12.

Stochastyczne podejście do stopy procentowej.

( Zmienność stopy procentowej)

12.1 Wprowadzenie

Poprzednie rozdziały w tej książce prezentowały teorię stopy procentowej, w dużej mierze na podłożu deterministycznym. Rozdział 12 wprowadza czytelnika w stochastyczne (przypadkowe) podejście do stopy procentowej.

W rzeczywistości, pojawiły się dwie dziedziny w poprzednich rozdziałach, w których wyraźnie przedstawione zostały prawdopodobieństwa. Pierwszą dziedziną było rozważenie domniemanych prawdopodobieństw w Sekcji 9.8, drugą zaś była hipoteza odnosząca się do wycofania ze świadectwa ilustracji depozytowej w Sekcji 11.9. Wzór (11.17) na pochodną trwania został również oznaczony rozbieżnym zapisem dla łatwości prezentacji. Ostatecznie, pojawiło się domniemane rozpoznanie ryzyka oraz niepewność w tychże dziedzinach, jako praktyki obligacji płatnych na żądanie oraz rat stawek kredytów hipotecznych. Jednak, wcześniejsze podejście przedstawione w książce było w dużej mierze deterministyczne.

W rozdziale 12 najpierw rozważymy stopę procentową jako przypadkową zmienną. Następnie, uwzględnimy zasadnicze przedstawienie kilku modeli wraz ze stochastycznym podłożem, co ma ważne zastosowanie w praktyce. Na koniec, zbadamy obszernie używanego podejścia scenariusza testowania jako środka dotyczącego przyszłej niepewności.

Zakładamy, iż czytelnik posiada podstawową wiedzę w statystykach matematycznych. Poziom statystyk użytych w tym rozdziale nie jest zaawansowany. Czytelnicy, którzy chcieliby odświeżyć wiedzę dotyczącą rezultatów statystyk, użytych w tym rozdziale, niech odniosą się do Załącznika D.

2. Niezależna Stopa Oprocentowania

Rozważmy teraz stopę oprocentowania jako przypadkową zmienną. W Sekcji 12.2 i 12.3 rozważymy przypadek w którym stopa procentowa w jednym okresie jest niezależna od stóp oprocentowania w innym okresie. Zaczynając od Sekcji 12.4 usuniemy niezależna hipotezę i zbadamy niektóre modele, w których kolejne stopy procentowe korelują pod pewnymi względami.

Wstępna ilustracja

Na początku pokażemy, iż przewidywane skumulowane i obecne wartości nie są jednakowe w stosunku do skumulowanych i obecnych wartości w oczekiwanej stopie procentowej. W celu zaprezentowania tej możliwości, rozważmy inwestycję jednostki na 10 lat w stosunku do stałej efektywnej stopy procentowej, która jest nieznana ale równa prawdopodobieństwu bycia 7%, 8% lub 9%.

Niech
będzie oznaczało efektywną stopę procentową. Z podstawowych statystyk oczekiwana stopa procentowa jest obliczana w ten sposób:

Przewidywana skumulowana wartość jest obliczana:

Jednakże, skumulowana wartość przewidywanej stopy procentowej obliczana jest:

Dlatego też, na tej ilustracji, przewidywana skumulowana wartość nie jest równa skumulowanej wartości przewidywanej stopy procentowej. Stopa procentowa j, która przedstawiłaby przewidywaną skumulowaną wartość może być uwarunkowana poprzez:

Co może być rozwiązane poprzez:

Podobny rezultat może również występować dla obecnych wartości. Zakładając, iż chcemy zainwestować dziś określoną kwotę, dotyczącą jednej jednostki, na dziesięć lat, na warunkach opisanych powyżej, dotyczącej nieznanej stałej stopy procentowej.

Przewidywana obecna stopa procentowa obliczana jest:

Podczas gdy obecna wartość przewidywanej stopy procentowej obliczana jest:

Stopa procentowa j , która przedstawiałaby przewidywaną obecną wartość może być uwarunkowana poprzez:

Co może być rozwiązane poprzez:

Skumulowane wartości

Na powyższych ilustracjach założyliśmy, iż niepewna stopa procentowa była stała od dziesięciu lat. Obecnie rozważamy sytuację, w której stopa procentowa może być różna w różnych okresach, według niektórych prawdopodobieństw, które nie zmieniają się z czasem.

Przyjmiemy zapisy użyte w Rozdziale 1 i pozwolimy aby stopa procentowa podczas okresu rth, i.e. od czasu t - l do t, była oznaczona poprzez i, dla t+1,2,……,n. Skumulowana wartość inwestycji l na koniec okresu n jest obliczana poprzez wzór (1.40) ze zmianą w zapisie

A teraz załóżmy, iż
są niezależnie i identycznie rozprowadzane ze środkiem
. Środek skumulowanej wartości obliczany jest:

Zauważ, iż w tym przypadku przewidywana skumulowana wartość nie jest równa skumulowanej wartości przewidywanej stopy procentowej.

Następnie rozważymy wariancję skumulowanej wartości, która jest:

Załóżmy, iż
mają stałą wariancję
. Następnie będziemy mogli obliczyć drugi moment źródła a(n).(moment pochodzenia)

Ten wynik oparty jest na fakcie, iż dla każdej wartości t

Lub

Co daje

Dlatego też, różnica skumulowanej wartości obliczana jest:

Co może być zapisane jako:

Gdzie

Teraz poszerzymy powyższą analizę, dotyczącą pojedynczej płatności do poziomu rocznej raty. Rozważmy okres - n jako obowiązek spłaty rocznej raty. Podążając poglądem opracowanym w Sekcji 3.8 dla metody stopy, skumulowana wartość roczna raty to:

Średnia
może być uzyskana poprzez wzór:

Następnie postaramy się znaleźć wariancję
. Różnica serii tych form jest złożona i przedstawiona jest w Załączniku 12 na końcu rozdziału.

Zdefiniujmy
oraz
jako pierwszy i drugi moment l+i, pod kątem źródła, odpowiednio:

Oraz:

Gdzie
jest określone we wzorze (12.4b). Następnie stosując rezultaty z Załącznika 12, otrzymujemy:

Obecne wartości

Podobne rezultaty do tych powyżej dla skumulowanych wartości mogą być także opracowane dla obecnych wartości. Jednakże, musimy być ostrożni przy wyborze stopy procentowej, Ogólnie rzecz biorąc, otrzymujemy:

Dlatego też, prezentując obecne wartości musimy zdefiniować
jako:

Musimy zaznaczyć, iż wartość
różni się od wartości
, użytej powyżej dla skumulowanych wartości gdzie

Nasz pierwszy wynik to rozwinięcie wzoru dla średniej obecnej wartości, pojedynczej płatności, analogicznie do wzoru (12.1), otrzymamy:

Uzyskany wzór (12.9) jest podobny do wzoru (12.1) i pozostaje ćwiczeniem.

Dla wariancji obecnej wartości otrzymujemy:

Gdzie:

Niestety, bez wiedzy rozprowadzenia
, nie będziemy w stanie dowiedzieć się w jaki sposób opracować
. Pogląd przedstawiony powyżej, w celu znalezienia drugiego momentu dla skumulowanych wartości, nie będzie miał zastosowania dla obecnych wartości. Wzór (12.10) wymaga obliczenia drugiego momentu opartego na konkretnej gęstości prawdopodobieństwa.

Tymczasem, powróćmy do obecnej wartości okresu - n , bezpośredniej rocznej raty z Sekcji 3.8

Średnia
jest oczekiwanym wynikiem:

Uzyskany wzór (12.11) jest podobny do wzoru (12.5) i pozostaje ćwiczeniem.

W końcu rozważmy wariancję
. Zdefiniujmy
oraz
jako pierwszy i drugi moment
pod względem źródła pochodzenia:

Powtórnie otrzymując wyniki z Załącznika 12, otrzymujemy:

Wynik numerycznych rozwiązań

Zatem, jeśli znamy pierwszy i drugi moment
oraz
, możemy znaleźć średnią i różnicę skumulowanej wartości lub obecnej wartości, zarówno pojedynczej płatności jak i poziomu raty rocznej. Możemy przyjąć prawdopodobieństwo ścisłości funkcji dla
. Niestety, powyższe wzory nie dają wyniku dla gęstości prawdopodobieństwa, nawet jeśli średnia i różnica są nam znane.

Standardowym rozwiązaniem dla tej sytuacji w praktyce, jest użycie symulacji.

Procedurę przedstawiamy poniżej:

1. Założyć prawdopodobieństwo ścisłości funkcji dla
   i jej parametrów

2. Przygotować przypadkową serię liczb oraz przeprowadzić tak dużo prób jak tylko jest to możliwe. Jeśli próby m będą zamierzone, wtedy przypadkowe liczby mn będą niezbędne.

3. Używając standardowych technik symulacji, używać tylko przypadkowych liczb, w celu obliczenia mnogości m dla wartości
   

4. Dla każdej mnogości m
   , obliczyć wymaganą funkcję finansową, np.
   , lub inne funkcje.

5. Wyniki m mogą być użyte w celu rozwinięcia przybliżonej prawdopodobności ścisłości funkcji, dla tej właśnie funkcji finansowej. Oszacowane prawdopodobności dla możliwych wyników mogą być obliczone z wyników m.

Nie będziemy omawiać bliżej techniki symulacji ponieważ zakładamy, iż czytelnik jest zaznajomiony w tym temacie. Czytelnicy, którzy nie są zaznajomieni z tą techniką proszeni są o odniesienie się bezpośrednio do całej książki.

