Konspekt wykładu A

Konspekt wykładu 1 A. Jóźwikowska

FUNKCJE

Niech X, Y będą dwoma niepustymi zbiorami.

Def. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x ze zbioru X dokładnie jednego elementu y ze zbioru Y.

Piszemy:

lub
.

Czytamy: f odwzorowuje zbiór X w zbiór Y.

Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy D_f.

Zbiór

nazywamy zbiorem wartości funkcji f .

Jeżeli
, to zbiór

nazywamy obrazem zbioru A.

Jeżeli
, to zbiór

nazywamy przeciwobrazem zbioru B.

Obcięciem lub zawężeniem funkcji
do zbioru
nazywamy funkcję
równą funkcji f na zbiorze A tzn. określoną wzorem
dla
.

Iniekcja, Suriekcja, Bijekcja

Niech
.

1. Jeżeli

to funkcję f nazywamy różnowartościową lub iniekcją.

Warunek ten jest logicznie równoważny z warunkiem:

Jeżeli
.

2. Jeżeli
, to funkcję f nazywamy odwzorowaniem zbiór X na zbiór Y lub suriekcją, piszemy
.

c)
i jest różnowartościowa, to funkcję f nazywamy odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym lub bijekcją.

Jeżeli
i
, to funkcję nazywamy liczbową lub funkcją rzeczywistą jednej zmiennej rzeczywistej, krótko funkcją jednej zmiennej.

WŁASNOŚCI FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Niech
,
,
,
.

Zbiór
nazywamy wykresem funkcji f.

Przypomnienie

ILOCZYN KARTEZJAŃSKI

Niech A i B będą dowolnymi niepustymi zbiorami.

Iloczynem kartezjańskim
zbiorów A i B nazywamy zbiór par uporządkowanych
takich, że
i

Funkcję f nazywamy:

Rosnącą [malejącą] w zbiorze A wtedy tylko wtedy, gdy

Niemalejącą [nierosnącą] w zbiorze A wtedy tylko wtedy, gdy

Ograniczoną w zbiorze A wtedy tylko wtedy, gdy

⇔

Różnowartościową w zbiorze A wtedy tylko wtedy, gdy

równoważnie warunek można zapisać

Parzystą wtedy tylko wtedy, gdy

Nieparzystą wtedy tylko wtedy, gdy

Okresową wtedy tylko wtedy, gdy

FUNKCJA ZŁOŻONA

Niech X, U,Y będą niepustymi podzbiorami zbioru R.

Niech
oraz
.

Funkcję
określoną wzorem

nazywamy funkcją złożoną z funkcji h i g lub superpozycją funkcji h i g (symbol
).

Funkcję h nazywamy funkcją wewnętrzną, g funkcją zewnętrzną.

FUNKCJA ODWROTNA

Niech f będzie funkcją różnowartościową przekształcającą zbiór X na zbiór Y
.

tzn. f jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym (bijekcją) zbioru X na zbór Y.

Funkcję

określoną następująco

nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f.

Zachodzi równość

Funkcje f i
nazywamy wzajemnie odwrotnymi.

Wykresy funkcji wzajemnie odwrotnych umieszczone w układzie XOY są symetryczne względem prostej
.

Funkcje cyklometryczne (kołowe)

Funkcję odwrotną do zawężenia funkcji sinus do przedziału
nazywamy arcussinus i oznaczamy arcsin.

Funkcję odwrotną do zawężenia funkcji cosinus do przedziału
nazywamy arcuscosinus i oznaczamy arccos.

Funkcję odwrotną do zawężenia funkcji tangens do przedziału
nazywamy arcustangens i oznaczamy arctg.

Funkcję odwrotną do zawężenia funkcji cotangens do przedziału
nazywamy arcuscotangens i oznaczamy arcctg.

Prawdziwe są tożsamości

dla