POLITECHNIKA WARSZAWSKA
INSTYTUT RADIOELEKTRONIKI
ZAKŁAD RADIOKOMUNIKACJI
LABORATORIUM SYGNAŁÓW I SYSTEMÓW
Ćwiczenie 1
Temat: MODELE CZĘSTOTLIWOŚCIOWE SYGNAŁÓW
Opracowała: mgr inż. Kajetana Snopek
Warszawa 2002
Cel ćwiczenia
•ilustracja związków między opisem w dziedzinie czasu i częstotliwości dla wybranych sygnałów ciągłych okresowych i impulsowych
•synteza sygnału okresowego
•ilustracja wpływu układu liniowego na widmo sygnału
•badanie widma sygnału zmodulowanego AM
Wprowadzenie teoretyczne
Szereg trygonometryczny Fouriera
Rozważmy sygnał rzeczywisty okresowy x(t), t∈R o okresie T.
Rozwinięcie tego sygnału względem funkcji harmonicznych sin(kω0t), cos(kω0t), k=0,1,2,... ma postać trygonometrycznego szeregu Fouriera postaci:
(1)
gdzie
(2)
oraz
,
jest częstotliwością podstawową sygnału.
Amplitudą k-tej harmonicznej nazywamy
, natomiast fazą k-tej harmonicznej nazywamy
. Widmem amplitudowym nazywamy {|dk|, k=0,1,2,...}, natomiast widmem fazowym {ψk, k=0,1,2,...}.
Jeżeli sygnał jest funkcją parzystą, to współczynniki bk=0, natomiast w przypadku sygnału nieparzystego ak=0.
1.2 Szereg wykładniczy Fouriera
Podstawiając do szeregu (1) znane wzory Eulera
otrzymujemy szereg postaci
(3)
gdzie
oraz
Między współczynnikami zachodzi oczywista zależność
.
W tym przypadku k-tą składową harmoniczną nazywamy funkcję
(4)
Amplitudą k-tej składowej harmonicznej nazywamy moduł 2|ck|, natomiast fazą k-tej składowej harmonicznej arg(ck)=ϕk.
Szereg (2) daje się zapisać w skróconej postaci
(5)
gdzie
, zwanej wykładniczym szeregiem Fouriera. W tym przypadku widmem amplitudowym określamy ciąg {|ck|, k=0,∓1, ∓2,...}, widmem fazowym ciąg {ϕk: ϕk=arg(ck), k=0,∓1, ∓2,...}, natomiast widmem mocy {|ck|2, k=0,1,2,...}. Zauważmy, że w widmie zespolonym występują częstotliwości ujemne, których nie posiada widmo wyznaczone za pomocą trygonometrycznego szeregu Fouriera. Współczynniki ck szeregu (4) oraz współczynniki ak i bk szeregu (2) powiązane są relacjami
oraz c0 = a0 (6)
Przykłady
sygnał prostokątny o amplitudzie =1 i współczynniku wypełnienia d ma rozwinięcie w szereg Fouriera postaci
(7)
sygnał trójkątny o amplitudzie =1 i współczynniku wypełnienia d ma rozwinięcie w szereg Fouriera postaci
(8)
Współczynnik wypełnienia d jest zdefiniowany jako iloraz
(9)
gdzie parametry T1 oraz T pokazane są na poniższym rysunku
1.3 Przekształcenie Fouriera
Przekształcenie Fouriera (transformacja Fouriera) znajduje zastosowanie w analizie widmowej sygnałów nieokresowych (np. impulsowych). Jest ono zdefiniowane w sposób następujący
(10)
(11)
gdzie
(12)
1.4 Synteza sygnału
Zadanie syntezy polegające na rekonstrukcji sygnału na podstawie jego widma można efektywnie rozwiązać przy dostatecznie dużej liczbie składowych harmonicznych m (teoretycznie przy m=∞). Do oceny dokładności przybliżenia kształtu danego przebiegu przez szereg Fouriera mogą służyć zależności energetyczne. Jako miarę przybliżenia przyjmijmy odchylenie średniokwadratowe o postaci
(13)
gdzie x(t) jest szeregiem Fouriera określonym wzorem (2), natomiast xm(t) szeregiem zawierającym tylko m harmonicznych. Można pokazać, że błąd średniokwadratowy jest równy sumie mocy pominiętych składowych harmonicznych, tzn.