Przykład 12.1 Załóżmy, że i jest obowiązującą stopą procentową, oddzieloną przedziałem czasowym
dla t = 1,2 i 3. Dla skumulowanej wartości inwestycji 1 w przeciągu ostatnich 3 lat, znajdź:

1. Średnią

2. Odchylenie standardowe

1. Dla jednolitego podziału otrzymujemy:

Bezpośrednie zastosowanie wzoru (12.1) daje nam:

2. Dla jednolitego podziału otrzymujemy:

Bezpośrednie zastosowanie wzoru (12.4a) daje nam:

Dlatego też, odchylenie standardowe to
. Ta odpowiedź wydaje się racjonalna w stosunku do związku z maksymalnym zakresem możliwych wyników, tzn.:

do

Przykład 12.2. Przeróbmy Przykład 12.2 dla skumulowanej wartości inwestycji 1, na początku każdego roku w przeciągu trzech lat.

1. Bezpośrednie zastosowanie wzoru (12.5) daje:

2. Stosując wzory (12.6) oraz (12.7) otrzymujemy:

i

Stosując wzór (12.8) otrzymujemy:

Tak, że standardowe odchylenie wynosi
. Ten wynik wydaje być się racjonalnym w stosunku do związku z maksymalnym zakresem możliwych wyników, tzn.:
do

12.3 Model Logarytmicznie - Normalny

Występuje jeden ważny przypadek modelu ukazanego w Sekcji 12.2 dla którego przydatny wynik może być uzyskany analitycznie. Załóżmy, iż przypadkowa zmienna
poprzedza zwykłe rozdzielenie ze średnią
i wariancją
. Następnie przypadkowa zmienna
poprzedza logarytmicznie-normalne rozdzielenie z parametrami
i
Średnia i różnica logarytmicznie-normalnego rozdzielenia z parametrami
i
dają:

Średnia

I

Wariancja

Zaczynając od wzoru (1.40), jak w Sekcji 12.2, otrzymujemy:

Prawa strona równania jest sumą n - niezależnych przypadkowych zmiennych ze średnią
i wariancją

Ponieważ średnie i wariancje są zależne od siebie, kiedy występuje niezależne rozdzielenie, otrzymujemy:

I

Bezpośrednio a(n) idzie w parze z logarytmicznie-normalnym rozdzieleniem, którego średnie i wariancje są od siebie zależne, w takim przypadku otrzymujemy:

I

Omówmy obecne wartości dla których musimy zanalizować rozdzielenie
:

co rozłożone jest na średnią
i wariancję

Dlatego też, otrzymujemy następujące rozszerzone wzory (12.18) oraz (12.19) dla

W podobnym przypadku, otrzymujemy także rozszerzone wzory (12.20) oraz (12.1) tylko dla
:

Powyższe wariancje wzorów dla a(n) oraz
, tzn. wzory (12.21) oraz (12.25) są skomplikowane i trudne do opracowania. W praktyce, logarytmy a(n) oraz
są zwykle stosowane, co pozwala nam zastosować normalne rozdzielenie i pracować z o wiele prostszymi wzorami (12.19) oraz (12.23), w momencie gdy potrzebujemy różnic.

Wraz z powyższymi wzorami, jesteśmy w stanie znaleźć momenty i oszacować prawdopodobne zestawienia, o możliwych wynikach
oraz
bez odnoszenia się do symulacji.

Przypomnijmy wzór (1.33) dla natężenia stopy procentowej:

Zatem, widzimy, iż wzór po prawej stronie (12.17) może być zinterpretowany jako suma
Tak jak w Sekcji 1.10 definiujemy:

Nawias odróżnia
, które jest poziomem odpowiedniego natężenia do przedziału t - 1 do t, z
, które jest odpowiednim natężeniem tylko dla chwilowego momentu t.

To wydaje się być racjonalne w niektórych przypadkach aby przypuszczać, że wahania w natężeniu stopy procentowej wiążą się ze zwykłą dystrybucją. Kiedy ta hipoteza potwierdza się, wtedy połączone nagromadzenie oraz pominięte czynniki , tzn:
oraz
, będą szły wraz z logarytmicznie-normalnym rozkładem.

Nawet jeśli
oraz
nie idą w parze z logarytmicznie-normalnym rozkładem, jest wciąż możliwe aby użyć logarytmów przy zastosowaniu normalnego rozkładu, w celu poszerzenia n. Jest to zastosowaniem Centralnego Twierdzenia Limitu w statystykach. To twierdzenie udowadnia zastosowanie wzorów: (12.18) i (12.19) oraz wzorów (12.22) i (12.23) jako dopuszczalnych przybliżeń dla poszerzenia n, niezależnie jak l + i oraz
są rozdzielone. Centralne Twierdzenie Limitu może być wtedy użyte jako prawdopodobne przewidywania oraz aby rozwinąć pewne już przedziały dla różnych wyników. Będzie to przedstawione w Przykładzie 12.4.

Jednym z końcowych spostrzeżeń jest zauważenie średnich i wariancji dla normalnego rozkładu proporcjonalnie do n. Jednakże, odchylenie standardowe proporcjonalne jest do
Na przykład, w analizie ln a(n), jeśli podwoimy n, podwoi się średnia. Jednak, odchylenie standardowe tylko podwyższy czynnik

Przykład 12.3 Załóżmy, iż 1 +
idzie w parze z logarytmicznie - normalnym rozkładem z
oraz
. Znajdź średnią i odchylenie standardowe dla:

1. a(5).

2. 
   

3. 
   

4. 
   

1. Średnia

Ze wzoru (12.15) otrzymujemy:

Stosując wzór (12.1) otrzymujemy średnią:

Wynik może być także uzyskany poprzez bezpośrednie zastosowanie wzoru (12.20)

Odchylenie standardowe

W tym przypadku a(5) ma logarytmicznie-normalny rozkład z parametrami
oraz
, tak więc ze wzoru otrzymujemy:

Zatem, odchylenie standardowe to
. Ćwiczeniem będzie tutaj potwierdzenie tej odpowiedzi poprzez alternatywne podejście do wzoru (12.4a).

2. Średnia

Ze wzoru (12.8) otrzymujemy:

Odchylenie standardowe

Ze wzoru (12.8) otrzymujemy:

Zatem, odchylenie standardowe to

3. Średnia

Ze wzoru (12.15) otrzymujemy:

Stosując wzór (12.9) otrzymujemy:

Ten wynik może być także uzyskany poprzez bezpośrednie zastosowanie wzoru (12.24). Zauważ, iż
, tak więc
, co różni się w częściach 1 i 2 powyżej.

Odchylenie standardowe

Teraz
posiada logarytmiczno-normalną dystrybucję z parametrami
oraz
, tak więc ze wzoru (12.25) otrzymujemy:

Zatem, odchylenie standardowe to

4. Średnia

W części 3 powyżej dowiadujemy się, że
. Zatem ze wzoru (12.11) otrzymujemy:

Odchylenie standardowe

Otrzymaliśmy
, gdzie
Stosując wzór (12.14) otrzymujemy:

Zatem, odchylenie standardowe to

Przykład 12.4 35- latek odziedziczył $100,000 i chciałby zainwestować wszystko w emeryturę w wieku 65 lat. Fundusz inwestycyjny zarobi na tym 4%, 7% lub 10% o następujących prawdopodobieństwach:

Zwrot w każdym roku będzie zależał od zwrotów w latach poprzednich. Zastosuj Centralne Twierdzenie Limitu w celu określenia sumy, jaką inwestor zgromadzi w wieku 65 lat z 95% prawdopodobieństwem.

Tabela 12.1 zawiera kalkulacje potrzebne do sprawdzenia wymaganych wzorów w tej sekcji. Pamiętaj, że po użyciu logarytmów będziemy zajmować się wartościami, które są normalnie rozprowadzane.

Tabela 12.1 Kalkulacje dla Przykładu 12.4

Probability - Prawdopodobieństwo

Expected value - oczekiwana wartość

Średnia
to

Wariancja
to

Otrzymujemy n= 30. Wzór (12.18) daje nam:

A wzór (12.19) daje nam:

Wartość, która może być osiągnięta występuje w pozostałych 5%. W standardowej normalnej rozkładzie otrzymujemy:

Niech A będzie skumulowaną wartością na jednego zainwestowanego dolara i w ten sposób otrzymamy:

Rozwiązując to równanie otrzymujemy:

Lub

Na każdego jednego zainwestowanego dolara. Zatem, odpowiedź to:

Co może być skumulowane z 95% prawdopodobieństwem w wieku 65 lat.

Jest to pouczające aby porównać tą odpowiedź ze środkiem skumulowanej wartości co daje nam:

12.4 Czasowe modele szeregowe

W Sekcji 12.2 i 12.3 założyliśmy, iż stopy procentowe
, w każdym kolejnym okresie są niezależne. W Sekcjach 12.4 i 12.6 rozważamy modele w których to założenie nie sprawdza się.

Zależne stopy maja zdecydowanie intuicyjne odwołanie. Na przykład, jeśli stopa procentowa w jednym okresie jest znacznie wyższa niż długoterminowa przeciętna stopa, wtedy uzasadnione jest założenie, iż następująca stopa w danym okresie będzie najprawdopodobniej wyższa niż przeciętna. To samo założenie wydaje się być uzasadnione dla stóp niższych od przeciętnych.

Innymi słowy, historyczne doświadczenia sugerują, że bardziej prawdopodobne dla stóp jest aby zostały wyższe lub niższe dla kilku kolejnych okresów niż dla stóp wyższych przypadkowych lub niższych przeciętnych. To wydaje się bardziej wiarygodne, gdy rozważamy fakt, iż poziom stóp jest związany z warunkami ekonomicznymi oraz z polityką rządową.

Jest wiele różnych modeli, które mogą być utworzone w celu rozważenia zależności. Niektóre z nich są poniżej możliwości tej książki. Jednakże, będziemy omawiać niektóre z prostszych przypadków, zaczynając od szeregu czasowego analizowanych statystyk.

