Wykład 3

Domknięcie, wnętrze i brzeg zbioru.

Zbiory domknięte, otwarte i brzegowe.

Niech od tej pory, o ile nie założymy inaczej,
oznacza dowolną przestrzeń metryczną.

Definicja 25 (domknięcia zbioru i zbioru domkniętego)

Domknięciem zbioru
nazywamy zbiór
. Oznaczać go będziemy symbolem
lub
. A zatem

.

Ponadto powiemy, że zbiór
jest domknięty, dokładniej domknięty w przestrzeni
, jeśli
. Zbiór wszystkich zbiorów domkniętych w przestrzeni
oznaczać będziemy symbolem
.

Przykład 26

(a) W przestrzeni euklidesowej
, np.
,
i
. Stąd w szczególności wynika, że
jest zbiorem domkniętym (stąd też nazwa tego przedziału - przedział domknięty).

(b) W przestrzeni dyskretnej
biorąc dowolny zbiór
można pokazać, że
. To pokazuje, że każdy podzbiór przestrzeni metrycznej dyskretnej jest zbiorem domkniętym.

Następne twierdzenie podaje własności domknięcia zbioru.

Twierdzenie 27 (własności domknięcia zbioru)

Dla dowolnych zbiorów
zachodzą następujące warunki:

(a)
i
,

(b)
,

(c) jeśli
, to
,

(d)
,

(e)
,

(f)
.

Dowód

(a) Mamy

.

Ponadto

,

przy czym ostatnia równość wynika stąd, że
dla wszystkich
i
.

(b) Weźmy dowolny
. Ponieważ

i
przy każdym
, to również

,

przy każdym
. To pokazuje, że
i tym samym, że
.

(c) Weźmy dowolny
. Ponieważ

przy każdym
i
, to również

,

przy każdym
. To pokazuje, że
i tym samym, że
.

(d) Ponieważ
i
, więc korzystając z (c) mamy

oraz
,

skąd

(*)
.

Pokażemy inkluzję przeciwną. Weźmy dowolny
. Wówczas dla dowolnego

,

skąd

lub
,

a stąd

lub
.

Ostatecznie
i inkluzja

(**)

zachodzi. Z (*) i (**) dostajemy równość
.

(e) Ponieważ
i
, więc korzystając z (c), mamy

oraz
,

a stąd

.

(f) Ponieważ
, więc korzystając z (c), mamy

(*)
.

Pokażemy inkluzję przeciwną. Weźmy dowolny
. Wówczas dla dowolnego

.

A zatem, istnieje
taki, że

,

lub równoważnie

(**)
i
.

I dalej, z tego, że
, dla dowolnego
mamy

.

A zatem, istnieje
taki, że

(***)
i
.

Mamy teraz na mocy (**) i (***) i nierówności trójkąta dla

.

Otrzymaliśmy więc, że
i
, co oznacza, że
przy każdym
, a to pokazuje, że
. Pokazaliśmy więc inkluzję

(****)
.

Z (*) i (****) mamy równość
.

Uwaga 28

(a) Ponieważ
(zob. twierdzenie 27 (b)), to zbiór
będzie domknięty, o ile tylko
, tj. o ile zbiór
zawiera wszystkie swoje punkty z domknięcia.

(b) Zauważmy, że inkluzji z twierdzenia 27 (e) nie da się odwrócić, tj. inkluzja
na ogół nie zachodzi. Istotnie, jeśli w przestrzeni euklidesowej
rozważyć zbiory
i
, to

.

(c) Zauważmy, że na mocy twierdzenia 27 (f) zbiór
jest zbiorem domkniętym.

(d) Zauważmy, że suma dwóch zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym. Istotnie, jeśli
są domknięte w
, tj. jeśli
i
, to na mocy twierdzenia 27 (d)
, a to właśnie oznacza, że zbiór
jest domknięty. Korzystając z zasady indukcji matematycznej można pokazać więcej, a mianowicie, że suma skończonej ilości zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.

