Schemat obliczeniowy konstrukcji budowlanej:

-materiał użyty na konstrukcję (stal, beton)

-geometria konstrukcji (pręt, rama)

-więzy

-obciążenia

Ciało jest tzw. Continuum materialnym [każdy punkt geometryczny ciała ma przypisana masę, która jest rozłożona w sposób ciągły w objętości

konstrukcji]

Materiał jest jednorodny (ma takie same własności w każdym punkcie) i izotropowy (własności nie zależą od wyboru kierunku).

materiał można opisać za pomocą równań i stałych występujących w tych równaniach (najprostszy opis materiału za pomocą funkcji

algebraicznych, niezależnych od czasu i spełniających założenie o liniowej sprężystości).

Dyskusja założeń dotyczących materiału

-ciągłość betonu, stali, drewna i in.

-jednorodność: izotropia (kierunek), izonomia (zwrot)

-równania (związki fizyczne lub równania konstytutywne)

Założenia dotyczące geometrii:

- konstrukcje prętowe (mają 2 wymiary opisujące przekrój znacznie mniejsze od trzeciego, czyli długości)

- konstrukcje powierzchniowe (mają 2 wymiary opisujące powierzchnię znacznie większe od trzeciego, czyli grubości)

- konstrukcje masywne posiadają wszystkie 3 wymiary tego samego rzędu

Założenia dotyczące więzów:

- podpory (przegubowe, przegubowo- przesuwne, zamocowania)

- posadowienia (bezpośrednie, na palach)

- połączenia (niepodatne - spawane, podatne - na śruby zwykłe)

Założenia dotyczące obciążeń:

1.Rodzaje obciążeń:

obciążenia powierzchniowe:

skupione [kN] lub rozłożone [kN/m2]

obciążenia objętościowe (siły masowe)

2.Inny podział:

obciążenia stałe

obciążenia zmienne:

a) ruchome (pojazdy) lub nieruchome (np. działania klimatyczne)

b) statyczne (prędkość energii kinetycznej jest równa zero) lub dynamiczne

Obliczeniowe zasady w wytrzymałości materiałów:

- zasada zesztywnienia: Jeśli konstrukcja deformuje się nieznacznie, to przy obliczaniu reakcji i sił wewnętrznych możemy założyć, że konstrukcja w położeniu równowagi ma konfigurację wyjściową (inaczej: wpływ przemieszczeń na obliczanie reakcji i sił wewnętrznych jest pomijalnie mały)

- zasada superpozycji- Skutek w określonym kierunku, wywołany prze zespół przyczyn działających równocześnie, jest równy algebraicznej sumie skutków wywołanych w tym kierunku przez każdą z przyczyn działających oddzielnie.

- zasada de Saint Venanta- Jeśli na niewielki obszar ciała będącego w równowadze działają

rozmaicie rozmieszczone, ale statycznie równoważne obciążenia, to w odległości znacznie przekraczającej wymiary tego obszaru wywołują one jednakowe stany naprężenia i odkształcenia.

Siłą wewnętrzną nazywamy funkcję wektorową dwóch wektorów, która określa wypadkową sił międzycząsteczkowych, z jakimi wszystkie punkty materialne części II, wyznaczone płaszczyzną  o normalnej zewnętrznej działają na punkt materialny leżący na płaszczyźnie , o promieniu wodzącym i przyporządkowany
części I (siła wewnętrzna jest to siła z jaką wszystkie punkty materialne części II chcą „wyrwać” punkt A z części I)

Twierdzenie o układach sił wewnętrznych i zewnetrznych

Układ sił wewnętrznych przyłożonych do punktów materialnych leżących na płaszczyźnie podziału o normalnej jest równoważny układowi sił zewnętrznych przyłożonych do odciętej, drugiej części bryły

Twierdzenie o układach równoważnych:

Jeżeli dwa układy są równoważne, to sumy obu układów są równe i równe są momenty obu układów liczone względem tego samego punktu

(WI) (ZII)-> S(W _I) =S(Z_II ), M_Q (W_I )= M_Q (Z_II )

(WII) (ZII) → S(W_II) S(Z_I), M_Q(W_II)  M_Q(Z_I)

Oś pręta - miejsce geometryczne punktów, będących środkami ciężkości przekrojów pręta dowolnymi płaszczyznami przecinającymi jego tworzące

Przekrój poprzeczny - przekrój płaszczyzną prostopadłą do osi pręta

Biegun redukcji - punkt leżący na płaszczyźnie przekroju i należący do osi pręta (środek ciężkości przekroju poprzecznego)

Siłami przekrojowymi przyłożonymi do przekroju poprzecznego, o wersorze normalnej zewnętrznej, nazywać będziemy składowe zredukowanego do środka ciężkości przekroju

poprzecznego, układu sił zewnętrznych przyłożonych do drugiej części przeciętej bryły, odniesione do lokalnego układu współrzędnych.