Kilka rodzajów modeli czasowych szeregowych zostało tutaj rozbudowanych. Główne modele to średnia krocząca(MA), auotregresywne modele(AR) lub pomieszanie tych dwóch. Ukażemy tylko autoregresywne modele w tej sekcji ponieważ są łatwiejsze do zastosowania. Jednakże, czytelnicy którzy mają podstawy w czasowych modelach szeregowych powinni rozważyć zastosowanie średniej ruchomej.

Jako przykład tego prostego założenia, rozważmy jednolity rozkład, która miał zastosowanie w przykładach 12.1 oraz 12.12. Załóżmy, iż jednolity rozkład zastosowany jest w przedziale większym niż
po stronie średniej stopy procentowej. Zatem, jeśli długoterminowa przeciętna stopa to i, otrzymujemy więc jednolity rozkład zgodnie z przedziałem

Teraz załóżmy, iż kolejne stopy procentowe mogą być połączone poprzez wzór:

Gdzie
. Ta zależność pokazuje, iż jednolita dystrybucja ma zastosowanie centralnie w
, to jest zgodnie z przedziałem
dla każdej kolejnej wartości t - 1.

Stała k jest względna do ciężaru otrzymanego w długoterminowej przeciętnej stopie procentowej i poprzedniego okresu stopy. Jeśli k=0, wtedy otrzymujemy niezależność i stosujemy wynik z Sekcji 12.2. Jeśli k=1, wtedy otrzymujemy całkowitą wagę w stosunku do poprzedniego okresu stopy. Tymczasowa wartość k daje nam częściowy ciężar dla i oraz dla
. W rzeczywistości wykonujemy liniową interpolację pomiędzy dwoma z nich.

Ta prosta ilustracja dotyczy zastosowania autoregresywnego procesu pojedynczej kolejności AR(1). Taki proces powoduje, iż stopa procentowa w jednym okresie jest wyższa niż w poprzednim.

Kolejne wyniki zostały uzyskane poprzez zastosowanie logarytmicznie - normalnego rozkładu w sposób zależny. Zostanie to zrealizowane poprzez specyfikacje formy
jako określonego wzoru (12.26). Zakładamy, iż długoterminowa przeciętna siła stopy procentowej otrzymywana jest poprzez
to jest :

Dla t = 1,2,3…..

Teraz zastosujmy proces AR(1) i rozwińmy go szerzej niż przedstawiliśmy go powyżej. Ten proces zakłada, iż
jest oparty na długoterminowej przeciętnej sile okresu poprzedniego. Zatem, ma ono następująca formę:

Widać tutaj ewidentne podobieństwo do wzoru (12.27). Wyrażenie e(t) jest mylnym pojęciem i zakłada, iż e(t) jest dla t = 1,2,3…. są niezależne i identycznie rozpowszechnione według rozkładu normalnego ze średnią
i wariancją
.

Potwierdzamy te rezultaty beż żadnych dowodów. Wariancja
przedstawiona jest jako:

A kowariancja pomiędzy
a
ukazana jest jako:

Dla t>s. Powyższe wzory wymagają aby
. Zauważ, iż k = 0, mamy więc niezależność i wyniki, zastosowane w Sekcji 12.2.

Bardziej rozwinięta czasowo szeregowa procedura znajduje się w autoregresywnym procesie podwójnej kolejności - AR(2). Ten proces zakłada, iż
oparte jest na długoterminowej przeciętnej sile i siłach z poprzednich okresów. Zatem, uzyskujemy następującą formę:

Błędne pojęcie e(t) jest określone tak samo jak w procesie AR(1). Różnica
ukazana jest następująco:

Kowariancja pomiędzy
a
przedstawiona jest jako:

Dla t>s, gdzie

I gdzie
i
są odwzajemnione jako główne źródło charakterystycznego równania

Jest możliwe, iż powyższe równanie posiada nierzeczywiste źródło. Wyżej wymienione wzory wymagają trzech warunków:

Ponownie zauważmy, że jeśli
, mamy wtedy niezależność i wyniki zastosowane w Sekcji 12.2.

Powyższe zastosowanie procesów AR(1) oraz AR(2) jest w rzeczywistości analityczne. Jednakże, kolejnym podejściem, które może być zastosowane jest symulacja. Inne modele stosujące zależność, mogą być również użyte oraz realizowane wraz z symulacją. Ważne jest, iż żaden model nie może być stosowany z empirycznymi danymi, przed użyciem, w celu sprawdzenia jak radzi sobie model z aktualnymi wynikami.

Przykład 12.5 Załóżmy, iż długoterminowa obowiązująca stopa procentowa w określonej sytuacji wynosi 6% a w poprzednim roku 9%. Porównaj zależność przedstawioną we wzorze (12.27) w okresie 3 lat, zakładając, iż stopa w każdym roku jest dokładnie równa stopie opartej na długoterminowej przeciętnej stopie i stopie z poprzedniego roku.

1. Jeśli k = .2.

2. Jeśli k = .8.

1. Załóżmy, że:

Regresja wartości do średniej stopy 6% jest natychmiastowa.

2. Załóżmy, że:

W tym przypadku regresja w stosunku do średniej jest znacznie wolniejsza.

Celem tego przykładu jest zilustrowanie domniemanej zależności przedstawionej przez różne wartości k. Oczywiście w praktyce aktualna roczna stopa procentowa jest bardziej prawdopodobna niż oszacowana stopa oparta na długoterminowej przeciętnej stopie i stopy z poprzedniego roku, tak że powyższa równa zależność będzie znacznie podwyższona. Jednakże, efekt wyboru k, będzie wyraźny w pojęciach wielkości regresji w stosunku do długoterminowej przeciętnej stopy procentowej jak na powyższej ilustracji.

Przykład 12.6 Wiemy, iż
idzie w parze z procesem AR(1) ze średnią = .09, różnicą = .003, oraz kowariancją pomiędzy sąsiadującymi wartościami = .002. Oszacowana wartość
wynosi .075. Znajdź aktualną wartość
.

Podzieliliśmy wzór (12.31) wzorem (12.30) aby uzyskać:

Oznaczmy aktualne wartości poprzez
oraz oczekiwane wartości poprzez
. Ze wzoru (12.29) otrzymujemy:

Co daje nam:

Przykład 12.7 Wiemy, że
idzie w parze z procesem AR(2) ze średnią równą .08. Następujące wartości przedstawione są poprzez tabelę

Actual - Aktualnie

Estimated - Oczekiwane

Znajdź oczekiwaną wartość dla

Jeśli zastosujemy wzór (12.32) dla
oraz 4, otrzymamy:

W skróconym zapisie otrzymujemy:

Są to dwa równania z dwoma niewiadomymi, które mogą być rozwiązane stosując
oraz
. Zauważ, iż wartości k spełniają trzy wymagane warunki.

Zatem, otrzymujemy:

12.5 Drzewo Dwumianowe

Kolejnym zależnym modelem stopy procentowej jest model dwumianu. Ten model tworzy szereg przyszłych ścieżek stopy procentowej, dotyczących ciągu ruchów górnych i dolnych w stopie procentowej. Przedstawiona graficznie prezentacja zwana jest zwykle dwumianem kratowym lub drzewem dwumianu.

Model dwumianu rozpoczyna się obecną stopą procentową, co pozostaje poziomem ponad niektóre określone okresy a następnie porusza się zarówno w górę jak i w dół z ustanowionym prawdopodobieństwem. Nie może pozostawać to poziomem, zatem, nazwa „dwumian” dotyczy faktu, iż są dwie możliwości wyniku, gdzie prawdopodobieństwo sumuje się.

Proces powtarza się w kolejnych okresach w przyszłości. Ilość okresów jest wyższa w stosunku do modelu opartego na określonym zastosowanemu. Każdy kolejny okres jest równy pod względem długości a prawdopodobieństwa ruchów górnych i dolnych pozostają niezmienione w każdym okresie.

Metoda dwumianu jest przykładem błądzenia losowego, terminu uzyskanego w zastosowanych statystykach. Początkowa wartość dla każdego okresu jest końcowym punktem poprzedniego okresu. Również i wynik w każdym okresie jest niezależny od okresów poprzednich.

Drzewo dwumianu ilustruje graficznie różnicę.

Zamknięte drzewo

Otwarte drzewo

Po okresach n, zamknięte drzewo będzie miało n + 1 zamknięte punkty a otwarte drzewo bez żadnych podwojeń, będzie posiadało końcowe punkty
. Otwarte drzewa są bardziej złożone niż zamknięte.

Zamknięte drzewo nazywane jest dwumianem dodatkowym jeśli górne i dolne ruchy mają taką samą wartość. Na przykład, jeśli każdy ruch stopy procentowej jest mniej więcej 1%-towy, model nazywany wtedy jest „dodatkowym”.

Zamknięte drzewo nazywane jest wielokrotnym modelem dwumianu jeśli każdy górny i dolny ruch jest stale wielokrotny do poprzedniej stopy procentowej. Model ten posiada wyraźną zaletę - stopy procentowe nigdy nie będą negatywne tak jak przy modelu dodatkowym.

Tak jak w poprzednich rozdziałach, określamy stopę procentową dla okresu czasu t - 1 do t jako
. Zatem, drzewo zaczyna się od
, stopą procentową dla pierwszego okresu, a następnie odgałęzia się od niego.

Często stosowany wielokrotny model przedstawiony jest jako:

If up move - jeśli jest to ruch górny

If down move - jeśli jest to ruch dolny

Parametr k jest często określany jako parametr lotności w tym rodzaju modelu wielokrotnego.

Określmy prawdopodobieństwo ruchu górnego i dolnego. Prawdopodobieństwo ruchu dolnego będzie wynosiło 1 - p. Rysunek 12.2 przedstawia ogólne dwuokresowe drzewo wielomianu wielokrotnego opartego na powyższym zapisie.

Rysunek 12.2 Dwuokresowe drzewo wielomianu

Następnie rozważmy ilość źródeł stopy procentowej w stosunku do drzewa. Jeśli byłyby n okresy w tym modelu, wtedy pojawi się maksymalnie
takie źródła.

