WYKŁAD 5.

Badanie przebiegu zmienności funkcji.

11.1. Twierdzenia o wartości średniej.

Tw. 1.(Rolle,a)

Jeżeli funkcja
jest ciągła na przedziale
i jest różniczkowalna wewnątrz tego przedziału, przy czym
, to istnieje co najmniej jeden punkt wewnętrzny tego przedziału
taki, że pochodna w tym punkcie jest równa zeru:

.

Geometrycznie oznacza to, że istnieje co najmniej jeden punkt wewnętrzny taki, że styczna w tym punkcie krzywej jest równoległa do osi
.

PRZYKŁAD 1.

Sprawdzić, czy podana funkcja spełnia założenia tw. Rolle,a na przedziale
. Jeżeli spełnia wyznaczyć wszystkie punkty, w których pochodna wskazanej funkcji zeruje się. Narysować wykresy tych funkcji:

.

Funkcja spełnia założenia tw. Rolle,a, gdy jest ciągła na przedziale domkniętym, ma pochodną we wnętrzu tego przedziału, a jej wartości na końcach przedziału są jednakowe. Przy tych założeniach istnieje punkt należący do wnętrza rozpatrywanego przedziału, w którym pochodna danej funkcji się zeruje.

Funkcja
jest ciągła i ma pochodną właściwą na przedziale
, bo jest wielomianem. Ponadto
. Funkcja
spełnia zatem założenia tw. Rolle,a na przedziale
. Ponadto

.

Tw.2.(Lagrange,a o wartości średniej)

Jeżeli funkcja
jest ciągła na przedziale
i jest różniczkowalna wewnątrz tego przedziału, i ma pochodna właściwą wewnątrz przedziału
, to istnieje co najmniej jeden punkt wewnętrzny tego przedziału
taki, że

.

Geometrycznie oznacza to, że na łuku
, który jest wykresem linii
znajduje się jeden punkt
, w którym styczna jest równoległa do cięciwy łączącej końce tego łuku.

PRZYKŁAD 2.

Zastosować tw. Lagrange'a do podanej funkcji na wskazanym przedziale. Wyznaczyć odpowiednie punkty:

.

Funkcja
jest ciągła na przedziale domkniętym
oraz ma pochodną
na przedziale otwartym
, zatem spełnia założenia tw.. Teza tego tw. Dla funkcji
ma postać:

.

Stąd
, czyli
lub
.

11.2. Badanie przebiegu zmienności funkcji. Ekstrema funkcji.

Badanie przebiegu zmienności funkcji opiera się na następujących twierdzeniach podstawowych (będących wnioskami z twierdzenia Lagrange'a):

Tw. 3. Niech
oznacza dowolny przedział. Jeżeli dla każdego
funkcja spełnia warunek:

1. 
   to jest stała na
   ,

2. 
   to jest rosnąca na
   ,

3. 
   to jest niemalejąca na
   ,

4. 
   to jest malejąca na
   ,

5. 
   to jest nierosnąca na
   .

Mówimy, że funkcja
ma w punkcie
maksimum lokalne (minimum lokalne) jeżeli istnieje takie otoczenie punktu
, że dla wszystkich punktów tego otoczenia zachodzi równość

.

Maksima i minima funkcji noszą wspólną nazwę ekstremów funkcji.

Wyznaczenie ekstremum funkcji (maksimum lub minimum) opiera się na następujących twierdzeniach:

Tw. 4,(Fermata)

Jeżeli funkcja
ma

1. ekstremum lokalne w punkcie
   ,

2. pochodną
   .

to jest równa
.

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Na przykład funkcja
ma pochodną
, która jest równa zeru dla
, funkcja w tym punkcie nie posiada ekstremum.

Funkcja może mieć ekstremum tylko w punktach, w których jej pochodna równa się zero albo w punktach, w których jej pochodna nie istnieje.

Tw. 5.

Jeżeli pierwsza pochodna przy przejściu zmiennej
przez punkt
zmienia znak z ujemnego na dodatni (z dodatniego na ujemny), to funkcja
osiąga ekstremum (minimum w pierwszym, a maksimum w drugim przypadku).

11. 3. Punkty przegięcia.

Punktem przegięcia wykresu funkcji
, gdy funkcja
ma drugą pochodną ciągłą, nazywamy taki jej punkt, w którym styczna do krzywej przechodzi z jednej strony na drugą.

Na przykład początek układu współrzędnych jest punktem przegięcia krzywej
; oś Ox jest styczną do krzywej w punkcie
i jednocześnie przecina krzywą w punkcie styczności.