Założenie o sposobie przyłożenia sił do pręta litego:

Siły przyłożone do powierzchni zewnętrznej pręta redukujemy do punktu osi leżącego na tym samym przekroju poprzecznym co punkt przyłożenia siły na powierzchni.

Założenie o sposobie przyłożenia sił do pręta litego:

Zgodnie z tw. Varigniona możemy zatem, nie zmieniając statycznej równoważności, przesunąć wszystkie siły wzdłuż kierunków ich działania i przyjąć ich punkt zaczepienia w osi pręta, czyli będziemy przedstawiać schemat statyczny konstrukcji prętowej rysując jedynie osie prętów, do których przykładać będziemy obciążenia i więzy.

Układ płaski - Gdy zarówno układ sił jak i oś pręta leżą w jednej płaszczyźnie to mamy do czynienia z układem płaskim. Nie jest wtedy

potrzebna aksonometria układu i nie ma potrzeby rysowania osi y. Powstaje jednak wtedy problem rysowania wektora momentu - reprezentantem pary sił jest łuk skierowany

Belką nazywamy układ prętów o osiach prostoliniowych połączonych pomiędzy sobą sztywno lub przegubowo, tak jednak, że wszystkie osie leżą na jednej prostej. Obciążenie belki stanowi dowolny układ sił.

Belką prostą nazywamy pręt prostoliniowy jednoprzęsłowy, przewieszony (długość pręta większa od odległości podpór) lub nie, dowolnie obciążony

Belki wieloprzęsłowe, przegubowe, statycznie wyznaczalne

Są to konstrukcje belkowe, wieloprzęsłowe, statycznie wyznaczalne w których reakcje zastępujące więzy zewnętrzne i przeguby wewnętrzne (które łączą poszczególne belki) mogą być obliczone z równań równowagi (warunki równowagi wystarczają do obliczenia

reakcji i funkcji sił przekrojowych).

Ramą nazywamy układ prętów prostoliniowych połączonych w sposób sztywny, nie leżących na jednej prostej i dowolnie obciążonej.

Twierdzenie Lagrange`a (o przyroście skończonym)

Siły przekrojowe w ramach i prętach zakrzywionych Wnioski:

1. Jeśli w przedziale charakterystycznym obciążenie q(x) = 0, to siła poprzeczna w tym przedziale jest stała F(x) = const), a moment jest funkcją liniową

2. Jeśli w przedziale charakterystycznym obciążenie q(x) = const, to siła poprzeczna w tym przedziale liniowa, a moment parabolą
2-go stopnia

3. Wzór (3) pozwala wyznaczyć funkcję momentów (jest to niejednorodne równanie różniczkowe zwyczajne o stałych współczynnikach)

Łukiem nazywamy konstrukcję złożoną z jednego lub więcej prętów krzywoliniowych

Kratownicą nazywamy konstrukcję złożoną z prętów prostych połączonych pomiędzy sobą w węzłach będących idealnymi przegubami, do której obciążenie zewnętrzne oraz więzy przyłożone są wyłącznie w węzłach. Konsekwencją powyższych założeń są siły przekrojowe wyłącznie osiowe (ściskające lub rozciągające)

Warunek statycznej wyznaczalności kratownicy:

p = 2w - 3

gdzie p - liczba prętów kratownicy, w - liczba węzłów,3 - liczba reakcji i podpór

p > 2w - 3 → kratownica wewnętrznie statycznie niewyznaczalna

p < 2w - 3 → kratownica geometrycznie zmienna

Tw. o zredukowanym układzie sił wewnętrznych w przekrojach

poprzecznych prętów kratownicy:

Układ sił wewnętrznych w przekroju każdego pręta kratownicy redukuje się tylko do siły osiowej Fx(x)

Twierdzenia o prętach zerowych

Tw. 1 o prętach zerowych (pręty w których siła podłużna Fx=0): Jeśli kratownica poddana obciążeniu układem sił zewnętrznych (Z)(0) pozostaje w równowadze, to układ sił działający na każdy wycięty węzeł jest układem równoważnym układowi zerowemu

