sys1, Elektronika i telekomunikacja-studia, rok II, semIV, mid


POLITECHNIKA WARSZAWSKA

INSTYTUT RADIOELEKTRONIKI

ZAKŁAD RADIOKOMUNIKACJI

LABORATORIUM SYGNAŁÓW I SYSTEMÓW

Ćwiczenie 1

Temat: MODELE CZĘSTOTLIWOŚCIOWE SYGNAŁÓW

Opracowała: mgr inż. Kajetana Snopek

Warszawa 2002

Cel ćwiczenia

•ilustracja związków między opisem w dziedzinie czasu i częstotliwości dla wybranych sygnałów ciągłych okresowych i impulsowych

•synteza sygnału okresowego

•ilustracja wpływu układu liniowego na widmo sygnału

•badanie widma sygnału zmodulowanego AM

  1. Wprowadzenie teoretyczne

    1. Szereg trygonometryczny Fouriera

Rozważmy sygnał rzeczywisty okresowy x(t), t∈R o okresie T.

Rozwinięcie tego sygnału względem funkcji harmonicznych sin(kω0t), cos(kω0t), k=0,1,2,... ma postać trygonometrycznego szeregu Fouriera postaci:

0x01 graphic
(1)

gdzie

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
(2)

oraz

0x01 graphic
, 0x01 graphic
jest częstotliwością podstawową sygnału.

Amplitudą k-tej harmonicznej nazywamy0x01 graphic
, natomiast fazą k-tej harmonicznej nazywamy 0x01 graphic
. Widmem amplitudowym nazywamy {|dk|, k=0,1,2,...}, natomiast widmem fazowym k, k=0,1,2,...}.

Jeżeli sygnał jest funkcją parzystą, to współczynniki bk=0, natomiast w przypadku sygnału nieparzystego ak=0.

1.2 Szereg wykładniczy Fouriera

Podstawiając do szeregu (1) znane wzory Eulera

0x01 graphic

otrzymujemy szereg postaci

0x01 graphic
(3)

gdzie 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic

Między współczynnikami zachodzi oczywista zależność 0x01 graphic
.

W tym przypadku k-tą składową harmoniczną nazywamy funkcję

0x01 graphic
(4)

Amplitudą k-tej składowej harmonicznej nazywamy moduł 2|ck|, natomiast fazą k-tej składowej harmonicznej arg(ck)=ϕk.

Szereg (2) daje się zapisać w skróconej postaci

0x01 graphic
(5)

gdzie 0x01 graphic
, zwanej wykładniczym szeregiem Fouriera. W tym przypadku widmem amplitudowym określamy ciąg {|ck|, k=0,∓1, ∓2,...}, widmem fazowym ciąg {ϕk: ϕk=arg(ck), k=0,∓1, ∓2,...}, natomiast widmem mocy {|ck|2, k=0,1,2,...}. Zauważmy, że w widmie zespolonym występują częstotliwości ujemne, których nie posiada widmo wyznaczone za pomocą trygonometrycznego szeregu Fouriera. Współczynniki ck szeregu (4) oraz współczynniki ak i bk szeregu (2) powiązane są relacjami

0x01 graphic
oraz c0 = a0 (6)

Przykłady

  1. sygnał prostokątny o amplitudzie =1 i współczynniku wypełnienia d ma rozwinięcie w szereg Fouriera postaci

0x01 graphic
(7)

sygnał trójkątny o amplitudzie =1 i współczynniku wypełnienia d ma rozwinięcie w szereg Fouriera postaci

0x01 graphic
(8)

Współczynnik wypełnienia d jest zdefiniowany jako iloraz

0x01 graphic
(9)

gdzie parametry T1 oraz T pokazane są na poniższym rysunku

0x08 graphic

0x08 graphic

1.3 Przekształcenie Fouriera

Przekształcenie Fouriera (transformacja Fouriera) znajduje zastosowanie w analizie widmowej sygnałów nieokresowych (np. impulsowych). Jest ono zdefiniowane w sposób następujący

0x01 graphic
(10)

