Egzamin 2001.03.24

Zadanie 1.

Treść

Inwestor inwestuje kapitał w wysokości
zł na okres jednego roku przy natężeniu oprocentowania (force of interest)
. Ile wynosi wartość kapitału wraz z należnymi odsetkami w zaokrągleniu do pełnych
zł na koniec okresu inwestycji.

Odpowiedź (podaj najbliższą wartość):

• A)
  zł

• B)
  zł

• C)
  zł

• D)
  zł

• E)
  zł

Rozwiązanie — Wojciech Antoniak

Rozwiązanie

Współczynnik akumulacji
w rozpatrywanym przypadku jest postaci:

Zatem współczynnik akumulacji na okres jednego roku przy natężeniu oprocentowania
jest równy:

Zatem wartość kapitału po jednym roku jest równa

Prawdziwa jest odpowiedź E.

Zadanie 2.

Treść

Inwestor zakupił trzy maszyny o wartości
każda. Każda z nich amortyzowana jest przy pomocy innej metody przez okres
lat, i tak:

• maszyna
  amortyzowana jest przy pomocy metody amortyzacji liniowej (straight line method)

• maszyna
  amortyzowana jest przy pomocy metody stałej stopy amortyzacji (compound discount method)

• maszyna
  amortyzowana jest przy pomocy metody liniowo malejących odpisów amortyzacyjnych (sum of the digit method)

Po
latach każda z nich warta jest
. Ile warte będą razem maszyny po
latach.

Odpowiedź (podaj najbliższą wartość):

• A)
  

• B)
  

• C)
  

• D)
  

• E)
  

Rozwiązanie — Sławomir Beling 2008/10/19

Rozwiązanie

Oznaczam:

- wartość
maszyny po czasie

- okres amortyzacji
maszyny

Mam dane:

dla

dla

Mam do obliczenia:

Rozwiązuję:

Najpierw obliczę

Amortyzacja przy pomocy metody amortyzacji liniowej oznacza, że wartość maszyny w każdym roku spada o tę samą kwotę (podobnie jak przy obliczaniu odsetek przy kapitalizacji prostej). Wobec tego wiedząc, że w ciągu pierwszych
lat wartość maszyny spadła o pewną kwotę, mogę wywnioskować, że w każdym roku jej wartość spada o
tej kwoty. Co więcej, w kolejnych
latach jej wartość spadnie dokładnie o tę samą kwotę co przez pierwsze
lat. Zatem nie będę potrzebował nawet przekształcać znanego mi wzoru:

na wartość maszyny po czasie
od chwili zakupu przy zastosowaniu metody amortyzacji liniowej, gdyż w rozważanym przypadku, dla
(ponieważ mamy daną wartość maszyny po
latach), przy moich oznaczeniach, będzie on równoważny następującemu równaniu:

Podstawiając dane otrzymuję:

Teraz obliczę

Amortyzacja przy pomocy stałej stopy amortyzacji oznacza, że wartość maszyny w każdym roku spada o tę samą część aktualnej wartości (podobnie jak przy obliczaniu odsetek przy kapitalizacji złożonej). Wobec tego wiedząc o ile
spadła wartość maszyny w ciągu pierwszych
lat, wiem, że o ten sam
spadnie w ciągu kolejnych
lat. W tym przypadku również nie potrzebuję nawet znać żadnego wzoru. Mam:

Podstawiając dane otrzymuję:

Pozostało mi do obliczenia

Niech:
- strata wartości maszyny w
roku. Amortyzacja przy pomocy liniowo malejących odpisów amortyzacynych oznacza, że kwoty o które maszyna zmniejsza swoją wartość w kolejnych latach zmniejszają się liniowo (kwota o którą maszyna zmniejszy swoją wartość w
okresie jest odwrotnie proporcjonalna do
). Zauważam, że:

oraz

Ponieważ
jest odwrotnie proporcjonalne do
to obliczę:

Wynik interpretuję, że kwota o którą wartość maszyny zmalała podczas pierwszych
lat jest
razy większa od kwoty, o którą wartość tej maszyny zmalała podczas kolejnych
lat.

Stąd wyprowadzam wzór:

Podstawiając dane do wzoru otrzymuję:

Teraz wystarczy, że zsumuję otrzymane wartości i otrzymam wynik:

Zatem prawidłowa jest odpowiedź C.

Zadanie to można zrobić korzystając bezpośrednio ze wzorów. Moje rozwiązanie pokazuje, że czasami nie musimy pamiętać samych wzorów, jeśli rozumiemy istotę rozważanych zagadnień.