(14)
1.5 Współczynnik zawartości harmonicznych
Współczynnikiem zawartości harmonicznych nazywamy wielkość
(15)
1.6 Modulacja AM z falą nośną
Przy modulacji amplitudy z falą nośną funkcja modulująca ma postać
(16)
gdzie m jest stałą określającą głębokość modulacji. Przebieg zmodulowany ma zatem postać analityczną
(17)
gdzie F0 nazywamy częstotliwością nośną.
Przykład.
Sygnał modulujący ma postać
sygnał zmodulowany można zapisać w postaci
Korzystając z wzorów Eulera otrzymujemy postać
1.7 Wpływ układu liniowego na widmo sygnału
Rozważmy liniowy układ transmisyjny o transmitancji H(s), zdefiniowanej jako stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego przy zerowych warunkach początkowych w chwili t=0
(18)
Jeżeli w układzie transmisyjnym panuje stan ustalony przy pobudzeniu sinusoidalnym o częstotliwości f0, to zależność między amplitudami zespolonymi sygnału wejściowego X oraz sygnału wyjściowego Y dana jest wzorem
(19)
Charakterystyką amplitudową układu transmisyjnego nazywamy funkcję A(2πf)=
, natomiast charakterystyką fazową funkcję
.
Jeżeli przez układ o transmitancji H(s) przechodzi sygnał okresowy x(t) o częstotliwości podstawowej f0 oraz widmie {Xk, k=0,∓1, ∓2,...}, to widmo amplitudowe sygnału wyjściowego daje się wyrazić wzorem
(20)
Widmo fazowe sygnału wyjściowego można wyznaczyć z zależności
(21)
Przykład.
Niech liniowym układem transmisyjnym będzie filtr RC o transmitancji
(22)
czyli
(23)
Charakterystyka amplitudowa filtru RC wyraża się wzorem
(24)
natomiast charakterystyka fazowa dana jest wzorem
(25)
Zadania do wykonania w domu
2.1 Wyznaczyć na podstawie wzorów (7) i (8) widma amplitudowe, fazowe i mocy następujących sygnałów okresowych o częstotliwości f =1kHz , A=1 V (pierwszych 10 prążków):
przebiegu prostokątnego o współczynnikach wypełnienia d=1/2, 1/3
przebiegu trójkątnego o współczynnikach wypełnienia d=0,1/2
Obliczyć dla powyższych sygnałów współczynniki zawartości harmonicznych oraz moc sygnału (z definicji).
2.2 Wyprowadzić wzór na transformatę Fouriera
impulsu prostokątnego o czasie trwania Tw
impulsu trójkątnego o czasie trwania Tw
2.3 Wyznaczyć i naszkicować widma amplitudowe i fazowe następujących sygnałów:
a) sygnału AM zmodulowanego sygnałem sinusoidalnym o częstotliwości f0=200 Hz i amplitudzie A=1 V; przyjąć F0=2 kHz, m=0.5
sygnału AM zmodulowanego przebiegiem prostokątnym o amplitudzie A=1 V, współczynniku wypełnienia d=1/2 i częstotliwości f0=200 Hz; przyjąć F0=2 kHz, m=0.5
W przypadkach a) i b) obliczyć stosunek mocy zawartej w prążkach bocznych do całkowitej mocy sygnału.
2.4 Wyznaczyć widma amplitudowe i fazowe sygnału po przejściu przez filtr RC o parametrach R=20 kΩ, C=220 nF i transmitancji
, na którego wejście podano:
sygnał sinusoidalny o amplitudzie A=1 V i częstotliwości f0=1 kHz
przebieg prostokątny o amplitudzie A=1 V , wypełnieniu d=1/2 oraz częstotliwości 1 kHz
Naszkicować charakterystykę amplitudową i fazową filtru o wymienionych parametrach.
2.5 Wyznaczyć błąd średniokwadratowy aproksymacji fali prostokątnej o amplitudzie A=1V i okresie T=0.001 w funkcji liczby harmonicznych szeregu Fouriera (m=1,2,...10).