0x01 graphic
(11)

gdzie 0x01 graphic

0x01 graphic
(12)

1.4 Synteza sygnału

Zadanie syntezy polegające na rekonstrukcji sygnału na podstawie jego widma można efektywnie rozwiązać przy dostatecznie dużej liczbie składowych harmonicznych m (teoretycznie przy m=∞). Do oceny dokładności przybliżenia kształtu danego przebiegu przez szereg Fouriera mogą służyć zależności energetyczne. Jako miarę przybliżenia przyjmijmy odchylenie średniokwadratowe o postaci

0x01 graphic
(13)

gdzie x(t) jest szeregiem Fouriera określonym wzorem (2), natomiast xm(t) szeregiem zawierającym tylko m harmonicznych. Można pokazać, że błąd średniokwadratowy jest równy sumie mocy pominiętych składowych harmonicznych, tzn.

0x01 graphic
(14)

1.5 Współczynnik zawartości harmonicznych

Współczynnikiem zawartości harmonicznych nazywamy wielkość

0x01 graphic
(15)

1.6 Modulacja AM z falą nośną

Przy modulacji amplitudy z falą nośną funkcja modulująca ma postać

0x01 graphic
(16)

gdzie m jest stałą określającą głębokość modulacji. Przebieg zmodulowany ma zatem postać analityczną

0x01 graphic
(17)

gdzie F0 nazywamy częstotliwością nośną.

Przykład.

Sygnał modulujący ma postać

0x01 graphic

sygnał zmodulowany można zapisać w postaci

0x01 graphic

Korzystając z wzorów Eulera otrzymujemy postać

0x01 graphic

1.7 Wpływ układu liniowego na widmo sygnału

Rozważmy liniowy układ transmisyjny o transmitancji H(s), zdefiniowanej jako stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego przy zerowych warunkach początkowych w chwili t=0

0x01 graphic
(18)

Jeżeli w układzie transmisyjnym panuje stan ustalony przy pobudzeniu sinusoidalnym o częstotliwości f0, to zależność między amplitudami zespolonymi sygnału wejściowego X oraz sygnału wyjściowego Y dana jest wzorem

0x01 graphic
(19)

Charakterystyką amplitudową układu transmisyjnego nazywamy funkcję A(2πf)=0x01 graphic
, natomiast charakterystyką fazową funkcję 0x01 graphic
.

Jeżeli przez układ o transmitancji H(s) przechodzi sygnał okresowy x(t) o częstotliwości podstawowej f0 oraz widmie {Xk, k=0,∓1, ∓2,...}, to widmo amplitudowe sygnału wyjściowego daje się wyrazić wzorem

0x01 graphic
(20)

Widmo fazowe sygnału wyjściowego można wyznaczyć z zależności

0x01 graphic
(21)

Przykład.

Niech liniowym układem transmisyjnym będzie filtr RC o transmitancji

0x01 graphic
(22)

czyli

0x01 graphic
(23)

Charakterystyka amplitudowa filtru RC wyraża się wzorem

0x01 graphic
(24)

natomiast charakterystyka fazowa dana jest wzorem

0x01 graphic
(25)

  1. Zadania do wykonania w domu

2.1 Wyznaczyć na podstawie wzorów (7) i (8) widma amplitudowe, fazowe i mocy następujących sygnałów okresowych o częstotliwości f =1kHz , A=1 V (pierwszych 10 prążków):

  1. przebiegu prostokątnego o współczynnikach wypełnienia d=1/2, 1/3

  2. przebiegu trójkątnego o współczynnikach wypełnienia d=0,1/2

Obliczyć dla powyższych sygnałów współczynniki zawartości harmonicznych oraz moc sygnału (z definicji).