Niektóre źródła mogą lub nie mogą być podwojone co zależy od określonego zastosowania. Na przykład, na Rysunku 12.2 środkowa wartość dla
oparta jest na jednym górnym i jednym dolnym ruchu w takiej samej kolejności. Jednak, dwa źródła nie są równoważne jeśli chodzi o obliczenie obecnych wartości od ponad dwóch lat. Oba źródła stosują stopę procentową
w pierwszym roku ale mają różną
w kolejnym roku.

Chociaż pokazaliśmy jak budować drzewo stopy procentowej, jest jeszcze coś o czym warto wspomnieć. Typowym powodem budowy takiego drzewa na pierwszym miejscu jest kalkulacja finansowej wartości dla wszystkich źródeł, które mogą być obliczone

Jednym z najpowszechniejszych zastosowań drzewa stopy procentowej jest ocena obligacji. Przedstawimy ilustracyjnie niektóre obligacje kalkulacyjne w Przykładach 12.9 oraz 12.10.

Technika oceny jest procesem rekursywnym, które zaczyna się po prawej stronie końca drzewa i powraca do początku lewej strony. Załóżmy więc obligacje kuponu, gdzie okres opłacenia kuponu zachodzi w tym samym czasie co okres drzewa.

Niech V będzie wartością obligacji, to jest obecną wartością przyszłego przepływu gotówki, na początku okresu. Następnie, określmy obecne wartości na koniec okresu:

- gotówka przepływa w ruchu górnym

- gotówka przepływa w ruchu dolnym

- wartość w ruchu górnym

- wartość w ruchu dolnym

Zauważ różnicę pomiędzy przepływami gotówki występującymi na koniec okresu, oznaczonym poprzez R, oraz obecną wartość przyszłego przepływu gotówki występującą później, oznaczonym poprzez V.

Wzór rekursywny otrzymujemy poprzez:

Gdzie
jest stopą procentową dla określonego okresu w kwestii ukazanej na drzewie.

Czytelnik może być ciekawy wyboru długości okresów. We wzorze (12.38) wybieramy okres drzewa tak aby współistniał z częstotliwością kuponu obligacji dla ułatwienia. To daje nam typowy wynik w półrocznej częstotliwości dla obligacji, ale także typową miesięczną częstotliwość dla kredytu hipotecznego.

Praktyczne zastosowania są opracowane na komputerze a także krótszy okres może być wybrany aby uniknąć przepływu gotówki w środku okresu. Wzór (12.38) wciąż działa, jeśli nie ma przepływu gotówki poprzez ustanowienie, iż
. W rzeczywistości, stosowanie drzew z wieloma gałęziami i krótszymi okresami według ustalonego terminu przedziału dla całej kalkulacji, może poprawić ścisłość wyników w wielu zastosowaniach.

Jest także możliwe pod pewnymi warunkami aby skrócić okres do zera i stworzyć model prawdopodobieństwa. Nie będziemy próbować rozwinąć tego modelu w tej sekcji. Jednakże, zauważmy ze Sekcja 12.6 będzie prezentowała niektóre stochastyczne modele prawdopodobieństwa stopy procentowej.

Przykład 12.8 Drzewo dwumianu z roczną obowiązującą stopą procentową jest zbudowane wg wartości 3 letniego zerowego kuponu obligacji i wynosi 1000$ do zapłaty. Początkowa stopa procentowa w drzewie to 10%. Model wielokrotności z prawdopodobieństwem p = 5 i parametrem przesunięcia k = .2 będzie tutaj zastosowany.

1. Przelicz wartość tej obligacji z drzewa

2. Przelicz wartość tej obligacji używając 10%-towego wskaźnika poziomu dochodowości..

1. Wraz z zerowym kuponie obligacyjnym nie mamy przepływu gotówki w stosunku do czasu t = 3. Drzewo ma 3 okresy i jest to ukazane na Rysunku 12.3

Rysunek 12.3 Drzewo wielomianu dla Przykładu 12.5

Zauważmy, iż gałęzie pomiędzy czasami t = 2 oraz t = 3 nie będą stosowane dla jakichkolwiek kalkulacji w tym przykładzie. Wszystkie stopy procentowe, które zostaną użyte są już znane w czasie t = 2. ( to jest: początek 3 roku).

Ponieważ nie ma przepływu gotówki do czasu t = 3, możemy przyspieszyć proces opisany w tej sekcji. Bardziej niż używając wzoru (12.38), możemy pominąć wartość do zapłaty $1000 na okres 3 lat w prawidłowych stopach procentowych z drzewa. Wartości wymagane przy kalkulacji są określone poniżej:

Path - ścieżka

Probablility - prawdopodobieństwo

Present value - obecna wartość

Wartość 3-letniego zerowego kuponu obligacyjnego jest przeciętna w stosunku do różnych ścieżek stopy procentowej, to jest:

2. Wartość tej obligacji, użytej jako stały dochód 10% stopy jest równa:

Zauważmy, iż wartość jest większa niż wartość uzyskana w części 1 pomimo całkowitej symetrii stóp procentowych w części 1 przy początkowej wartości
Intuicyjnie ma to sens. Część 1 ma ważną stopę procentową, podczas gdy część 2 już jej nie posiada. Większa stopa procentowa prowadzi do wyższego dochodu stóp a zatem i niższych cen. Jest to prawdą nawet dla zerowego kuponu obligacyjnego.

Przykład 12.9 Chciałbyś zainwestować $1000 na jeden rok, gdzie norma wartości obligacji wynosiłaby 7.6% wraz z półrocznymi kuponami. Obecna dochodowa stopa procentowa wynosi 8% zamiennie co pół roku. Drzewo dwumianu z półrocznymi okresami zostanie tu zastosowane. Model wielokrotności gdzie p = .4 oraz przesunięcie parametru k = .2 jest wybrany. Przekalkuluj wartość tej obligacji, używając drzewa wielomianu.

Początkowa stopa procentowa jest obecną półroczną stopą dochodu równą .08/2 = 4. Drzewo dwumianu jest przedstawione na Rysunku 12.4

Time (half years) - czas (pół roku)

Rys. 12.4 Drzewo dwumianowe dla Przykładu 12.6

Podobnie jak w Przykładzie 12.8, wartości
nie musza być obliczane, ponieważ nie będą używane do żadnych kalkulacji. Wszystkie stopy procentowe, które będą użyte są już znane, jako czas zakładamy t = 1 (to jest: początek okresu 2).

Ponieważ jest to obligacja kuponu, musimy zastosować wzór (12.38) , cofając się do drzewa. Czas oznaczamy t = 2 we wszystkich przypadkach, otrzymujemy więc:

(wartość płatności + kupon)

Oraz

V = O ( wiązanie zostało spłacone)

Stosując wzór (12.38) jako czas t = 1 na górnej gałęzi, otrzymujemy:

Stosując wzór (12.38) gdzie t = 1 na dolnej gałęzi, otrzymujemy:

W końcu, stosując wzór (12.38) gdzie czas t = o, otrzymujemy:

Przykład 12.10 Opracujmy po raz kolejny Przykład 12.9, jeśli jest to obligacja płatna na żądanie na każdej akcji o wartości nominalnej.

Obligacja nie pojawi się od razu o czasie t = 0 ponieważ jej wartość $997.02 jest mniejsza niż jej wartość nominalna $1000. Także nie pojawi się w czasie t = 1 jeśli stopy procentowe wzrosną, ponieważ ich wartość na tym etapie będzie równa $990.46.

Jednakże, obligacja pojawi się w czasie t = 1, jeśli stopy procentowe obniżą się, ponieważ wartość na tym etapie będzie wynosiła $1004.25. Zatem, musimy ponownie obliczyć wartość w czasie t = 0 zastępując $1004.52 i wywołując wartość $1000. To daje wartości w czsie t = 0

Zatem, wartość obligacji płatnej na żądanie jest mniejsza niż wartość innej niepłatnej na żądanie obligacji. Obligacje płatne na żądanie wiążą się z większą niepewnością, cena takiej obligacji powinna być niższa aby rekompensować ilość kupców dla większej niepewności.

W rzeczywistości, w praktycznym zastosowaniu jednym z podstawowych użyć drzewa dwumianowego jest wycena papierów wartościowych i innych finansowych zagadnień w procentowych przepływach gotówki. Obligacje płatne na żądanie są bardzo ważnym przykładem takiej gwarancji.

1. Stochastyczne Modele Prawdopodobieństwa

Końcowa kategoria zależności stopy procentowej to model stochastyczny prawdopodobieństwa. To w rzeczywistości jest rodzina modeli, zbudowana w podobny sposób ale z innymi właściwościami i charakterystyką. Omówimy cztery takie modele we wzrastającej kolejności złożoności i zaawansowania.

Teoria poniższych modeli stochastycznych prawdopodobieństwa, jest stosunkowo zaawansowana. Wymaga ona zastosowania stochastycznych rachunków oraz rozwiązania różniczkowych równań.

Nie będziemy próbować rozwinąć wszystkich poniższych teorii w tej prostej książce. Zatem, zaprezentujemy materiał logicznie i użyjemy nieciągłych przybliżeń w różnych zastosowaniach modeli.

Ponieważ modele są prawdopodobieństwem w naturze, jest oczywiste użycie siły stopy procentowej
omówionej w Rozdziale 1. Oczywiście, różna siła odsetek zawsze może być przekształcona w równoważność stopy procentowej nad przedziałem czasowym, jeśli to konieczne. Dlatego też, te modele stosują początkową wartość,
, i tworzą następnie wartości
z tych modeli. Wszystkie modele przedstawione w Sekcji 12.6 sa oparte na procesie Weinera. Jeżeli zmienna
następuje po Procesie Weinera, wtedy zmiany zachodzące w
w niewielkich odstępach czasowych, będą niezależne i będą podążać według normalnego rozkładu. Następnie zastosujemy prawo własności, tak, że średnia normalnego rozkładu jest proporcjonalna do czasu t, a odchylenie standardowe jest proporcjonalne do
.