Zadania do wykonania w laboratorium
Potrzebne przyrządy:
generator sygnałowy TG230 2MHz
oscyloskop OX803 35MHz
komputer z oprogramowaniem (programy analiza.tpt, four.m, syntez.m)
3.1 Badanie widma sygnałów okresowych
Połączyć wyjście generatora sygnałowego MAIN OUT przy pomocy trójnika z oscyloskopem (kanał CH1 lub CH2) i komputerem. Na generatorze ustawić kształt sygnału o zadanej amplitudzie i częstotliwości (patrz punkt 2.1). Obserwować na oscyloskopie generowany sygnał dobierając właściwy współczynnik wypełnienia. Przebiegi niesymetryczne (d≠1/2) otrzymujemy wciskając na generatorze przycisk SYM. Po uzyskaniu właściwego sygnału uruchomić program analiza (pulpit). Na ekranie monitora pojawia się okno z dwoma przyciskami POMIAR i ANALIZA. Po naciśnięciu przycisku ANALIZA na wykresie górnym rysowany jest generowany przebieg, natomiast na wykresie dolnym jego widmo. Istnieje możliwość powiększania wykresów, zmiany ich skali itd.
przeanalizować widma amplitudowe sygnałów wymienionych w punkcie 2.1.
dla każdego z sygnałów należy odczytać wartości pierwszych 10 prążków widma, nanieść je na wykres sporządzony w domu lub umieścić w tabelce oraz porównać je z wartościami obliczonymi teoretycznie.
na podstawie odczytanych wartości obliczyć współczynniki zawartości harmonicznych dla każdego z sygnałów
na podstawie odczytanych wartości wyznaczyć widmo mocy badanych sygnałów
obliczyć moc zawartą w 10 pierwszych prążkach widma dla każdego z sygnałów
skomentować rozbieżności między wynikami teoretycznymi a obliczonymi
3.2 Badanie widma sygnałów impulsowych
Widmo sygnałów impulsowych prostokątnych i trójkątnych obserwowane jest przy pomocy programu four.m. Korzystamy z opcji impuls, która umożliwia analizę transformaty Fouriera sygnałów wymienionych w punkcie 3.2.
Zaobserwować i opisać zachowanie się widma amplitudowego i fazowego impulsu prostokątnego oraz impulsu trójkątnego w funkcji czasu trwania impulsu
Czym różni się widmo amplitudowe i widmo mocy impulsu prostokątnego od widma impulsu trójkątnego?
3.3 Badanie widma sygnału AM zmodulowanego napięciem okresowym
Opcja mod.sygnałem umożliwia obserwację sygnału AM zmodulowanego sygnałem sinusoidalnym oraz przebiegiem prostokątnym o zadanych parametrach.
Zaobserwować i opisać sposób, w jaki zmienia się sygnał zmodulowany oraz jego widmo, gdy zmieniamy amplitudę i częstotliwość sygnału modulującego. Na podstawie przykładowych danych obliczyć moc zawartą w prążkach bocznych w stosunku do całkowitej mocy sygnału AM.
3.4 Badanie widma sygnału okresowego po przejściu przez filtr RC
Opcja pobudzenie w programie four.m umożliwia analizę charakterystyk amplitudowej i fazowej filtru RC oraz obejrzenie widma amplitudowego i fazowego sygnału po przejściu przez filtr o zadanych parametrach.
Zaobserwować widmo sygnału sinusoidalnego oraz fali prostokątnej po przejściu przez filtr RC
W jaki sposób filtr RC wpływa na widmo amplitudowe i fazowe sygnału?
3.4 Synteza sygnału
Uruchomić program syntez.m (Matlab), który umożliwia wprowadzenie wartości amplitud i faz dziesięciu pierwszych wyrazów szeregu trygonometrycznego Fouriera i obserwację powstającego sygnału.
dokonać syntezy sygnałów opisanych w punkcie 2.1 korzystając z wyznaczonego w domu ich widma amplitudowego i fazowego. Wprowadzając stopniowo kolejne harmoniczne opisać obserwowane efekty (w szczególności efekt Gibbsa)
Skomentować rozbieżności między sygnałem aproksymowanym i aproksymującym w przypadku fali prostokątnej i trójkątnej.
W którym przypadku aproksymacja przy użyciu 10 harmonicznych jest najlepsza?
