Pod pewnym względem języki dzielimy na: naturalne i formalne.

Różnice między nimi:

1. języki naturalne, w przeciwieństwie do formalnych, powstawały bardzo długo, natomiast język formalny może powstać w ciągu 5 minut.
   (Języki inkorporacyjne to te, w których nie ma słów tworzących zdania, lecz jedno słowo-zdanie.)

2. język naturalny, w przeciwieństwie do formalnego, jest uniwersalny, czyli jest obecny w każdej dziedzinie życia

3. język naturalny, w przeciwieństwie do formalnego, istnieją wyrażenia nieostre (niski, wysoki, młody)

4. język naturalny, w przeciwieństwie do formalnego, często występują wyrażenia nieokreślone, okazjonalne (tu, tam, on, ona, ono)

5. język naturalny, w przeciwieństwie do formalnego mamy do czynienia z terminami wprowadzonymi drogą definicji ostensywnych (czyli definicje wskazania -> pokazania danego przedmiotu i nazwania go)

6. język naturalny, w przeciwieństwie do formalnego występuje nadmiar redundancji (zbędne elementy w komunikowaniu się - krzyki, jęki, piski, śmiech)

7. język naturalny, w przeciwieństwie do formalnego występują metafory, metonimie i porównania

8. język naturalny, w przeciwieństwie do formalnego słowo wzięte w cudzysłów to metajęzykowa nazwa. Na przykładzie słowa dom:
   
   język przedmiotowy metajęzyk metametajęzyk
   
   dom „dom” <<„dom”>>
   
   {faktyczny budynek dom „dom”
   domem zwany}
   
   {faktyczny budynek {faktyczny budynek
   domem zwany} domem zwany}
   W języku formalnym, język przedmiotowy oraz metajęzyk są od siebie odróżnione i oddzielone, natomiast w języku naturalnym nie są.

Paradoks kłamcy: „Jeśli mówię, to kłamię, czy mówię prawdę”.

Funktory - są to wyrażenia, które nie są ani nazwą, ani zdaniem, ale służą do budowania nazw, zdań, i funktorów.

1. Podział

1. zdaniotwórcze

2. nazwotwórcze

3. funktorotwórcze

2. Podział

1. jednoargumentowe

2. wieloargumentowe

Wyróżniamy funktory zdaniotwórcze od jednego argumentu zdaniowego, oraz od dwóch argumentów zdaniotwórczych.

„i” - to argument zdaniotwórczy od 2 argumentów

„nie” - to argument zdaniotwórczy od 2 argumentów

„mocno grzeje” - to argument zdaniotwórczy od 1 argumentu nazwowego:

„Słońce mocno grzeje.”

„Piotr mocno grzeje”.

Język formalny (w jednym ze znaczeń tego słowa) jest to zespół wyrażeń określonych przez:

1. listę wyrażeń pierwotnych - niezdefiniowanych (tzw. słownik)

2. przez reguły składni (reguły syntaktyczne lub gramatyczne)

1. reguły formowania

2. reguły przekształcania (transformowania)

Ad.a: Reguły formowania mówią o tym jak z mniejszych sensownych wyrażeń danego języka budować wyrażenia złożone sensowne tego języka.

Ad.b: Reguły przekształcania mówią o tym jak przekształcić wyrażenia danego języka, by zachowana została pewna ich własność np. tautologiczność.

KLASYCZNY RACHUNEK ZDAŃ (K.R.Z)

K.r.z. bada związki międzyzdaniowe zachodzące w zdaniach złożonych (molekularnych) powstałych ze zdań prostych (atomowych) przy pomocy funktorów zdaniotwórczych. W Krz nie posługujemy się zdaniami, ale zmiennymi, które reprezentują zdania, a niekiedy wartościami logicznymi tych zdań.