Niech y będzie wartością standardowego zwykłego rozkładu, to jest: z
i
Kolejno utworzy się następująca relacja w stosunku do krótkiego okresu czasu:

W ten sposób
jest normalnie rozłożone ze średnią 0 i odchyleniem standardwoym
W końcu, uzyskujemy model ciągły poprzez określenie limitu jako
i oznaczenia wyniku poprzez różniczkę dz

Błądzenie losowe ( Ruchy Browna)

Najprostszym stochastycznym modelem prawdopodobieństwa jest błądzenie losowe, które często nazywane jest Ruchami Browna. Jest to bardzo dobrze znany model w stosowanych statystykach z wieloma rodzajami zastosowań. Czytelnik zauważy, iż prezentujemy odrębną wersje błądzenia losowego. W Sekcji 12.5.

Błądzenie losowe opisane jest jako:

Parametr a zwykle zwany jest parametr dryft, ponieważ powoduje błądzenie losowe w stosunku do przesunięcia wolnego w górę jeśli
lub w dół jeśli
. Standardowe odchylenie w tym procesie, to jest
, często zwane jest parametrem lotności.

Odrębnym przybliżeniem dla tego modelu jest:

Który staje się następującym wzorem zastępczym (12.39)

Zauważ, iż parametr dryft a, jest proporcjonalny do t, podczas gdy standardowe odchylenie
procesu jest proporcjonalne do
.

Innymi słowy, w porównaniu do okresów t, średnia tego procesu to:

A wariancja to:

Następujące obserwacje dotyczące tego modelu są ważne, ponieważ:

1. Zastosowanie parametru dryft a, w stosunku do długich przedziałów czasowych jest wątpliwy, ponieważ jego rezultatem będzie nieokreślony długotrwały wzrost lub spadek
   . Jednakże, jego zastosowanie może być odpowiednie dla krótszych przedziałów, zależnie od sytuacji. Zauważmy również, iż dryft może być całkowicie wyeliminowany poprzez regulację a = 0.

2. Wynik tego modelu może okazać się negatywnymi wartościami dla
   , co jest wyraźnie nieuzasadnione.

3. Lotność jest taka sama bez względu czy
   jest większe czy mniejsze. Wiele modeli mogłoby być wygodniejszych jeśli chodzi o lotność, zależną od wielkości
   ,podanego w punkcie czasu.

4. Wartości
   nie posiadają średniej zwrotu warunkowego. Innymi słowy, nie ukazują tendencji stopniowego ruchu w kierunku długoterminowego wskaźnika w stosunku do czasu. Zatem, jeśli długoterminowa przeciętna
   wynosi 5% a obecna
   = 10%, jest prawdopodobne, iż następny ruch będzie wyższy od aktualnego, ponieważ będzie wolniejszy.

Rendleman - Bartter Model

Rendleman - Bartter Model może być opisany jako geometryczne błądzenie losowe. Model określony jest następująco:

Główną koncepcją jest utworzenie dwóch parametrów
oraz
proporcjonalnych do obecnej wagi

Odrębne przybliżenie dla tego modelu to:

Lub

Obserwacja 1 powyżej jest również zastosowaniem tego modelu. Jednakże, ten model nie posiada słabych punktów, które opisane są w obserwacjach 2 i 3, będących podstawowymi motywacjami dla ich rozwoju. Chociaż słaby punkt jest wciąż obecny w obserwacji 4.

Na dodatek, ten model ma kolejny słaby punkt. Ponieważ lotność jest proporcjonalna do wielkości
określonego punktu w czasie, wzrostowe ruchy zastosowane są w wysokiej wartości
, co może spowodować, iż wartości
mogą osiągnąć nierealistyczne wysokie poziomy.

Vasicek Model

Naszym trzecim modelem jest Model Vasicek. Podstawowym celem tego modelu jest ukazanie średniej zwrotu warunkowego. Model ten jest przedstawiony w następujący sposób:

Termin
dotyczy średniej zwrotu warunkowego. Parametr b jest długoterminową siłą odsetek w stosunku do tego co prezentuje model. Parametr c mierzy wskaźnik zwrotu warunkowego w stosunku do średniej. Na przykład, jeśli c = .2, wtedy przeciętnie model zamykać będzie się w 20% odstępie pomiędzy obecnym
a długoterminowym
w każdym okresie.

Odrębne przybliżenie dla tego modelu to:

Lub

Wyżej wymieniony słaby punkt w obserwacji 4 jasno jest rozwiązany przez ten model, który przedłuża podstawową motywację tego modelu na pierwszym miejscu. Również możliwy słaby punkt w obserwacji 1 nie jest obecny. Jednakże, słaby punkt w obserwacjach 2 i 3 jest jak najbardziej obecny.

Jest to również ważne aby zauważyć dwa szczególne skrajne przypadki modelu Vasick. Jeśli c = 0, model staje się błądzeniem losowym bez dryftu. Jeśli zaś c = 1, model staje się normalnym rozkładem z
. Sedno sprawy leży w tym, iż możemy uogólnić Model Vasick jako mieszankę normalnego rozkładu oraz Ruchu Browna.

Model Cox-Ingersoll-Ross

Nasz czwarty i ostatni stochastyczny model prawdopodobieństwa to Model Cox-Ingersoll-Ross. Jest najbardziej zaawansowanym z tych czterech modeli i próbuje wyeliminować wszystkie słabe punkty, opisane powyżej dla trzech powyższych modeli. Dzieje się to poprzez modyfikacje Modelu Vasick w celu lotności parametru
proporcjonalnego do

Model ten opisany jest w następujący sposób:

Odrębne przybliżenie dla tego modelu to:

Lub

Z powodu swoich interesujących właściwości, Model Cox-Ingersoll_Ross, stał się dość powszechnie używany w stopach procentowych, w celu wykorzystania stochastycznego modelu prawdopodobieństwa.

Praktyczne rozważania:

Zamykamy tą sekcję poprzez wykaz czterech praktycznych rozważań, przydatnych w zastosowaniu tych modeli.

1. Odrębne wersje tych modeli wymagają ostrożnego zdefiniowania t, oraz tego jak często chcemy obliczyć nową siłę odsetek. Na przykład, możemy chcieć określić t = 1 jako okres jednego roku, ale i poprawić ścisłość modelu poprzez częstsze zmiany w sile odsetek. Zatem, na przykład, jeśli ustalimy, iż
   , utworzymy kwartalne wartości
   lub jeśli ustalimy, iż
   , utworzymy wartości miesięczne.

2. Modele te wymagają oszacowania lotności parametrów
   i możliwie innych parametrów a, b i/lub c. Te parametry muszą być spójne z tym jak określimy pojedynczy okres, to jest: t = 1, jak powyżej.

3. Modele analogiczne są często realizowane poprzez użycie symulacji. Głównym założeniem jest utworzenie przypadkowych liczb, które zastosowanie odnajdą w utworzeniu wartości y ze standardowego normalnego rozkładu, to jest: z
   i
   Zatem, jeśli chcielibyśmy utworzyć wartość
   używając miesięcznych wartości z przeciągu roku, potrzebujemy 12 imitowanych standardowych zwykłych zmiennych y.

4. W użyciu modeli analogicznych, końcowa wartość jednego okresu staje się początkową wartością następnego okresu. Zatem, modele są stosowane rekursywnie z okresu na okres.

Przykład 12.11 Obecna siła odsetek wynosi .07. Oszacuj siłę odsetek z jednego roku na przyszły, to jest: w czasie t = 1. Użyj błądzenia losowego (Ruch Browna) z kwartalnym dopasowaniem, to jest:
. Lotność parametru
oraz parametr dryft a = -.004. Następne cztery standardowe zwykłe zmienne były utworzone używając symulacji +2, -.5, +1, 0.

Cztery standardowe normalne zmienne mogą być rozumiane jako ilość standardowych odchyleń ponad lub poniżej średniej wynoszącej 0. Były one wybrane dowolnie aby przedstawić wyraźniej działanie modelu. Przeciętnie te cztery określone wartości są w pewien sposób większe niż średnia.

Interpretacja parametru dryft polega na tym, iż zredukujemy siłę odsetek poprzez .004 lub .4% na rok pod wpływem neutralnych warunków. Wyjaśnienie parametru lotności jest takie, iż standardowe odchylenie siły odsetek w ciągu jednego roku wynosi .01 lub 1%, w stosunku do obecnej siły odsetek, która wynosi 7%.

Teraz zastosujmy wzór (12.41b) rekursywnie cztery razy:

Z początkową wartością
. To daje nam następujące wyniki:

Zatem odpowiedź to .0785 lub 7.85%.

Wynik parametr dryft a = -.004, to ruch dolny w kierunku siły odsetek ze stopą procentową -.001 na kwartał. Jednakże, ten wynik to więcej niż potrącenie przez pozytywne powyższe wartości y ponad średnią. Cała tendencja w czwartym kwartale jest przypisana dryftu. Jeśli parametr dryft będzie wynosił zero, wtedy siła odsetek pozostanie niezmienna w ciągu tego kwartału.

Przykład 12.12 Opracuj ponownie Przykład 12.11 używając Modelu Rendeiman-Bartter.

Zastosujmy wzór (12.45b) rekursywnie 4 razy. W celu osiągnięcia wyników porównywalnych do Przykładu 12.11, pomnóżmy parametry a oraz
przez 1/.07 aby zneutralizować wynik poprzez umieszczenie
we wzorze

Otrzymujemy:

Co daje wynik:

Zatem, odpowiedź to .0783, lub 7.83%.

Wynik użycia geometrycznej wersji Ruchu Browna jest nie do końca oczywistym w ciągu tak krótkiego okresu ze stosunkowo małymi zmianami w sile odsetek. Rezultat stałby się bardziej oczywisty jeśli poziom odsetek wzrósłby lub spadł drastycznie.

