1.pojecie zbioru wypukłego. Działania na zbiorach wypukłych. Pojęcie otoczki wypukłej.

Mówimy że zbiór A jest zbiorem wypukłym wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnych punktów
odcinek domknięty o końcach x, y jest zawarty w A.

Iloczyn dowolnej rodziny zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym.
dowolna indeksowana rodzina zbiorów wypukłych przestrzeni rzeczywistej, przestrzeni linowej V. wtedy iloczyn zbiorów
At jest zbiorem wypukłym

Otoczka wypukła zbioru A jest to iloczyn (część wspólna, przecięcie) wszystkich zbiorów wypukłych zawierających zbiór A - jest to najmniejszy zbiór wypukły zawierający zbiór A.

2. pojecie funkcji wypukłej. Podaj dwie równoważne definicje funkcji wypukłej ( za pomocą epigrafu i nierówności Jensena).

Epigraf Niech f: V -> R ; epif : = { ( x , α) є V R׀ α ≥ f (x) }. Mówimy że funkcja f : V -> R jest funkcja wypukła jeśli epif jest zbiorem wypukłym w V R.

Jansen Niech
V -> R wypukłe funkcje gdzie V rzeczywista przestrzeń liniowa wtedy funkcja
jest funkcją wypukłą (suma skończonej liczby funkcji wypukłych jest funkcją wypukłą.
: V -> R wypukłe funkcje. Wtedy funkcja f = max {
} jest funkcja wypukłą.

3.sformułuj zadania programowania wypukłego oraz twierdzenie Kuhna-Tuckera.

Niech
i = 0, 1 …. m wypukłe funkcje, A wypukły podzbiór
. Zadaniem programowania wypukłego nazywamy następujące ekstremalne zadanie

(P)

Funkcję Lagrange a zadania (P) nazywamy funkcję
gdzie

Twierdzenie Kuhna-Tuckera

1)
gdzie (P) zadania programowania wypukłego to
takie że są spełnione następujące warunki

a)

b)

c)

2)Jeżeli
i są spełnione warunki a)-c) z
to
(P)

3)jeżeli
i zachodzą warunki a)-c) i zachodzi warunek Slatera tzn.

4. sformułuj gładkie skończenie wymiarowe zadanie ekstremalne z ograniczeniami równościowymi oraz sformułuj zasadę Lagrangea dla tego zadania.

(P)
gdzie

Funkcje n zmiennych spełniających pewien warunek gładkości tzn. że są różniczkowane w określonym sensie.

Zasada Lagrangea

i funkcje
są ciągle różniczkowalne w pewnym otoczeniu p
wtedy istnieje niezerowy wektor mnożników Lagrangea
takie że dla funkcji Lagrangea zadania (P)
zachodzi warunek stacjonarności

5.pojęcie słabej preferencji, silnej preferencji, relacja obojętności.

Wybór określonego koszyka towarów przez konsumenta zależy od jego gustów. Nie wnikając w motywy kształtowania tych gustów zakładamy że można je scharakteryzować za pomocą określonej w przestrzeni towarów X relacji słabej preferencji spełniającej następujące warunki:

1)
przechodności

2)

spójności

Niech

1)mówimy że koszyki x, y są indeferentne jeżeli równocześnie x ≥ y i y ≥ x. Relacje indeferencji (obojętności) oznaczamy symbolem ~ x~ y <=>

2)o koszyku x mówimy że jest silnie preferowany nad koszyk y jeżeli
Relację silnej preferencji oznaczamy symbolem >

6.pojęcie słabo wypukłego pola preferencji, silnie wypukłego pola preferencji.

Mówimy że pole preferencji (X, ≥) jest słabo wypukłe jeżeli:

1) przestrzeń towarów X jest zbiorem wypukłym

2)
zbiór
jest wypukły

Mówimy że pole preferencji (X, ≥) jest silnie wypukłe jeżeli:

1)przestrzeń towarów X jest zbiorem wypukłym

2)relacja preferencji ≥ spełnia następujący warunek silnej wypukłości:
zachodzi

7.pojecie funkcji użyteczności i sformułuj twierdzenie Dobra o istnieniu ciągłej funkcji użyteczności.

Określoną na przestrzeni towarów funkcję u : X -> R nazywamy funkcja użyteczności konsumenta jeżeli dla dowolnej pary koszyków
spełniony jest warunek

Twierdzenie jeżeli u : X -> R jest funkcją użyteczności związaną z relacją preferencji ≥ a funkcja g : R -> R jest rosnąca to funkcja
(będąca złożeniem funkcji u z g) jest funkcją użyteczności odpowiadającą relacji preferencji ≥.