości drgań własnych wyznaczymy ze wzoru:

=2⋅ EJ

i 

Linię ugięcia opisuje wzór:

W k  x =Ak⋅sin k l −sinh k l ⋅[

sin k x −sinh k x sin k l −sinh k l

cos k x −cosh k x

−

cos k l −cosh k l

k = 1 k = 2

k = 3

Postacie drgań własnych belki obustronnie utwierdzonej w zależności od k

Postępując analogicznie możemy wyznaczyć na podstawie warunków brzegowych postacie drgań własnych prętów o różnych schematach statycznych. Wyniki obliczeń oraz schematyczne rysunki belek zestawiono w tabeli.

Postacie drgań własnych prętów

Schemat statyczny	Postać drgań własnych
μ EJ l	W  x =A ⋅sin k  x k k l
EJ μ l	sin  x −sinh  x cos  x −cosh  x W k  x =Ak⋅sin k l −sinh k l ⋅[ sin  − ] k k k k k l −sinh k l cos k l −cosh k l
EJ μ l	sin  x −sinh  x cos  x −cosh  x W k  x =Ak⋅sin k l sinh k l ⋅[ sin  − ] k k k k k l sinh k l cos k l cosh k l
EJ μ l	sin  x sinh  x W k  x =Ak⋅sin k l⋅[sin  − ] k k k l sinh k l

Źródła:

 www.sms.am.put.poznan.pl

{

{

∣ ∣



]