I. Wyrażenia pierwotne, niezdefiniowane (słownik)

1. zmienne zdaniowe: p,r,q,s,…,z

2. funktory zdaniotwórcze:
   
   - koniunkcja, czytamy „i”
   
   - alternatywa, czytamy „lub”
   
   - implikacja, czytamy „jeśli…to”
   ≡ - równoważność, czytamy „wtedy, i tylko wtedy, gdy”
   ~ - negacja, czytamy „nie”, „nieprawda, że”

3. symbole prawdy i fałszu:
   1 - prawda
   0 - fałsz

4. Wyrażenia techniczne
   ( ), [ ], { }

II. Formuły krz, czyli wyrażenia sensowne (poprawnie zbudowane)

1. wyrażenia proste p,q,r,s,….,z

2. wyrażenia złożone

1. jeśli A jest formułą KRZ to ~A jest także formułą KRZ

2. 
   jeśli A oraz B są formułami KRZ to wyrażenia A
   B, A
   B, A
   B, A
   B, są też formułami KRZ
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

Widzimy więc, że wartość logiczna zdań złożonych jest funkcją wartości zdań prostych

Formuły KRZ pod pewnym względem dzielimy na 3 grupy

1. formuły takie, że przy każdym podstawieniu za zmienną zdaniową prawdy bądź fałszu formuła jest prawdziwa, bądź fałszywa

2. takie formuły, że przy każdym podstawieniu za zmienne zdaniowa prawdy bądź fałszu formuła jest zawsze prawdziwa - jest to tautologia, czyli prawo logiki

3. 
   są to formuły, które przy każdym podstawieni za zmienne zdaniowe prawdy lub fałszu są zawsze fałszywe - kontrtautologia
   
   tautologia kontrtautologia
   
   
   
   
   
   
   
   III. prawa:

tożsamości, wyłączonego środka, sprzeczności, modus tollendo tollens, modus popendo ponens

Asymetria między metodami dowodzenia polega na tym, że żadna nieskończona liczba faktów nie jest w stanie zapewnić prawdziwości danej hipotezy. Wystarczy jeden fakt przeczący danej hipotezie aby ją obalić. Jest tak dlatego, że falsyfikacja przebiega zgodnie z prawem modus tollendo tollens. Hipotezą falsyfikującą w ten sposób: wynikające z hipotezy a przewidująca zajście faktu.

paradoksalne prawa logiki:

Dunsa Szkota

prawo pochłaniania

Dunsa Szkota w wersji implikacyjnej

Dunsa Szkota w wersji implikacyjnej II

Mówiąc swobodnie dowód logiczny jest to ciąg wyrażeń, na który składają się:

1. aksjomaty

2. tezy otrzymane z aksjomatów poprzez regułę odrywania, podstawiania, oraz definicyjnego zastępowania

3. dowodzona jest teza

Reguły inferencyjne:

1. odrywania: jeśli prawem logiki jest implikacja A->B oraz prawem logiki jest poprzednik tej implikacji, to B też jest prawem logiki
   A->B
   A
   ------
   B
   

2. reguła podstawiania: jeśli formuła A została przekształcona w formułę B w taki sposób, że pewne wyrażanie/a w A zostało/y zastąpione wyrażeniem sensownym Krz zgodnie z zasadą to w każdym miejscy gdzie jest dana zmienna, czy dane zmienne podstawiamy to samo wyrażenie sensowne; to jeśli A jest prawem logiki to B jest prawem logiki

3. definicyjne zastępowanie: jeśli w formule zastąpimy pewne wyrażenie, czy wyrażenia, ich definicyjnymi równoważnikami to jeśli A jest prawem logiki to B jest prawem logiki

równoważniki definicyjne:

1)
p lub q/ ~p ->q

2)

3)

Zapis Łukaszewicza, zapis polski, beznawiasowy:

przykłady:

	NKpNp
	CpCqp
	CKCpqqNp
	CKCpqpq
	CKCpqNqNp

p	q
1	1	1	1	1	1
1	0	0	1	0	0
0	1	0	1	1	0
0	0	0	0	1	1

	K	p q	Kpq
	A	p q	Apq
	C	p	Cpq
	E	p q	Epq
~	N	~p	Np

---