Przykład 12.13 Opracuj ponownie Przykład 12.11 używając Modelu Vasicek z parametrami b - .05 oraz c = .20.

Wytłumaczenie parametru b = .05 jest takie, iż długoterminowa siła odsetek jest to 2% poniżej obecnego poziomu. Wytłumaczenie dla parametru c = .20 jest takie, iż wskaźnik zwrotu warunkowego do średniej to 20% na rok. Zastosujemy wzór (12.47b) rekursywnie cztery razy:

Otrzymujemy więc:

Zatem, odpowiedź to .0774 lub 7.74%

Wyniki w tym przykładzie są zbliżone do wyników z Przykładu 12.11. Ten wynik jest przypisany faktowi, iż zwrot warunkowy do średniej jest przybliżony .2 (.05-.07) = -.004 na rok, i jest taki sam jak parametr dryft a, z Przykładu 12.11

Przykład 12.14 Opracuj ponownie Przykład 12.13 używając Modelu Cox-Ingersoll-Ross.

Zastosujemy wzór (12.49b) rekursywnie cztery razy. W celu uzyskania wyników porównywalnych do Przykładu 12.13 pomnożymy parametr
przez
. Aby zneutralizować wynik poprzez umieszczenie
we wzorze.

Otrzymujemy więc:

Co daje wynik:

Zatem odpowiedź to .0774 lub 7.74%.

Według tych warunków w ciągu krótkiego okresu czasu Model Cox-Ingersoll_Ross daje prawie identyczne wyniki jak Model Vasicek. Większe różnice powstałyby wraz z większymi tendencjami poziomu odsetek górnych lub dolnych w ciągu dłuższych okresów czasu.

2. Test Scenariusza

W praktycznym zastosowaniu dla wielu sytuacji w Rozdziałach 11 i 12 podejście zwane testem scenariusza, stało się bardzo popularne. Ta technika, jest w istocie rodzajem zaawansowanej symulacji, która wymaga obszernych zdolności komputerowych do jej zrealizowania, ponieważ ilość obliczeń jest bardzo wysoka. W tym podejściu, każdy „scenariusz” odnosi się do innego rodzaju stopy procentowej.

Na przykład, rozważmy analizę dopasowania wkładów i zobowiązań wobec instytucji finansowych. Ważne jest aby oszacować przyszłe przepływy gotówki z wkładów i przyszłe wypływy gotówki z zobowiązań.

Te napływy i wypływy gotówkowe mogą wiązać się z naturalną niepewnością jeśli chodzi o ilość, prawdopodobieństwo spłaty oraz synchronizację. Ważne jest też, aby rozpoznać w budowie scenariusza, iż te przepływy gotówki mogą być także uzależnione od rodzajów stopy procentowej . Na przykład, jeżeli chodzi o wkład, wspomniany już wcześniej, napływy gotówki wzrastają wraz z obligacjami oraz z przedpłatą hipoteki co uzależnione jest od poziomu stóp procentowych.

Poziom nadwyżek, co może być pozytywne lub negatywne, jest obliczany na koniec okresu projektu dla każdego scenariusza. Te wyniki powodują symptom zakresu możliwych rezultatów. Także inne statystyczne pomiary mogą być obliczane w miejscach wyników, na przykład średnia i standardowe odchylenie.

Wiele decyzji musi być podjętych w zastosowaniu testu scenariusza. Jedna z nich to ilość używanych scenariuszy, to jest ilość różnych dróg stopy procentowej, które musza być rozwiązane. Zwiększając ilość dróg prawdopodobnie zapewnia się lepszy obraz możliwych wyników rozkładów. Jednakże, „prawo malejących zysków” w pewnym stopniu zajmuje tu miejsce. Nie jest prawdą, iż podwajając stos komputerowych wydruków wytwarzamy więcej cennych informacji. Także, czas i rozważania wydatkowe są bardzo ważne. Zatem, znaczenie nauki zależy od wysiłku, który w nią włożymy. W końcowej analizie, ilość stosowanych scenariuszy nie jest jednoznaczna.

Kolejną decyzją jest częstotliwość zmian w stopach procentowych używanych w teście scenariusza, to jest miesięcznie, kwartalnie, rocznie, itd. Ponownie jest to wymiana pomiędzy wzrostem poziomu zaawansowania a wzrostem złożoności, czasu oraz kosztu analizy. Tu również decyzja jest niejednoznaczna i oparta na wielu takich samych rozważaniach jak przy określaniu ilości stosowanych scenariuszy.

Ważnym przemyśleniem jest rozwinięcie ścieżek stopy procentowej dla różnych scenariuszy krzywej dochodowości. W rzeczywistości, w wielu przypadkach testu scenariusza, krzywa j dochodowości jest zaplanowana. Doświadczenie pokazuje, że ogólne krótkoterminowe stopy procentowe są niestałe niż długoterminowe stopy procentowe. Zatem, różnice przyszłych zachowań krzywej dochodowości powinny być nieodłączną częścią testu scenariusza. Innymi słowy, analityk nie powinien ignorować krzywej dochodowości i tym samym bezwarunkowo przypuszczać, że jej kształt jest taki sam w każdym scenariuszu.

Podobny temat to przypuszczenie wystąpienia wskaźników reinwestycji. To przypuszczenie jest ważne, jeśli analiza dotyczy szczegółowego okresu czasu. Może to wiązać się z przypuszczeniami na temat przyszłych zachowań, jak i wyłącznie z finansowymi przypuszczeniami.

Kolejnym ważnym rozważaniem w tworzeniu scenariuszów jest możliwość wolnego od ryzyka arbitrażu w jednej lub w większej ilości ścieżek stopy procentowej. Wraz z istnieniem możliwości wolnego od ryzyka arbitrażu w podanej ścieżce stopy procentowej lub umiejscowienia ścieżek podczas planowania całej krzywej dochodowości, wzrasta zapytanie o wewnętrzną zwięzłość dotyczącą scenariusza lub scenariuszy. Istnieją techniki dla wyeliminowania wolnego od ryzyka arbitrażu, lecz te techniki są poniżej poziomu tej książki.

Istnieją ogólne metody występujące w określaniu ścieżek stopy procentowej w teście scenariusza. Pierwszą jest metoda teraźniejsza. Pod wpływem tej metody analityk bezpośrednio określa wszystkie stopy procentowe w różnych ścieżkach. Ta metoda oferuje maximum elastyczności dla analityka w kwestii wyboru scenariusza. Jest to również wyszczególnione poprzez głównych ustawodawców instytucji finansowych.

Typowe testowane scenariusze zawierają mieszankę optymistycznych wartości środkowych oraz pesymistycznych scenariuszy z przynajmniej jednym „najgorszym przypadkiem”. Stopa procentowa zawiera zarówno wyższą jak i niższą lotność. Ścieżki odzwierciedlają główną długotrwałą koniunkturę wzrostową lub obniżoną w ciągu okresu czasu. Ścieżki ukazują również główny zastój gospodarczy lub hiperinflację, wykorzystywane podczas rozważania nad „najgorszym przypadkiem” scenariusza.

Jednakże, przy tworzeniu wyników opartych na scenariuszach, ważne jest dla analityka aby przydzielić prawdopodobieństwa do różnych scenariuszy. Jednym z powszechnym błędów jest założenie, iż wszystkie scenariusze są równie prawdopodobne. Jednym razem prawdopodobieństwa są przydzielone do różnych scenariuszy a kolejnym razem statystyczne pomiary takie jak średnia i standardowe odchylenie mogą być obliczane poprzez wszystkie scenariusze.

Chociaż oferując dużą elastyczność analitykowi, obecna metoda ma ważne słabe punkty. Jednym z nich jest to, iż metoda jest nieodłącznie dowolna ponieważ ścieżki stopy procentowej są oparte na subiektywnym postanowieniu analityka lub ścieżek opisanych przez ustawodawców. Kolejnym słabym punktem , jest to, iż metoda może być całkiem czasochłonna, ponieważ ważne jest aby określić różne stopy procentowe wymagane dla różnych scenariuszy. Kolejne dwie metody nie wymagają subiektywnych postanowień analityka i określają ścieżki stopy procentowej w bardziej systematyczny i skuteczny sposób.

Drugim typem metody jest metoda prawdopodobieństwa. Jedną z powszechnych metod prawdopodobieństwa jest użycie techniki drzewa dwumianu. Powinno być zauważone, iż występuje dokładna odwrotność pomiędzy cenami obligacji a stopą procentową. Zatem, zakładając, iż ceny obligacji poruszają się dzięki błądzeniu losowemu, to jest to równoznaczne do założenia, iż stopy procentowe poruszają się dzięki błądzeniu losowemu. Pod wpływem tej metody, prawdopodobieństwo ruchu wzrostowego w stopie procentowej danego okresu wynosi p, podczas gdy prawdopodobieństwo obniżonego ruchu wynosi 1 - p. Jeśli p = ½, wtedy wskaźniki podwyższą się lub obniżą przypadkowo w stosunku do ich obecnego poziomu, zakładając, iż czynniki wzrostu i obniżenia są odwzajemnione. Jeśli p
, wtedy nastąpi długotrwała koniunktura wzrostowa w przeciągu czasu, podczas gdy przeciwna okaże się prawdziwa w momencie kiedy
Lotność wyników jest hamowana poprzez wielkość możliwych wzrostowych i obniżonych ruchów.

