Zadania do tematu: Stabilność układów liniowych

Część II - Częstotliwościowe kryterium Nyquista

Zadanie 1. Korzystając z kryterium Nyquista zbadać stabilność układu przedstawionego na rys.1, gdzie

.

Określić zapas modułu i fazy. Określić współczynnik wzmocnienia dodatkowego wzmacniacza w torze głównym, po przekroczeniu którego układ zamknięty traci stabilność.

Rys.1

Zadanie 2. Rys.2 przedstawia zmierzoną logarytmiczną charakterystykę amplitudowo-fazową stabilnego obiektu regulacji. Wyznaczyć wzmocnienie regulatora P, włączonego szeregowo z obiektem, zapewniające zapas stabilności układu zamkniętego
.

Rys.2

Zadanie 3. Przy pomocy kryterium Nyquista sprawdzić stabilność układu z rys.3, gdzie

Znaleźć krytyczną wartość współczynnika wzmocnienia toru głównego, dla której układ zamknięty jest na granicy stabilności.

Rys.3

Zadanie 4. Korzystając z kryterium Nyquista zbadać stabilność układu z rys.1, gdzie

Zadanie 5.Dla układu z rys.1 dana jest transmitancja układu otwartego

,

Zbadać stabilność układu zamkniętego.

Odpowiedzi

1. Układ otwarty stabilny, układ zamknięty stabilny, zapas modułu
   , zapas fazy
   , krytyczny współczynnik wzmocnienia
   

2. Współczynnik wzmocnienia regulatora zapewniający żądany zapas stabilności

.

3. Układ otwarty na granicy stabilności (pierwiastek zerowy oraz dwa pierwiastki zespolone sprzężone
), wyjściowy układ zamknięty stabilny dla

4. Układ otwarty niestabilny (równanie charakterystyczne ma pierwiastek zerowy i dwa pierwiastki w prawej półpłaszczyźnie
), układ zamknięty stabilny.

5. Układ otwary na granicy stabilności (para pierwiastków urojonych sprzężonych
), układ zamknięty stabilny (charakterystyka układu otwartego składa się z dwóch gałęzi).

UWAGA: Przy analizie charakterystyk P-Q oddalających się do nieskończoności stosuje się uzupełnienie charakterystyki odpowiednim fragmentem łuku okręgu o "dużym" promieniu.