Definicja 29 (wnętrza zbioru i zbioru otwartego)

Wnętrzem zbioru
nazywamy zbiór
. Oznaczać go będziemy symbolem
lub
. A zatem

.

Powiemy, że zbiór
jest otwarty, dokładniej otwarty w przestrzeni
, jeśli
. Zbiór wszystkich zbiorów otwartych w przestrzeni
oznaczać będziemy symbolem
.

Przykład 30

(a) W przestrzeni euklidesowej
, np.
,
i
. Stąd w szczególności wynika, że
jest zbiorem otwartym (stąd też nazwa tego przedziału - przedział otwarty).

(b) W przestrzeni dyskretnej
biorąc dowolny zbiór
można pokazać, że
. To pokazuje, że każdy podzbiór przestrzeni metrycznej dyskretnej jest zbiorem otwartym.

Zachodzi następujące twierdzenie, ustalające związek pomiędzy domknięciem a wnętrzem zbioru.

Twierdzenie 31

Dla dowolnego zbioru
zachodzi

i
.

Dowód

Weźmy dowolny
. Mamy

A zatem
. Przyjmując teraz, w udowodnionym już związku w miejsce zbioru
zbiór
dostajemy
.

Następne twierdzenie podaje własności wnętrza zbioru i jest „dualne” do twierdzenia 27.

Twierdzenie 32 (własności wnętrza zbioru)

Dla dowolnych zbiorów
zachodzą następujące warunki:

(a)
i
,

(b)
,

(c) jeśli
, to
,

(d)
,

(e)
,

(f)
.

Dowód

(a) Korzystając z twierdzeń 31 i 27 (a) dostajemy

i

,

tj.
i
.

(b) Korzystając z twierdzeń 31 i 27 (b) dostajemy

,

tj.
.

(c) Korzystając z twierdzeń 31 i 27 (c) dostajemy

tj.
, o ile tylko
.

(d) Korzystając z twierdzeń 31 i 27 (d) dostajemy

,

tj.
.

(e) Korzystając z twierdzeń 31 i 27 (e) dostajemy

,

tj.
.

(f) Korzystając z twierdzeń 31 i 27 (f) dostajemy

,

tj.
.

Uwaga 33

(a) Ponieważ
(zob. twierdzenie 32 (b)), to zbiór
będzie otwarty, o ile tylko
. Inaczej mówiąc zbiór
będzie otwarty, jeśli każdy punkt zbioru
posiada otoczenie, tj. kulę otwartą o środku w tym punkcie całkowicie zawartą w zbiorze
.

(b) Zauważmy, że inkluzji z twierdzenia 32 (e) nie da się odwrócić, tj. inkluzja
na ogół nie zachodzi. Istotnie, jeśli w przestrzeni euklidesowej
rozważyć zbiory
i
, to

.

(c) Zauważmy, że na mocy twierdzenia 32 (f) zbiór
jest zbiorem otwartym.

(d) Zauważmy, że iloczyn dwóch zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Istotnie, jeśli
są otwarte w
, tj. jeśli
i
, to na mocy twierdzenia 32 (d)
, a to właśnie oznacza, że zbiór
jest otwarty. Korzystając z zasady indukcji matematycznej można pokazać więcej, a mianowicie, że iloczyn skończonej ilości zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

Kolejne twierdzenie ustala związki pomiędzy zbiorami otwartymi a domkniętymi w dowolnej przestrzeni metrycznej.

Twierdzenie 34

Niech
będzie dowolnym zbiorem.

(a) Zbiór
jest otwarty, wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór
jest domknięty.

(b) Zbiór
jest domknięty, wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór
jest otwarty.

Dowód

(a) Korzystając z twierdzenia 31 otrzymujemy:

jest otwarty







jest domknięty.

(b) Korzystając z twierdzenia 31 otrzymujemy:

jest domknięty







jest otwarty.

Definicja 35 (brzegu zbioru i zbioru brzegowego)

Brzegiem zbioru
nazywamy zbiór

.

Oznaczać go będziemy symbolem
lub
. A zatem

.

