Funkcje wielu zmiennych

Przestrzenią wektorową
(
- czynników ) nazywać będziemy

zbiór wszystkich
-wyrazowych ciągów o wyrazach rzeczywistych wraz z dwoma

działaniami :

(i) dodawaniem wektorów określonym wzorem :

jeżeli
,

, to

,

oraz

(ii) mnożeniem wektorów przez liczby ( skalary ) określonym wzorem :

jeżeli
,
, to

.

Liczby
nazywamy współrzędnymi wektora
.

Przykłady : (1)
- przestrzeń dwuwymiarowa - jest zbiorem uporządkowanych par ;

(2)
- przestrzeń trójwymiarowa -

jest zbiorem uporządkowanych trójek .

Dla punktów
,
przestrzeni
liczbę

nazywać będziemy odległością punktów
i
.

Przykłady : W przestrzeni

(1)
,
( długość odcinka o końcach
i
) ,

(2)
,

Uwaga Zauważmy , że dla wszystkich
mamy

(1)
,

(2)
,

(3)
,

(4)
.

Załóżmy , że dany jest ciąg punktów
w przestrzeni
, gdzie
dla
.

Ciąg punktów
w przestrzeni
jest zbieżny do punktu
, jeżeli
, co zapisywać będziemy :
lub
.

Przykład Dla
niech
oraz niech
.

Wtedy
,

co oznacza , że
w
.

Twierdzenie 1:
.

Przykłady :

(1) Ciąg
jest zbieżny do punktu
.

Istotnie , na podstawie powyższego twierdzenia mamy :

,
,
,
,

co oznacza zbieżność danego ciągu do punktu
.

(2) Niech
.

Ponieważ ciąg
nie jest zbieżny , więc ciąg

nie jest zbieżny w przestrzeni
.

Definicja 1 . Niech
będzie niepustym podzbiorem przestrzeni
oraz niech

będzie funkcją . Funkcję tę będziemy zapisywać w postaci

i nazywać funkcją wielu zmiennych , dokładniej : funkcją k-zmiennych .

Definicja 2 . Załóżmy , że
jest punktem skupienia zbioru
.

Mówimy , że liczba
jest granicą funkcji
w punkcie
, co symbolicznie

zapisujemy jako
, jeżeli spełniony jest jeden z dwóch równoważnych warunków :

(C)


:


,

(H)
:


.

Przykłady :

(1) Niech
dla
. Wtedy
.

(2) Niech
dla
. Pokażemy , że
nie istnieje . Istotnie , rozważmy dwa ciągi określone następująco :

,
dla
.

Ponieważ
i
, więc

i
.

Ale

i

Granice te są różne , co , wobec definicji Heinego , oznacza , że
nie istnieje .

Twierdzenie 2 . Jeżeli funkcje
i
mają granice właściwe w punkcie
, to

(1)
,

(2)
,

(3)
,

(4)
, o ile
.

Niech
będzie niepustym podzbiorem ,
i niech
będzie funkcją .

Definicja 3 . Mówimy ,że funkcja
jest ciągła w punkcie
, jeżeli spełnia jeden z dwóch równoważnych warunków :

(C)


:


,

(H)
:


.

Mówimy , że funkcja
jest ciągła zbiorze
, jeżeli jest ciągła każdym punkcie tego zbioru .

Uwaga . Jeżeli
jest również punktem skupienia zbioru
, to funkcja
jest ciągła w punkcie
wtedy tylko wtedy , gdy
.

Pochodne cząstkowe

Niech funkcja
, gdzie
,
.

Definicja 4 . Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji
względem
w punkcie
określamy wzorem :

.

Podobnie określamy pochodną względem
:

.

Uwaga . Przy obliczaniu pochodnej cząstkowej względem jednej zmiennej pozostałe zmienne traktujemy jak stałe . Do obliczania pochodnych cząstkowych można stosować reguły różniczkowania funkcji jednej zmiennej.

Przykłady. Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji :

(1)
,
,

,

.

(2)
,
.

,
.

(3)
,
.

,
.

(4)
.

,
,

.

Definicja 5 . Niech funkcja
,
będzie funkcją dwóch zmiennych i niech ma pochodne cząstkowe
i
przynajmniej na otoczeniu punktu
.

Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji
w punkcie
określamy wzorami :

,

,
.

Przykłady . Obliczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji :

(1)
,
.

=
,

=
,

,

,

,

.

(2)
.

,
,
,

,
,
,
,
,
,
,
,
.

(3)
( obliczyć pochodne trzeciego rzędu - samodzielnie ) .

Twierdzenie 3 . Jeżeli pochodne cząstkowe
,
są ciągłe w punkcie
, to są równe .

Przykład . Uzasadnić , że nie istnieje funkcja
spełniająca układy warunków :

.

Istotnie , ponieważ
, to

( i )

, gdzie
jest funkcją zależną tylko od zmiennej
.

Z równości ( i ) wyznaczamy
. Porównując otrzymaną pochodną z pochodną w drugim równaniu układu zauważamy , że nie są one równe , co

dowodzi podane twierdzenie .

Uwaga . Niech funkcja
ma ciągłe pochodne cząstkowe
,
w punkcie
. Wówczas płaszczyzna styczna do wykresu funkcji
w punkcie
ma postać :

.

Przykład . Napisać równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji
w punkcie
.

,
,

,
.

Równanie płaszczyzny ma postać :
, a stąd
.