Punktu przegięcia wyznaczamy przy pomocy następujących twierdzeń:

Tw. 6. Jeżeli funkcja
ma drugą pochodną ciągłą, to w punktach przegięcia wykresu funkcji druga pochodna
.

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Na przykład druga pochodna funkcji
jest równa zeru dla
, a wykres funkcji nie ma jednak punktu przegięcia (ma w tym punkcie minimum).

Tw. 7. Jeżeli druga pochodna przy przejściu przez punkt
zmienia znak z ujemnego na dodatni (z dodatniego na ujemny), to wykres funkcji
ma punkt przegięcia w punkcie
.

11. 4. Wypukłość i wklęsłość funkcji.

Niech będą dane dwie liczby
. Wypukłą kombinacją tych liczb nazywamy każdą liczbę postaci

, gdzie
. (1)

Każda liczba tej postaci spełnia nierówność
, to znaczy że każda wypukła kombinacja dwóch liczb leży na odcinku, którego końcami są te liczby.

Mówimy, że funkcja
określona w przedziale
jest wypukła w tym przedziale, jeżeli dla każdej liczby postaci (1) przy dowolnych
i
z przedziału
zachodzi nierówność

, gdzie
. (2)

Na podstawie geometrii analitycznej wiemy, że punkt
, gdzie
określone wzorem (1), a
wzorem (2), leży na odcinku, którego końcami są punkty o współrzędnych
i
. Warunek (2) wypukłości funkcji
oznacza więc geometrycznie, że łuk wykresu funkcji
o końcach
i
znajduje się całkowicie poniżej cięciwy
, jakiekolwiek obierzemy punkty
i
wykresu funkcji wypukłej.

Mówimy, że funkcja
określona w przedziale
jest wklęsła w tym przedziale, jeżeli dla każdej liczby
postaci (1) przy dowolnych
i
z przedziału
zachodzi nierówność

, gdzie
. (3)

Jeżeli funkcja jest wklęsła, to łuk wykresu funkcji znajduje się zawsze ponad cięciwą, łączącą końce łuku.

Kolejne twierdzenie jest warunkiem wystarczającym wypukłości.

Tw. 8. Niech
będzie dowolnym przedziałem. Jeżeli dla każdego
funkcja
spełnia warunek

1. 
   to jest ściśle wypukła na
   ,

2. 
   to jest wypukła na
   ,

3. 
   to jest ściśle wklęsła na
   ,

4. 
   to jest wklęsła na
   .

Jeżeli funkcja
posiada w przedziale
pierwszą pochodną malejącą lub drugą pochodną ujemną, ton jest w tym przedziale funkcją wklęsłą.

12.5. Asymptoty funkcji.

Def. 1.(asymptota pionowa lewostronna)

Prosta
jest asymptotą lewostronną funkcji
, jeżeli

albo
.

Podobnie definiujemy asymptotę pionową prawostronną.

Def. 2.(asymptota pionowa obustronna)

Prosta jest asymptotą pionową obustronną lub krótko asymptotą pionową funkcji, jeżeli jest jednocześnie asymptotą lewostronną i prawostronną.

Funkcja elementarna może mieć asymptoty pionowe jedynie w skończonych krańcach dziedziny, które do niej nie należą.

Def. 3.(asymptota ukośna funkcji)

Prosta
jest asymptotą ukośną funkcji
w
wtedy i tylko wtedy, gdy

.

Obrazowo: prosta jest asymptotą ukośną funkcji w
, gdy jej wykres dla argumentów leżących blisko
praktycznie pokrywa się z tą prostą.

Podobnie definiuje się asymptotę ukośną w
. Współczynniki tej asymptoty oznaczamy symbolami
i
. Jeżeli współczynnik
jest równy zeru, to asymptotę ukośną nazywamy poziomą. Warto podkreślić, że asymptota ukośna może przecinać wykres funkcji nieskończenie wiele razy. Np. prosta
jest asymptotą ukośną funkcji
w
.

Warunek istnienia asymptoty ukośnej.

Prosta
jest asymptotą ukośną funkcji
w
wtedy i tylko wtedy, gdy

oraz
.

Jeżeli funkcja
ma asymptotę w
, to kąt
nachylenia siecznej łączącej punkty
dąży, gdy
do kąta
nachylenia asymptoty. Prawdziwe są też analogiczne wzory dla asymptot ukośnych w
.

Warunek istnienia asymptoty poziomej.

Prosta
jest asymptotą poziomą funkcji
w
wtedy i tylko wtedy, gdy

.

Analogicznie wygląda warunek istnienia asymptoty poziomej w
.

1

2

---