Powiemy, że zbiór
jest brzegowy, dokładniej brzegowy w przestrzeni
, jeśli
lub równoważnie, gdy
.

Przykład 36

(a) W przestrzeni euklidesowej
, np.
,
i
.

(b) W przestrzeni dyskretnej
biorąc dowolny zbiór
łatwo pokazać, że
.

Następne twierdzenie podaje własności brzegu zbioru.

Twierdzenie 36 (własności brzegu zbioru)

Dla dowolnych zbiorów
zachodzą następujące warunki:

(a)
,

(b)
i
,

(c)
,

(d)
.

Dowód

(a) Niech
. Dostajemy

.

A zatem
.

(b) Korzystając z (a) oraz twierdzenia 27 (a) dostajemy

i
.

(c) Korzystając z (a) i twierdzenia 31 dostajemy

,

tj.
.

(d) Korzystając z (a) oraz twierdzenia 27 (d) i (e) dostajemy

,

tj.
.

Uwaga 37

(a) Zauważmy, że inkluzji z podpunktu (d) twierdzenia 36 nie da się odwrócić, tj. inkluzja
na ogół nie zachodzi. Istotnie, jeśli w przestrzeni euklidesowej
rozważyć zbiory
i
, to

.

Następne twierdzenie podaje własności brzegu zbioru.

Twierdzenie 38

Niech
będzie dowolnym niepustym zbiorem. Zachodzą następujące warunki:

(a)
,

(b)
,

(c)
.

Dowód

(a) Załóżmy najpierw, że
. Na mocy definicji domknięcia dostajemy

.

Niech
. Znajdziemy
taki, że
. Niech
. Znajdziemy
taki, że
. Postępując tak dalej, i biorąc
przy każdym
, znajdziemy
takie, że
. A zatem istnieje ciąg
taki, że

.

Z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy teraz, że
lub równoważnie
.

Załóżmy na odwrót, tj. że

.

Biorąc dowolne
znajdziemy taką liczbę naturalną
, że dla wszystkich
:
. Stąd w szczególności
, tj.
przy każdym
, a to oznacza, że
.

(b) Wynika z (a) i ze wzoru
.

(c) Wynika z (a) i ze wzoru
.

Ostatnie twierdzenie tego rozdziału stwierdzenia, że kula domknięta jest zawsze zbiorem domkniętym, a kula otwarta jest zawsze zbiorem otwartym. W dowodzie wykorzystujemy powyższe twierdzenie, a właściwie podpunkt (a) tego twierdzenia.

Twierdzenie 39

Niech
będzie dowolną przestrzenią metryczną. Zachodzą następujące warunki:

(a) dowolna kula domknięta jest zawsze zbiorem domkniętym,

(b) dowolna kula otwarta jest zawsze zbiorem otwartym.

Dowód

(a) Niech
,
,
, będzie dowolną kulą domkniętą. Pokażemy, że jest to zbiór domknięty. Na mocy uwagi 28 (a) wystarczy pokazać, że

.

Weźmy dowolny
. Na mocy twierdzenia 38 (a), istnieje ciąg
taki, że

i
.

Zauważmy dalej, że dla dowolnego
zachodzi nierówność

.

Przykładając do obu stron powyższej nierówności granicę przy
dostajemy

,

co pokazuje, że
i tym samym daje domkniętość zbioru
.

(b) Niech
,
,
będzie dowolną kulą otwartą. Pokażemy, że jest to zbiór otwarty. W tym celu, wykażemy najpierw, że zbiór
jest domknięty. Na mocy uwagi 28 (a) wystarczy pokazać inkluzję

.

Weźmy dowolny
. Na mocy twierdzenia 38 (a), istnieje ciąg
taki, że

i
.

Zauważmy dalej, że dla dowolnego
zachodzi nierówność

.

Przykładając do obu stron powyższej nierówności granicę przy
dostajemy

,

co pokazuje, że
i tym samym daje domkniętość zbioru
. Korzystając teraz z twierdzenia 34, zbiór
jest zbiorem otwartym.

9

---