1. WSTĘP

Celem tego ćwiczenia jest zbadanie korelacji liniowej pomiędzy prądem płynącym w obwodzie i jego napięciem w oparciu podstawowy wzór stosowany w dziedzinach związanych z przepływem prądu, zwany prawem Ohma:

R =
,

U - napięcie [V]

I - natężenie [A]

R - rezystancja [Ώ]

Mierząc poszczególne wartości natężenia prądu I dla różnych wartości napięcia U możemy wyznaczyć wartość rezystancji R i sprawdzić czy zależy ona liniowo od U.

Drugim etapem ćwiczenia będzie wykonanie będzie wykonanie pomiarów charakterystyki prądowo - napięciowej dla elementu nieliniowego oraz przestawieniu zależność I(U) na wykresie.

Metody wyznaczenie nieznanej rezystancji

1. Z wykorzystaniem amperomierza i woltomierza [pomiar pośredni]

Pomiar bezpośredni polega na wyznaczeniu rezystancji z powyższego prawa Ohma

R =
, gdzie U jest wartością spadku napięcia na rezystorze, natomiast I wartością natężenie prądu płynącego przez rezystor. Stosuje się dwie metody łączenia układów pomiarowych w zależności od wartości rezystancji wewnętrznych mierników:

a.) R_x << Rv

gdzie R_x - opór mierzony, a R_v - opór wewnętrzny woltomierza

Przez woltomierz nie płynie prąd, gdy rezystancja wewnętrzna woltomierza R_v jest nieskończenie duża.

b.) R_x >>R_A

gdzie R_x - opór mierzony, a R_A - opór wewnętrzny amperomierza

Amperomierz nie ma wpływu na spadek napięcia mierzony na rezystorze R_x , gdy rezystancja wewnętrzna amperomierza R_A jest nieskończenie mała.

2. Pomiar omomierzem - pomiar bezpośredni

Pomiar omomierzem polega na pomiarze rezystancji za pomocą specjalnego urządzenia - omomierza. Metoda ta jest jedynie z pozoru metodą bezpośrednią, ponieważ omomierze realizują pomiar wykorzystując prawo Ohma czyli mierząc zależność U(I).

3. Mostek Wheatstone'a

Pomiar z wykorzystaniem tej metody polega na takim dobraniu rezystancji, aby mostek znajdował się w równowadze.

Wartości oporów rezystorów R₃ i R₃ są identyczne, tzn. R₃ = R₄ . Regulując rezystancję można ustalić poziom równowagi, czyli taki, w którym przez galwanoskop nie będzie płynął prąd. Wówczas R₁ = R₂

4. Metoda porównawczo - prądowa

Metoda porównawczo prądowa polega na porównaniu prądu płynącego przez rezystor wzorcowy z prądem płynącym przez badany rezystor przy takim samym napięciu zasilania. ( W oparciu o prawo Ohma można wyznaczyć szukaną rezystancję).

5. Metoda porównawczo - napięciowa

Metoda porównawcza napięciowa polega na szeregowym połączeniu rezystora wzorcowego z badanym rezystorem. Dokonujemy pomiaru napięcia najpierw na rezystorze badanym a następnie na rezystorze wzorcowym. Jeżeli pomiar został dokonany

Przy niezmienionej wartości prądu płynącego w obwodzie, to w oparciu o prawo Ohma można wyznaczyć szukaną rezystancję.

2. UKŁAD POMIAROWY

Obwód elektryczny, który badamy, składa się z się z zasilacza laboratoryjnego generującego napięcie o zakresie od 0 do 30V, amperomierza o klasie dokładności 1,5 i zakresie maksymalnym mierzonym 1,5A, woltomierza o klasie dokładności 1 i zakresie maksymalnym mierzonym 100V oraz z rezystora o badanym oporze. W drugiej części ćwiczenia opornik zastąpimy wpiętą szeregowo diodą. Schemat układu poniżej:

Dokładności przyrządów obliczamy jest sumą błędu systematycznego danego przyrządu oraz błędu odczytu:
, zatem

• Dokładność odczytu dla woltomierza:

U =
= 0.1V

• Dokładność odczytu dla amperomierza:

I =
= 0,9mA

3. WYKONANIE ĆWICZENIA

1. Badanie zależności U(I) dla opornika.

1. Podłączenie układu pomiarowego zgodnie ze schematem

2. Uruchomienie układu

3. kalibracja przyrządów pomiarowych

4. Pojedynczy pomiar wartość U oraz I dla losowo ustawionego napięcia oraz odczyt uzyskanych wartości.

5. Obliczenie błędów systematycznych przyrządów pomiarowych w danym zakresie pracy

6. Wykonanie dziesięciu pomiarów napięcia i natężenia dla różnych napięć.

7. Zestawienie wyników w tabeli

8. Obliczenie wartości R_x oraz
   R_x dla pojedynczego pomiaru

9. Wyznaczenie wartości R_x oraz
   R_x z MNSK

10. Sporządzenie wykresu w programie Origin

2. Badanie zależności I(U) dla diody

1. Modyfikacja układu pomiarowego przez zastąpienie rezystora diodą.

2. Wykonanie ośmiu pomiarów napięcia i natężenia dla różnych napięć

3. Spisanie wyników serii pomiarów w formie tabeli

4. Sporządzenie wykresu w specjalnym do tego celu przeznaczonym programie komputerowym.

5. WYNIKI I OPRACOWANIE - DLA UKŁADU Z OPORNIKIEM

• Pierwszy pojedynczy pomiar U i J

U_x=6 V , I_x=20 mA

Rezystancja rezystora jest zatem równa:

Lp.	U[V]	Ux [V]	Ix[mA]
1	1	0,9	2,8
2	2	2,05	6,5
3	3	3	9,7
4	4	4	12,7
5	5	5,2	17
6	6	6	20

Dane zebrane w tabeli powyżej wprowadzamy do programu Origin, a następnie sporządzamy wykres punktów wynikających z odczytu dla U(I). Linearyzujemy wykres w programie za pomocą metody sumy najmniejszych kwadratów.