Trzecim rodzajem tej metody jest metoda stochastyczna. Prawdopodobnie najpowszechniejsza stosowana metoda stochastyczna polega na założeniu, iż kolejne wartości
następują po logarytmicznie normalnym rozkładzie. Jedną z zalet stochastycznej metody jest zdolność do łatwości rozliczenia lotności stopy procentowej. Może być również ukazane to, że powszechne założenia są całkowicie stosowane co powoduje, iż ta metoda staje się skrajnym przypadkiem metody drzewa dwumianu w momencie kiedy drzewa podziału zmniejszają się do zera. Jednym z problemów metody prawdopodobieństwa jak i stochastycznej jest taki, iż stopy procentowe mogą pojawiać się w niektórych ścieżkach po ilości okresów czasowych, co wydaje się nieracjonalnie wysokie lub niskie. Jednym z rozwiązań jest zmniejszenie założonych lotności w ruchu stóp procentowych. Kolejnym rozwiązaniem jest zastosowanie granic na wysokość lub niskość wskaźników. Jednakże, żadna z tych metod, które są w stanie rozwiązać problem, nie jest idealna.

Analiza czasowa jest użyteczna w połączeniu z tworzeniem scenariuszy. To zmusza analityka do rozważań na temat przeszłych danych w budowie scenariuszy. Jednakże, ważne jest aby zapamiętać, iż „przyszłość nie kopiuje przeszłości”. Zatem, niektóre scenariusze mogą dotyczyć warunków, które nie występowały wcześniej.

W końcu, ważne jest także to aby nie ignorować znaczenia przejściowych wyników, poprzez zbytnie koncentrowanie się na rezultatach na koniec okresu planowania. Na przykład, dla określonego scenariusza, jeśli ukażemy pozytywny rezultat na koniec okresu planowania, ale w negatywnym świetle w połowie okresu, możemy nie uzyskać korzystnego scenariusza. W skrócie, bliższa analiza tego określonego scenariusza jest niezbędna.

Powyższe rozważania są krótkim streszczeniem na temat dyskusji testu scenariusza. Ciężko jest być tutaj bardzo dokładnym w dyskusji o tej technice ponieważ jest tak wiele różnych możliwości przeprowadzenia testu scenariusza, które są prowadzone przez analityków ( a nawet więcej!). Niemniej jednak, ta sekcja powinna być użyteczna w zapewnieniu czytelnikowi ogólnej aprecjacji różnych stosowanych metod i dotyczących ich rozważań.

Przykład 12.15 Zainwestowano $1000 na pięć lat w nieznana siłę odsetek, które zmieniają się co roku. Założone jest, iż siła odsetek wiąże się z AR(1) procesem gdzie
, Pięć przypadkowych utworzonych liczb, które tworzą następujące wartości ze standardowej zwykłej dystrybucji:
. Siła odsetek w ciągu roku zakończona jest na .10. Znajdź skumulowaną wartość inwestycji na koniec pięciu lat dla tej ścieżki stopy procentowej.

Pięć kolejnych wartości
zostało utworzonych we wzorze (12.29):

Zatem, skumulowana wartość na koniec pięciu lat dla tej ścieżki stopy procentowej będzie wynosiła:

Dla najbliższej wartości dolara.

W tymże rodzaju problemu, duża ilość ścieżek stopy procentowej będzie utworzona w ten sposób. Statystyczne pomiary, takie jak średnia i standardowe odchylenie, mogą być obliczane dla rozkładów skumulowanych wartości, które utworzone zostały poprzez symulację.

Przykład 12.16 Firma ubezpieczająca wydaje roczny zabezpieczony kontrakt inwestycyjny (GIC), który udziela rocznych kredytów ze wskaźnikiem odsetek równym 8.5%. Firma decyduje się zainwestować wyniki ze sprzedaży GIC w trzymiesięczne papiery wartościowe na początku każdego kwartału. Stopa procentowa zarobiona przez pierwszy kwartał wynosi 8.4% wymiennie co kwartał. Zakładamy, iż przyszłe stopy procentowe poruszają się według błądzenia losowego, gdzie prawdopodobieństwo ruchu wzrostu w stopie procentowej wynosi .4 a ilość ruchów wzrostu i obniżeń w każdym kwartale wynosi .5% oraz .4% odpowiednio wymiennie co kwartał. Znajdź prawdopodobieństwo tego, iż firma straci pieniądze w GIC.

Drzewo dwumianu w tym przypadku, jest drzewem otwartym, co jest przedstawione na Ilustracji 12.1 a nie typowym drzewem zamkniętym. Zatem, są
ścieżki stopy procentowej.

Będziemy pracować nad kwartalnymi stopami procentowymi. Stopą procentową dla pierwszego kwartału jest .021. Ilość każdego ruchu wzrostu w stopie procentowej wynosi .00125, podczas gdy ilość obniżonego ruchu wynosi .001.

Wyniki dla ośmiu ścieżek stóp procentowych są podsumowane w Tabeli 12.2.

Tabela 12.2 Podsumowanie Ścieżek Stopy Procentowej dla przykładu 12.16

Number - ilość

Path - ścieżka

Probability - prawdopodobieństwo

Accumulated value - skumulowana wartość

Pod wpływem GIC, firma musi zapłacić 1.085 na koniec roku na każdego zainwestowanego dolara. Firma straci pieniądze dla ścieżek 7 oraz 8 w Tabeli 12.2. Zatem, prawdopodobieństwo straty wynosi .144 + .216 = .36.

3. Modele bardziej zaawansowane

Ten rozdział jest niewątpliwie złożony oraz wymagający dla wielu czytelników. Pomimo tego, jest on podstawowym wprowadzeniem do stochastycznych modeli stopy procentowej. Celem tej końcowej sekcji jest zapewnienie krótkiego nietechnicznego opisu czterech pozostałych zaawansowanych modeli w wszechstronnym zastosowaniu, co przekracza możliwości tej książki.

1. Pierwszym z nich jest rozwinięcie wielookresowe modeli wolnych od arbitrażu, dotyczących krzywej dochodowości. Wymóg dla tego modelu został opisany w Sekcji 12.7.

2. Modele Vasicek oraz Cox-Ingersoll-Ross dotyczą zwrotu warunkowego w stosunku do długoterminowej siły odsetek jako ich podstawowej cechy. Bardziej złożony model w tej ogólnej kategorii to model powracającej podwójnej średniej, w którym długoterminowa siła odsetek powraca nawet na poziomie dłuższym terminowo. Chociaż brzmi to zupełnie zbędnie i skomplikowanie na początku, ten model udowodnił możliwość utworzenia bardziej realistycznych scenariuszy odsetek dla testu scenariusza.

3. Model Black-Derman-Toy jest bardziej złożonym modelem połączonym z krzywą dochodowości w drzewo dwumianu. Jest także tak zaprojektowany aby dopasować się do aktualnych światowych danych poprzez proces zwany wzorcowaniem. Ten model udowadnia, iż świetnie modeluje lotność krzywej dochodowości z czasem.

4. W końcu, otrzymujemy różne typy modeli liniowo-zamiennych. Te modele zamieniają się przypadkowo pomiędzy dwoma lub więcej rozkładami. Udowadniają skuteczność w pewnych typach zastosowań, w szczególności w zwrotach kapitału własnego.

ZAŁĄCZNIK 12

Źródło wariancji opłaty rocznej

Zamierzymy znaleźć wariancję sum

Gdzie
są niezależne i identycznie rozproszone zmienne. Wzór (3.23) dla
oraz wzór (3.25) dla
mają tą samą formę.

Niech
oraz
będą pierwszym i drugim momentem początkowym, to jest:

Dla k = 1, 2, ……, n. Z niezależności otrzymujemy:

Co oznaczymy poprzez

Wzór, który chcemy udowodnić to:

Dowód osiągnęliśmy poprzez indukcję matematyczną.

Niech n = 1. Wiemy, iż:

Prawa strona wzoru udowadnia, iż:

Zatem, wzór uzyskujemy dla n = 1.

Teraz załóżmy, iż wzór dotyczy n - 1. Definiując:

Otrzymujemy:

Musimy oszacować te trzy terminy.

Z wywołanego założenia mamy:

Z niezależności otrzymujemy:

Dla kowariancji otrzymujemy:

Musimy pokazać, iż suma tych trzech pojęć potwierdza nam hipotezę. Czytelnik powinien sprawdzić czy (A) + (D) + (F) daje pierwsze pojęcie we wzorze; (B) + (G) daje drugie pojęcie; a (C) + (E) + (H) daje trzecie pojęcie.

Zatem, dowód indukcji matematycznej został ukończony.

ĆWICZENIA

12.2 Niezależne stopy procentowe

1. Uzyskaj wzór (12.9)

2. Uzyskaj wzór (12.11)

3. Sumę 1000$ zainwestowano na trzy lata. Obowiązująca stopa procentowa wynosi 8% przez pierwszy rok. Obowiązująca stopa procentowa w drugim roku jest prawdopodobnie 1%, wyższa lub niższa niż w pierwszym roku. Podobnie, obowiązująca stopa procentowa w trzecim roku jest prawdopodobnie 1% wyższa lub niższa niż stopa w drugim roku.

a. Znajdź średnią stopy procentowej w okresie trzech lat

b. Znajdź odchylenie standardowe stopy procentowej w okresie trzech lat

c. Znajdź jak najwięcej możliwych akumulacji na końcu trzech lat

d. Znajdź jak najmniej możliwych akumulacji na końcu trzech lat

e. Znajdź akumulację na końcu trzech lat w średniej stopy procentowej

f. Znajdź średnią wartości akumulacji na końcu trzech lat

g. Znajdź odchylenie standardowe akumulacji na końcu trzech lat

4. Załóżmy, iż
jest obowiązująca stopą procentową przedstawioną w Przykładzie 12.1, to jest: jednolicie w przedziale [.07,.09] dla t = 1, 2, 3.

a. Znajdź
tak aby

b. Znajdź średnią obecnej wartości 1, zapłaconej na końcu trzech lat.

c. Znajdź
tak aby
.

d. Znajdź odchylenie standardowe obecnej wartości w (b).

5. Opracuj ponownie Ćwiczenie 4(b) oraz (d) dla obecnej wartości płatności 1, dokonanej na końcu każdego roku w przeciągu trzech lat.