2.2 Wyprowadzić wzór na transformatę Fouriera

  1. impulsu prostokątnego o czasie trwania Tw

  2. impulsu trójkątnego o czasie trwania Tw

2.3 Wyznaczyć i naszkicować widma amplitudowe i fazowe następujących sygnałów:

a) sygnału AM zmodulowanego sygnałem sinusoidalnym o częstotliwości f0=200 Hz i amplitudzie A=1 V; przyjąć F0=2 kHz, m=0.5

  1. sygnału AM zmodulowanego przebiegiem prostokątnym o amplitudzie A=1 V, współczynniku wypełnienia d=1/2 i częstotliwości f0=200 Hz; przyjąć F0=2 kHz, m=0.5

W przypadkach a) i b) obliczyć stosunek mocy zawartej w prążkach bocznych do całkowitej mocy sygnału.

2.4 Wyznaczyć widma amplitudowe i fazowe sygnału po przejściu przez filtr RC o parametrach R=20 kΩ, C=220 nF i transmitancji 0x01 graphic
, na którego wejście podano:

Naszkicować charakterystykę amplitudową i fazową filtru o wymienionych parametrach.

2.5 Wyznaczyć błąd średniokwadratowy aproksymacji fali prostokątnej o amplitudzie A=1V i okresie T=0.001 w funkcji liczby harmonicznych szeregu Fouriera (m=1,2,...10).

  1. Zadania do wykonania w laboratorium

Potrzebne przyrządy:

3.1 Badanie widma sygnałów okresowych

Połączyć wyjście generatora sygnałowego MAIN OUT przy pomocy trójnika z oscyloskopem (kanał CH1 lub CH2) i komputerem. Na generatorze ustawić kształt sygnału o zadanej amplitudzie i częstotliwości (patrz punkt 2.1). Obserwować na oscyloskopie generowany sygnał dobierając właściwy współczynnik wypełnienia. Przebiegi niesymetryczne (d≠1/2) otrzymujemy wciskając na generatorze przycisk SYM. Po uzyskaniu właściwego sygnału uruchomić program analiza (pulpit). Na ekranie monitora pojawia się okno z dwoma przyciskami POMIAR i ANALIZA. Po naciśnięciu przycisku ANALIZA na wykresie górnym rysowany jest generowany przebieg, natomiast na wykresie dolnym jego widmo. Istnieje możliwość powiększania wykresów, zmiany ich skali itd.

3.2 Badanie widma sygnałów impulsowych

Widmo sygnałów impulsowych prostokątnych i trójkątnych obserwowane jest przy pomocy programu four.m. Korzystamy z opcji impuls, która umożliwia analizę transformaty Fouriera sygnałów wymienionych w punkcie 3.2.

3.3 Badanie widma sygnału AM zmodulowanego napięciem okresowym

Opcja mod.sygnałem umożliwia obserwację sygnału AM zmodulowanego sygnałem sinusoidalnym oraz przebiegiem prostokątnym o zadanych parametrach.

Zaobserwować i opisać sposób, w jaki zmienia się sygnał zmodulowany oraz jego widmo, gdy zmieniamy amplitudę i częstotliwość sygnału modulującego. Na podstawie przykładowych danych obliczyć moc zawartą w prążkach bocznych w stosunku do całkowitej mocy sygnału AM.

3.4 Badanie widma sygnału okresowego po przejściu przez filtr RC

Opcja pobudzenie w programie four.m umożliwia analizę charakterystyk amplitudowej i fazowej filtru RC oraz obejrzenie widma amplitudowego i fazowego sygnału po przejściu przez filtr o zadanych parametrach.

3.4 Synteza sygnału

Uruchomić program syntez.m (Matlab), który umożliwia wprowadzenie wartości amplitud i faz dziesięciu pierwszych wyrazów szeregu trygonometrycznego Fouriera i obserwację powstającego sygnału.

  1. Opis programu four.m

Program four.m służy do obserwacji widma amplitudowego, fazowego i mocy:

Uruchamiany jest on w programie MATLAB komendą four, po której wywołaniu na ekranie pojawiają się trzy okna. Prawe okno służy do obserwacji widma wybranego sygnału. Lewe górne okno służy do wprowadzania danych, natomiast w lewym dolnym oknie pojawia się analizowany sygnał..

Opis opcji lewego okna:

We wszystkich okienkach klawisz ODCZYT umożliwia odczytanie współrzędnych punktów wykresu widma, które po zaznaczeniu punktu myszą na wykresie pojawiają się w lewym dolnym rogu prawego okna.