Opis programu four.m
Program four.m służy do obserwacji widma amplitudowego, fazowego i mocy:
wybranych przebiegów periodycznych
wybranych sygnałów impulsowych
sygnałów zmodulowanych AM
sygnałów okresowych po przejściu przez układ liniowy (filtr RC)
Uruchamiany jest on w programie MATLAB komendą four, po której wywołaniu na ekranie pojawiają się trzy okna. Prawe okno służy do obserwacji widma wybranego sygnału. Lewe górne okno służy do wprowadzania danych, natomiast w lewym dolnym oknie pojawia się analizowany sygnał..
Opis opcji lewego okna:
przebieg - generowanie wybranego przebiegu okresowego o współczynniku wypełnienia d. Parametry sygnału wprowadzane są z klawiatury po zaznaczeniu wybranego pola myszą. ZAKRES ZMIENNOŚCI SYGNAŁU określa przedział, w którym obserwujemy sygnał. Na wejściu dane przyjmują wartości: A=1 V, f=1000 Hz, w lewym dolnym oknie pojawia się wykres sygnału sinusoidalnego, natomiast w prawym oknie jego widmo amplitudowe.
impuls - generowanie impulsu o zadanym czasie trwania Tw i amplitudzie A=1 V.
mod.sygnałem - modulacja sygnału sinusoidalnego o amplitudzie równej 1 i częstotliwości F0 innym sygnałem (sinusoidalnym bądź falą prostokątną) o amplitudzie Am i częstotliwości f0. Po zaznaczeniu tej opcji myszą w lewym części ekranu pojawia się okno służące do wprowadzania parametrów sygnałów modulowanego i modulującego (zmiana amplitudy sygnału modulującego pociąga za sobą zmianę współczynnika mAm). Przycisk KONIEC umożliwia powrót do menu wyjściowego.
Pobudzenie - obserwacja charakterystyk amplitudowej i fazowej filtru RC o zadanych parametrach oraz widma amplitudowego i fazowego sygnału na wyjściu filtru. Sygnałem wejściowym jest bądź sygnał sinusoidalny, bądź fala prostokątna o amplitudzie A i częstotliwości f. Po wywołaniu tej opcji pojawia się okno służące do wprowadzania parametrów filtru (R, C, zakres częstotliwości pracy filtru fmin...fmax) oraz parametrów sygnału wejściowego. Klawisz KONIEC umożliwia wyjście z tego menu i powrót do menu wyjściowego.
We wszystkich okienkach klawisz ODCZYT umożliwia odczytanie współrzędnych punktów wykresu widma, które po zaznaczeniu punktu myszą na wykresie pojawiają się w lewym dolnym rogu prawego okna.
Klawisze
umieszczone przy osiach współrzędnych umożliwiają zmianę skali odpowiedniej osi.
Klawisze WIDMO AMPLITUDY, WIDMO FAZOWE i WIDMO MOCY umożliwiają narysowanie wykresów widma amplitudowego, fazowego oraz widma mocy zadanego sygnału.
Klawisz OK służy do zaakceptowania zmian wprowadzanych danych.
Klawisz KONIEC powoduje całkowite wyjście z programu z równoczesnym zamknięciem wszystkich otwartych okienek.
Opis programu syntez.m
Program syntez.m jest uruchamiany w MATLAB komendą syntez, po której wywołaniu pojawiają się dwa okna. Lewe okno umożliwia wprowadzanie amplitud i faz aproksymowanego sygnału. Wywołanie opcji przebieg w pasku głównym umożliwia syntezę wybranego sygnału prostokątnego lub trójkątnego o zadanym współczynniku wypełnienia d. Po wprowadzeniu danych i zaakceptowaniu ich przyciskiem OK w prawym oknie można zaobserwować widmo amplitudowe sygnału aproksymowanego oraz wynik aproksymacji.
Klawisz KONIEC zapewnia wyjście z programu i zamknięcie wszystkich otwartych okienek.
LITERATURA
A. Papoulis, Obwody i układy, WKiŁ, Warszawa 1988
J. Szabatin, Podstawy teorii sygnałów, WkiŁ, Warszawa 1990
Sygnały i systemy, Ćwiczenia laboratoryjne, praca zbiorowa pod redakcją Jacka Wojciechowskiego, Warszawa 1998
2
T
T1
A
-A
t
T
T1
t