6. Załóżmy, iż
jest nominalną stopą procentową, następującą po rozkładzie normalnym z
i
dla

a. Znajdź średnią i odchylenie standardowe skumulowanej wartości 100, na końcu dwóch lat.

b. Opracuj ponownie (a) dla skumulowanej wartości płatności 100, zrealizowanej na początku każdej połowy roku w przeciągu dwóch lat.

7. Rozwiń wzory dla:

a.
, oparte na wzorze (12.5).

b.
, oparte na wzorze (12.8)

c.
, oparte na wzorze (12.11).

d.
, oparte na wzorze (12.14).

1. Model logarytmicznie-normalny

8. W Przykładzie 12.3(1), dla odchylenia standardowego, potwierdź, iż odpowiedź może być uzyskana poprzez naprzemianległe podejście do zastosowania wzoru (12.4a).

9. Załóżmy, iż
następuje po rozkładzie logarytmicznie-normalnym z
oraz
Znajdź wzory dla:

10. Załóżmy, iż
następuje po rozkładzie logarytmicznie-normalnym z
oraz
. Znajdź średnią i odchylenie standardowe dla:

11. Załóżmy, że
oraz
, Załóżmy także, że
następuje po rozkładzie logarytmicznie-normalnym. Znajdź średnią i różnicę
.

12. Załóżmy, iż
dla t = 1, 2, 3. Załóżmy także, iż
następuje po rozkładzie logarytmicznie-normalnym z
Znajdź dwuczłonowy 95%-towy przedział prawdopodobieństwa dla skumulowanej wartości inwestycji 1 na końcu trzech lat.

13. Używając tych samych danych jak w ćwiczeniu 12, znajdź średnią oraz wariancję skumulowanej wartości inwestycji 1, zrealizowanej na końcu każdego roku w przeciągu trzech lat.

14. 35-latek zainwestował pewną kwotę aby tym razem uzyskać emeryturę z funduszu, przynajmniej 100.000 $ w wieku 65 lat. Zwrot w każdym roku jest niezależny od wyników rocznych. Użyj Twierdzenia Centralnego Limitu aby określić ilość pieniędzy jaką 35-latek potrzebuje teraz do zainwestowania, aby uzyskać 95% prawdopodobieństwo w momencie kiedy
jest rozproszone jednolicie w przedziale
.

2. Modele szeregu czasowego

15. Oszacuj
dla t = 6, 7, 8 przy wartościach podanych w Przykładzie 12.6, stosując przyszłe rzeczywiste wartości adekwatne do szacowanych wartości.

16. a. Pokaż, iż wzór (12.33) upraszcza się do wzoru (12.30) jeżeli

b. Pokaż, iż wzór (12.34) upraszcza się do wzoru (12.31) jeżeli
.

17. Oszacuj
dla procesu AR(2) w Przykładzie 12.7 opartym na danych dla Z = 1, 2, 3, 4, zakładając, iż błędy są rozłożone normalnie ze średnia = 0 i zakładając, iż zbiorowa wariancja równa jest próbce wariancji.

18. Zakładając, iż wartość
dla procesu AR(2) w Przykładzie 12.7 jest rzeczywiście równy .0002.

a. Znajdź

b. Znajdź

19. Wiadomo, iż
jest rozłożone normalnie i następuje po procesie AR(1). Następujące wartości są podane poniżej:

Actual - rzeczywiste

Estimated - szacowane

1. Znajdź
   

2. Jeżeli
   , znajdź
   .

20. Fundusz inwestycyjny zarobił 6% podczas zeszłego roku. Dla każdego z następnych dwóch lat dochód z funduszu inwestycyjnego
jest prawdopodobny:

1. Pokaż, iż

2. Pokaż, iż

3. Drzewa dwumianu

21. Opracuj ponownie Przykład 12.8 (1) stosując wzór (12.38)

22. Model dwumianu z roczną stopą procentową, utworzony jest w stosunku do wartości trzyletniej obligacji kuponowej, przypadającej do zapłaty 1000$. Początkowa stopa procentowa w drzewie wynosi 10%. Każda stopa procentowa porusza się wzrostowo z 1% i prawdopodobieństwem p = 5 lub obniża się poprzez 1% z prawdopodobieństwem 1 - p = .5.

a. Oblicz wartość obligacji z drzewa.

b. Oblicz odchylenie standardowe obecnej wartości tej obligacji z drzewa.

c. Porównaj wartość obligacji z drzewa oraz wartość, używającą średniej stopy procentowej.

23. Jednoroczna obligacja 9%-towa z półrocznymi kuponami warta jest 1000$. Zastosujemy tu drzewo dwumianu z półrocznymi okresami. Obecny wskaźnik dochodu wynosi 9% wymiennie co pół roku. Każda nominalna stopa procentowa wzrasta poprzez 1% z prawdopodobieństwem p = .3 lub obniża się poprzez 1% z prawdopodobieństwem 1 - p = .7.

a. Przelicz wartość tej obligacji z drzewa.

b. Przelicz poziom prawdopodobnego wskaźnika zwrotu.

24. Opracuj ponownie ćwiczenie 23(a) jeżeli obligacja jest płatna na żądanie na każdym terminie płatności dywidendy na przyszłe akcje o wartościach nominalnym.

25. Opracuj ponownie Przykład 12.9 jeżeli obecny wskaźnik dochodu wynosi 8% wymiennie co kwartał. Zastosuj drzewo dwumianu z przedziałami kwartalnymi.

26. Pomnożony model dwumianu z prawdopodobieństwem p = .4 i parametrem lotności k = .2 jest tutaj wykorzystany. Początkowa stopa procentowa w drzewie wynosi 10%.

a. Znajdź średnią wartości a(3)

b. Znajdź średnią wartości

c. Znajdź średnią wartości

d. Znajdź średnią wartości

4. Modele stochastyczne prawdopodobieństwa

27. Wzory (12.42) oraz (12.43) dają średnią i wariancję procesu
, zgodnie z błądzeniem losowym. Znajdź
oraz
, zgodnie z trzema modelami.

28. Dla Modelu Vasicek określonego przez wzór (12.46):

a. Pokaż, że kiedy c = 0, model staje się błądzeniem losowym bez dryftu.

b. Pokaż, że kiedy c = 1, model staje się rozkładem normalnym z
.

29. Obecna siła stopy procentowej wynosi .06. Zgodnie z błądzeniem losowym z dopasowaniem półrocznym, oszacowane siły odsetek wynoszą:
oraz
. Znajdź oszacowane siły odsetek używając Modelu Rendelman-Bartter z takimi samymi parametrami
oraz
.

30. Norma wartości obligacji w jednym roku wynosi 1000$, i posiada 7.8% półrocznych kuponów. Obecna siła odsetek wynosi .08. Użyj błądzenia losowego z półrocznymi korektami aby oszacować siłę odsetek na przyszłość. Parametr lotności wynosi
oraz
.

a. Znajdź wartość obligacji

b. Znajdź poziom krzywej dochodowości

c. Znajdź wartość obligacji, jeśli standardowa normalna zmienna wynosi .5, używając symulacji

31. Odrzuć cztery standardowe normalne zmienne utworzone przy użyciu symulacji w Przykładach 12.11-12.14. Opracuj ponownie te cztery przykłady aby znaleźć jak największą i jak najmniejszą możliwą siłę stopy procentowej w jednym roku w stosunku do przyszłości. Załóżmy, iż wskaźnik standardowych normalnych zmiennych wynosi 4., to jest:
standardowych odchyleń.

5. Test scenariusza

32. Załóżmy, iż obowiązująca stopa procentowa w ciągu roku zakończona jest na 8%. Ścieżki stopy procentowej będą utworzone w ciągu najbliższych 10 lat zgodnie z drzewem dwumianu. Załóżmy, iż obowiązujący wskaźnik zarówno wzrośnie jak i zmaleje o 10% w byłym poziomie każdego roku i że ruch w każdym kierunku jest równie prawdopodobny.

1. Znajdź jak najwięcej możliwych obowiązujących wskaźników po 10 latach

2. Znajdź jak najmniej możliwych obowiązujących wskaźników po 10 latach.

3. Znajdź obowiązujący wskaźnik po 10 latach, jeśli jest 5 wzrostów i 5 obniżeń.

4. Wytłumacz dlaczego odpowiedzi z punktu c, nie wynoszą 8%.

5. Znajdź prawdopodobieństwo wyniku w punkcie c.

6. Wiemy, iż wynik w nadwyżce 15% jest nierealny. Znajdź prawdopodobieństwo, iż wskaźnik jest ograniczony w 15% na koniec 10 lat.

33. Krótkoterminowe stopy procentowe są bardziej zmienne niż długoterminowe stopy procentowe. W celu przyjrzeniu się temu zjawisku, został tu zastosowany projekt techniczny, dla którego kolejne miejsce wskaźników w ścieżce stopy procentowej jest utworzone przez wzór:

Gdzie
jest odchyleniem standardowym miejsca wskaźnika .Z - jest wartością z rozkładu normalnego standardowego a k jest stałą. Odchylenie standardowe
jest większe dla krótkoterminowych wskaźników niż dla długoterminowych. Załóżmy, iż obecny jednoroczny wskaźnik miejsca wynosi 7% z odchyleniem standardowym .1, podczas gdy obecny pięcioletni wskaźnik miejsca wynosi 8% z odchyleniem standardowym .05. Wskaźniki są zaplanowane na ponad pięć następnych lat dla obu ich miejsc. Pięć przypadkowych liczb jest utworzonych z normalnego standardowego rozkładu: +1.65, -.26, +.73, +1.17, +.98. Te wartości są używane w celu zaplanowania ścieżki stopy procentowej dla obu miejsc wskaźników. Stała k jest równa 1. Znajdź dwa miejsca wskaźników na końcu pięciu lat i pokaż, iż krzywa dochodowości staje się odwrócona

---