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
Klawisze 0x01 graphic
umieszczone przy osiach współrzędnych umożliwiają zmianę skali odpowiedniej osi.

Klawisze WIDMO AMPLITUDY, WIDMO FAZOWE i WIDMO MOCY umożliwiają narysowanie wykresów widma amplitudowego, fazowego oraz widma mocy zadanego sygnału.

Klawisz OK służy do zaakceptowania zmian wprowadzanych danych.

Klawisz KONIEC powoduje całkowite wyjście z programu z równoczesnym zamknięciem wszystkich otwartych okienek.

  1. Opis programu syntez.m

Program syntez.m jest uruchamiany w MATLAB komendą syntez, po której wywołaniu pojawiają się dwa okna. Lewe okno umożliwia wprowadzanie amplitud i faz aproksymowanego sygnału. Wywołanie opcji przebieg w pasku głównym umożliwia syntezę wybranego sygnału prostokątnego lub trójkątnego o zadanym współczynniku wypełnienia d. Po wprowadzeniu danych i zaakceptowaniu ich przyciskiem OK w prawym oknie można zaobserwować widmo amplitudowe sygnału aproksymowanego oraz wynik aproksymacji.

Klawisz KONIEC zapewnia wyjście z programu i zamknięcie wszystkich otwartych okienek.

LITERATURA

A. Papoulis, Obwody i układy, WKiŁ, Warszawa 1988

J. Szabatin, Podstawy teorii sygnałów, WkiŁ, Warszawa 1990

Sygnały i systemy, Ćwiczenia laboratoryjne, praca zbiorowa pod redakcją Jacka Wojciechowskiego, Warszawa 1998

2

T

T1

A

-A

t

T

T1

t



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Odp lab 3, Elektronika i telekomunikacja-studia, rok II, semIV, mid
Modulacja i detekcja - lab.2, Elektronika i telekomunikacja-studia, rok II, semIV, mid
analogi 2 zaliczenie pytania, Elektronika i telekomunikacja-studia, rok II, semIV, ua2, Zaliczenie,
sprawko-tubowa grzesiak 2, Elektronika i telekomunikacja-studia, rok II, semIV, apf1, anteny
sprawozdanie - generator z mostkiem wiena, Elektronika i telekomunikacja-studia, rok II, semIV, Spra
Tud kolos, Elektronika i telekomunikacja-studia, rok II, semIV, tud, TUUUUD, Jola TUD, TUD
kolos tbwcz, Elektronika i telekomunikacja-studia, rok II, semIII, Tbwcz, tbwcz ćwiczenia, ćwiczenia
interferometr, Elektronika i telekomunikacja-studia, rok II, semIII, Tbwcz
Zadanie(1), Elektronika i telekomunikacja-studia, rok II, semIII, Tbwcz, tbwcz ćwiczenia, ćwiczenia,
LAN , Elektronika i telekomunikacja-studia, rok II, semIII, sstk
mele srele, Elektronika i telekomunikacja-studia, rok II, semIII, mele
Kolokwium LSK - pytania (2), Elektronika i telekomunikacja-studia, rok II, 2 rok-aguli, lsk, Kolokwi
Spraw.1(1), Elektronika i telekomunikacja-studia, rok II, semIII, Tbwcz, Tbwcz, Tbwcz, Tbwcz1.lab
dopasowanie sprawozdanie, Elektronika i telekomunikacja-studia, rok II, semIII, Tbwcz, TBWCZ+SPRAWKA
Ania tbwcz ferryty dobre, Elektronika i telekomunikacja-studia, rok II, semIII, Tbwcz, TBWCZ+SPRAWKA
wnioski(1), Elektronika i telekomunikacja-studia, rok II, semIII, Tbwcz, Tbwcz, Tbwcz, Tbwcz1.lab, S
Tbwcz2 E7T1S1, Elektronika i telekomunikacja-studia, rok II, semIII, Tbwcz

więcej podobnych podstron