Macierze

Niech będą dane dwie zmienne, z których każda przyjmuje tylko wartości naturalne.

DEF. Macierzy (liczbowej)

Macierzą (lub tablicą) nazywamy jakiekolwiek przyporządkowanie liczb rzeczywistych każdej spośród par wartości zmiennych.

Liczby rzeczywiste przyporządkowane tym parom nazywamy elementami macierzy, które oznaczamy a_ij, bądź b_ij itp. Jeżeli i=1,2,…,m j=1,2,…,n to macierz oznaczamy
lub poprzez wypisanie jej elementów:

Mówimy przy tym, że element a_ij należą do i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Macierze oznaczamy dużymi literami alfabetu np.: A, B, C,…. Natomiast m*n oznacza wymiar macierzy, tzn. m-liczbę jej wierszy, n-liczbę jej kolumn.

Jeżeli
to macierz jest prostokątna.

Jeżeli
to macierz jest kwadratowa.

Elementy a_ij dla których w macierzy kwadratowej i=j stoją na tzw. głównej przekątnej macierzy.

Przykłady macierzy:

Macierz, która powstaje z danej macierzy poprzez wykreślenie w niej pewnej liczby wierszy lub kolumn nazywamy podmacierzą.
Np. w macierzy
możemy znaleźć podmacierze:

A

DEF. iloczynu macierzy przez liczbę

Iloczynem macierzy
przez liczbę
nazywamy taką macierz
, że

DEF. sumy (różnicy) dwóch macierzy

Sumą (różnicą) dwóch macierzy
nazywamy taką macierz
, żę

i C=A+B (C=A-B)

DEF. Iloczynu dwóch macierzy

Niech
,

Iloczynem dwóch macierzy A*B nazywamy taką macierz
, że

Z def tej wynika że liczba kolumn macierzy A (tj. pierwszego czynnika) musi być równa liczbie wierszy B (tj. drugiego czynnika). UWAGA! Mnożenie macierzy jest nie przemienne tj.:

DEF. macierzy transponowanej

Macierzą transponowaną macierzy
nazywamy macierz
, gdzie
i oznaczamy ją A^T

Np.

DEF. Macierzy równych

Macierze A i B nazywamy równymi jeżeli:

mają ten sam wymiar: m x n oraz

Własności działań na macierzach:

1. A+B=B+A przemienność dodawania macierzy

2. A+(B+C)=(A+B)+C łączność dodawania macierzy

3. A*(B+C)=(A*B)*C łączność mnożenia macierzy

4. A*(B+C)=A*B+A*C rozdzielność mnożenia macierzy wzg dodawania

5. (A+B)^T=A^T+B^T

6. (A*B)^T=B^T*A^T

Macierz zerowa:

Macierz jednostkowa:

Oznaczamy tę macierz literą I, czyli

Właściwości macierzy jednostkowej:

Macierz symetryczna:

Macierz diagonalna:
, o ile

Macierz trójkątna:
(lub
)
czyli elementy pod (lub nad) główną przekątną są równe 0.

Przykłady macierzy:

- prostokątna, wymiar 2x3

Zauważamy, że jeżeli A_mxn to A^T_nxm,

trójkątna, wymiar 3x3

diagonalna, wymiar 3x3

symetryczna, wymiar 3x3

Przykłady działań na macierzach:

- niewykonalne, bo A_2x3, B_2x3 i

mgr Barbara Pakleza Matematyka Wykład 4

29.03.08

- 2 -