Prosta pokazana na wykresie opisana jest równaniem Y = A + BX. Po przekształceniu prawa Ohma R =
do postaci U= R I. Można zauważyć, że jest to funkcja liniowa. Ponieważ U znajduje się na osi Y natomiast I na Osi X, więc U = A +BI, gdzie wg programu A = 0,1108
0,06074 B = 0,291
0,00472. Współczynnik determinacji R² jest równy 99,9% co oznacza że prosta bardzo dobrze została dopasowana do danych.

6. RACHUNEK BŁĘDÓW DLA UKŁADU Z OPORNIKIEM

1. Błąd systematyczny pojedynczego pomiaru

Dla przykładu wybrałem pomiar nr 2 z tabeli.

U = 0,1V

I = 0,9mA

U₂ = 2,05 [V]

I₂ = 6,5 [mA]

Więc R =
=
= 315,385 [
]

Po zaokrągleniu R=315 [
]

R =
= 15,4+2,1=17,6[
]

Po zaokrągleniu
R= 18 [
]

Rx= 315
18[
]

2. Błąd
   Rx z wykorzystaniem metody sumy najmniejszych kwadratów

Wyniki z programu Origin: B=291,8Ω; Sd= 4,72Ω

Poziom ufności β=68%, liczba pomiarów n=6, k=4

t(68%,4)= 1,15

• Wynik dla serii pomiarów:

Rx=291±12Ω

• Wynik dla pojedynczego pomiaru:

Rx=315±18Ω

7. WYNIKI I OPRACOWANIE DLA UKŁADU Z DIODĄ

Lp.	U[V]	Ux [V]	Ix[mA]
1	0,1	0,13	0,01
2	0,2	0,24	0,0125
3	0,3	0,34	0,0275
4	0,4	0,38	0,055
5	0,5	0,44	0,1225
6	0,6	0,50	0,62
7	0,7	0,64	13
8	0,8	0,7	52

Dane zebrane w tabeli powyżej zostały wykorzystane do narysowania wykresu liniowego U(I) dla diody.

Współczynnik determinacji R² wynosi 58,826% co oznacza że model nie jest wystarczająco dobrze dopasowany do danych.

Dopasowanie danych z tabeli dla funkcji exp przedstawia poniższy wykres:

Funkcja natężenia prądu na diodzie Ix od napięcia Ux na diodzie dana wzorem:

Przy czym: k -stała Bolzmana

T - temperatura [K]

Przekształcenie wykresu:

Poniższy wykres jest wykresem tej zależności wraz z dopasowaniem liniowym:

Współczynnik determinacji R² dla powyższego wykresu wynosi 99,55%, co oznacza że prosta została bardzo dobrze dopasowana do danych. Błąd przypadkowy MNSK wyniósł 5,301 Ω bez uwzględnienia współczynnika t-Studenta, co jest również wielkością zadowalającą.

8. RACHUNEK BŁĘDÓW DLA UKŁADU Z DIODĄ

1.) Błąd systematyczny pojedynczego pomiaru

Dla przykładu wybrałem pomiar nr 3 z tabeli.

U = 0,1V

I = 0,9mA

U₂ = 0,34 V]

I₂ = 0,0275 mA

Więc R =
=
= 1236,37 [
]

Po zaokrągleniu R = 1237 [
]

R =
= 453,2 [
]

2.) Błąd
Rx z wykorzystaniem metody sumy najmniejszych kwadratów

Wyniki z programu Origin: B=291,8Ω; Sd= 5,301Ω

Poziom ufności β=68%, liczba pomiarów n=6, k=4

t(68%,4)= 1,15

• Wynik dla serii pomiarów:

Rx=291±262Ω

• Wynik dla pojedynczego pomiaru:

Rx=1237±453,2Ω

9. WNIOSKI

• Doświadczenie potwierdziło, że pomiędzy napięciem a natężeniem prądu dla opornika zachodzi korelacja liniowa.

• Metoda sumy najmniejszych kwadratów jest odpowiednią metodą dla zależności, które w uzasadniony sposób można traktować za liniowe.

• Opór rezystora zmienia się w zależności od temperatury pracy. Wzór
  pokazuje, że jeśli natężenie lub napięcie rośnie, moc, która wydziela się na rezystorze również rośnie. Jest to związane z wydzielaniem się coraz większych ilości ciepła. Dla każdego rezystora określa się zwykle maksymalną temperaturę pracy.

• Celem metoda najmniejszej sumy kwadratów jest wyznaczenie mierzonej wielkości fizycznej i jej błędu, łączącej dwie wielkości przy założeniu, że pomiędzy tymi wielkościami istnieje zależność proporcjonalna..

Michał Kieryk gr. 26 zespół 9

9