Tw. 2.: Jeśli w węźle schodzą się dwa pręty i węzeł jest nieobciążony siłą zewnętrzną to siły przekrojowe w obu prętach są równe zero \

N1= N2 = 0

Tw. 3: Jeśli w węźle schodzą się dwa pręty i węzeł jest obciążony siłą zewnętrzną równoległą do jednego z nich to w drugim pręcie siła przekrojowa jest równa zero

(N2 = 0)

Tw. 4: Jeśli w węźle schodzą się trzy pręty, z których dwa są równoległe i węzeł nie jest obciążony siłą zewnętrzną to siła przekrojowa w pręcie trzecim jest równa zeru (N2 =0)

Metody wyznaczania sił przekrojowych w prętach:

- wykreślna metoda Cremony równoważenia węzłów

- metoda Culmana (graficzna z wykorzystaniem wieloboku sił)

- metoda Rittera (analityczna)

- metoda analityczna równoważenia węzłów

- metody komputerowe

Metoda Rittera -metoda przecięć przez max 3 pręty, z wykorzystaniem tw. O równowadze układu sił zewnętrznych i wewnętrznych przyłożonych do jednej części kratownicy

Metoda analityczna równoważenia węzłów

Sposób polega na wykorzystaniu warunków równowagi dla każdego i - tego węzła z osobna: Xi = 0; Zi = 0

Podstawowe charakterystyki geometryczne

pole figury A [m2],moment statyczny (względem osi) S [m3] (Sx, Sy), moment bezwładności (względem osi) J [m4] (Jx, Jy), moment odśrodkowy (dewiacji) względem osi x, y → Jxy [m4], wskaźnik wytrzymałości W [m3], biegunowy moment bezwładności Jo [m4], promień bezwładności i [m],
rdzeń przekroju r [m]

Uwagi końcowe

Jeżeli figura posiada oś symetrii, to jest ona jedną z jej głównych centralnych osi bezwładności Jeżeli figura posiada dwie osie symetrii, to są one jej głównymi centralnymi osiami bezwładności Przy obliczaniu momentów statycznych, bezwładności i dewiacji warto podzielić figurę na części, których momenty i położenie środków ciężkości znamy, a następnie zsumować te częściowe wyniki.

Naprężenia (gęstość sił wewnętrznych):

Naprężeniem w punkcie o wektorze wodzącym r na powierzchni przekroju o normalnej v nazywamy wektor:

Macierz naprężeń w punkcie- uporządkowany zbiór współrzędnych trzech wektorów naprężeń, na płaszczyznach prostopadłych do osi układu współrzędnych.

Stany odkształcenia w pkt- nieskończony zbiór odkształceń liniowych i kątowych wszystkich włókien przechodzących przez ten punkt Rodzaje stanu odkształcenia: jednoosiowy, plaski, przestrzenny

Macierz odkształceń w punkcie to uporządkowany zbiór odkształceń liniowych i kątowych trzech włókien przechodzących

przez ten punkt i równoległych do osi układu odniesienia Odkształcenia główne w danym punkcie to ekstremalne wartości odkształceń liniowych w nim występujących. Są to odkształcenia liniowe dwóch do siebie prostopadłych włókien, których odkształcenia kątowe są równe zeru.

Dyskusja założeń dotyczących materiału

- ciągłość betonu, stali, drewna i in.

- jednorodność: izotropia (kierunek), izonomia (zwrot)

- równania (związki fizyczne lub równania konstytutywne)

I postać równań Hooke`a (z zasady superpozycji)

gdzie E,  - stałe materiałowe

I postać równań Hooke`a

III postać równań Hooke`a

Gdzie:

A - aksjator odkształceń

D - dewiator odkształceń

Aσ = 3KA

Dσ = 2GD

RÓWNANIA RÓWNOWAGI NAVIERA

Zależności pomiędzy przemieszczeniami i odkształceniami

Z tw. o równoważności układów sił {W} i {Z}

Sx{WI} = Sx{ZII}; Sy{WI} = Sy{ZII};
Sz{WI}= Sz{ZII};

Mox{WI} = Mox{ZII}; Moy{WI} = Moy{ZII}; Moz{WI} =Moz{ZII};

Z równań Hooke`a otrzymujemy:

ၴxy = Gၧxy, ၴyz = Gၧyz, ၴzx = Gၧzx

Wydłużenie względne pręta ၄l :

Zmiana wymiarów pręta:

Odkształcenie liniowe ၥx włókien odległych o z od osi obojętnej :

Postać równań geometrycznych:

Równania równowagi

---