Definicja 6. Niech funkcja
ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie
.

Różniczką funkcji
w punkcie
nazywamy funkcję
zmiennych
i
, określoną wzorem :

.

Uwaga . ( Zastosowanie różniczki zupełnej )

Jeżeli funkcja
ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie
, to

.

Pochodne cząstkowe funkcji złożonych

Twierdzenie 4 .

Niech

1. funkcje
,
mają pochodne właściwe w punkcie
,

2. funkcja
ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego w punkcie
.

Wtedy funkcja złożona
ma pochodną właściwą w punkcie
oraz

.

Uwaga . Powyższy wzór można zapisać w postaci iloczynu macierzy , tj.

.

Przykład . Obliczyć
funkcji
, gdzie
,
.

Mamy
,
. Zatem
.

Twierdzenie 5 . Niech

1. funkcje
,
mają pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie

2. funkcja
ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie
.

Wtedy funkcja złożona
ma w punkcie
pochodne

cząstkowe pierwszego rzędu wyrażone wzorami :

,
.

Uwaga . Powyższe wzory można zapisać w formie iloczynu macierzy , tj.

.

Definicja 7 . Niech funkcja
będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu

oraz niech
będzie wersorem . Pochodną kierunkową funkcji

w punkcie
w kierunku
określamy wzorem:

.

Definicja 8 . Gradientem funkcji
w punkcie
nazywamy wektor określony wzorem :

grad
.

Uwaga . Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punkcie .

Ekstrema funkcji

Definicja 9 . ( minimum i maksimum funkcji )

(1) Funkcja
ma w punkcie
minimum lokalne , jeżeli istnieje otoczenie tego punktu takie , że zachodzi nierówność

.

(2) Funkcja
ma w punkcie
maksimum lokalne , jeżeli istnieje otoczenie tego punktu takie , że dla dowolnego
z tego otoczenia zachodzi nierówność

.

Przykład . Korzystając z definicji zbadamy , czy podane funkcje mają ekstrema lokalne we wskazanych punktach :

(a)
,
.

Zauważmy , że
. Ponadto , dla każdego
i

,

więc
,

co oznacza , w oparciu o definicję , że funkcja
ma w punkcie
maksimum lokalne .

(b)
,
.

Wartość funkcji w podanym punkcie wynosi
. Ponadto łatwo zauważyć , że

, a

co oznacza , że funkcja ta nie ma w podanym punkcie ekstremum lokalnego .

Definicja 10 .

(1) Liczba
jest wartością najmniejszą funkcji
na zbiorze
, jeżeli w tym zbiorze istnieje taki punkt , w którym ta funkcja przyjmuje wartość
oraz dla każdego punktu
zachodzi nierówność

.

(2) Liczba
jest wartością największą funkcji
na zbiorze
, jeżeli w tym zbiorze istnieje punkt taki , w którym funkcja ta przyjmuje wartość
oraz dla każdego punktu
zachodzi nierówność

.

Uwaga Liczby
i
nazywamy odpowiednio minimum i maksimum globalnym funkcji
na zbiorze
.

Przykład . Funkcja
określona na zbiorze
przyjmuje na tym zbiorze wartość najmniejszą równą
. Istotnie , funkcja ta w punkcie
przyjmuje wartość równą 0 , a w każdym punkcie
wartość nieujemną , tzn.
,
.

Twierdzenie 6 . ( warunek konieczny istnienia ekstremum )

Jeżeli funkcja
spełnia warunki :

1. ma ekstremum lokalne w punkcie
;

2. istnieją pochodne cząstkowe
,
,

to

,
.

Uwaga .

(1) Prawdziwe jest analogiczne twierdzenie dla funkcji trzech zmiennych .

(2) Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa , tzn. zerowanie się pochodnych cząstkowych nie gwarantuje istnienia ekstremów lokalnych danej funkcji .

(3) Funkcja może mieć ekstrema lokalne tylko w punktach , w których wszystkie jej pochodne cząstkowe pierwszego rzędu są równe zero albo w punktach , w których choć jedna z nich nie istnieje .

Twierdzenie 7 . ( warunek wystarczający istnienie ekstremów funkcji dwóch zmiennych )

Jeżeli funkcja
ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego w otoczeniu punktu
oraz

1.
,
,

2.
,

to w punkcie
funkcja
ma ekstremum lokalne .

Jest to

(a) minimum lokalne , gdy
albo

(b) maksimum lokalne , gdy
.

Uwaga . Gdy wyznacznik w założeniu 2 powyższego twierdzenia jest ujemny , to

funkcja
nie ma nie ma w punkcie
ekstremum lokalnego .

Przykład . 1) Zbadamy istnienie ekstremów lokalnych funkcji
.

Dziedziną funkcji jest zbiór
. Podana funkcja może mieć ekstrema lokalne w punktach ,

w których zerują się pochodne cząstkowe rzędu pierwszego . Wyznaczmy te punkty :

,
;

Rozwiązujemy układ równań :

.

Wiadomo , że dla każdego
, mamy
. Zatem rozwiązaniem powyższego układu jest para
.

Sprawdzimy , czy w tym punkcie funkcja ma ekstremum. W tym celu zbadamy znak

podanego w twierdzeniu wyznacznika .

,
;

,
;

,
.

Stąd mamy
, co oznacza , że funkcja
ma w punkcie
ekstremum lokalne . Jest to maksimum lokalne , bo
. Maksimum wynosi
.

7