Ćwiczenie nr V

DRGANIA POPRZECZNE (GIĘTNE) PRĘTÓW

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest pomiar częstości podstawowej drgań poprzecznych (giętnych) pręta dla różnych długości i materiałów. Następnie porównano wyniki pomiarów częstości drgań tłumionych; tarciem wewnętrznym i konstrukcyjnym w miejscu zamocowania pręta oraz oporami zewnętrznymi powietrza dla
z obliczeniami teoretycznymi.

2. Podstawy teoretyczne drgań poprzecznych (giętnych) prętów

Rozważono pręt prosty wykonany dla różnych długości i różnych materiałów, który utwierdzono na jednym końcu (rys. 1). Uwzględniono jedynie przemieszczenia elementów pręta w kierunku poprzecznym do osi geometrycznej pręta
. Pręt poddano początkowym sprężystym ugięciom; to jest swobodny koniec obciążono siłą prostopadłą do jej osi, którą nagle usunięto (przyjęto hipotezę płaskich przekrojów).

Rys. 1. Obciążenie drgającego pręta

Stosując zasadę d'Alemberta dla elementu pręta o długości
zapisano równanie różniczkowe:

(1)

(2)

gdzie:

- przemieszczenie liniowe dowolnego elementu
o długości pręta
w kierunku poprzecznym do osi geometrycznej
,

- siła poprzeczna w kierunku pręta,

- moment tych sił względem środka długości elementu z pominięciem małych rzędu wyższego,

- siła bezwładności elementu pręta o długości
,

- moduł Younga materiału pręta,

- osiowy moment bezwładności przekroju porzecznego pręta,

- sztywność przekroju pręta na zginanie,

- długość pręta,

- czas,

- przyśpieszenie ziemskie,

- ciężar pręta przypadający na jednostkę długości
,

- oś geometryczna pręta.

Po zróżniczkowaniu równania (2) względem
i podstawieniu do (1) otrzymano

. (3)

Dla małych ugięć pręta, równanie linii ugięcia zapisano w następującej formie

. (4)

Po dwukrotnym zróżniczkowaniu (4);
i po podstawieniu do (3) równania ruchu elementu pręta otrzymano w następującej formie

. (5)

Równanie (5) zapisano następująco

(6)

gdzie:
.

Rozwiązanie równania (6), po zastosowaniu metody zmiennych rozdzielonych przedstawiono w formie funkcji
w postaci iloczynu dwóch funkcji

. (7)

Po podstawieniu (6) do (7) otrzymano

. (8)

Żeby równanie (8) było spełnione dla każdego
i
musi zachodzić związek

. (9)

Związek (9) jest równoważny układowi dwóch sprzężonych równań różniczkowych:

(10)

gdzie:

. (11)

Rozwiązanie ogólne pierwszego równania z układu równań (10) przedstawiono w formie:

(12)

gdzie:
są stałymi, które można wyznaczyć z warunków początkowych ruchu.

Rozwiązanie ogólne równania (10) zapisano następująco

(13)

gdzie:
- są stałymi, które wyznaczono z warunków brzegowych.

Dla pręta prostego ugięcie i kąt ugięcia na końcu utwierdzonym pręta oraz moment gnący i siła tnąca na końcu swobodnym są równe zeru. Warunki zapisano w następującej formie:

(14)

Po wykonaniu przekształceń algebraicznych ostatecznie uzyskano równanie częstości w postaci

. (15)

Równanie zostało rozwiązane wykreślnie, gdzie otrzymano wzory określające częstośći własne:

• częstość podstawowa

(16)

• druga częstość harmoniczna

(17)

Częstością własnym (16), (17) odpowiadają postacie drgań. Ponieważ istnieje
częstość własnych to istnieje
rozwiązań szczególnych o postaci (12) i (13) układu (10).

Rozwiązaniem ogólnym równania (6) zgodnie z (7) są następujące funkcje w postaci sumy:

(18)

LITERATURA

1. Praca zbiorowa: Wernerowski K., Siołkowski B., Holka H.: Laboratorium z kinematyki i dynamiki, WSI, Bydgoszcz 1973.

2. Jakowluk A.: Mechanika techniczna i ośrodków ciągłych, Ćwiczenia laboratoryjne, PWN, Warszawa 1977.

3. Osiński Z.: Teoria drgań, PWN, Warszawa 1978.

4. Wernerowski K., Topoliński A.: Zbiór zadań z kinematyki, dynamiki i drgań, Wydawnictwo Uczelniane ATR, Bydgoszcz 1984.

5. Botwin M.: Mechanika i wytrzymałość materiałów. PWN, Warszawa.

6. Bukowski J.: Mechanika płynów. PWN, Warszawa.

7. Jakubowicz A., Orłoś Z.: Wyrzymałość materiałów. WNT, Warszawa.

8. Misiak J.: Mechanika techniczna, t. 1; Statyka i wytrzymałość materiałów. WNT, Warszawa.

9. Siuta W.: Mechanika techniczna. WSiP, Warszawa.

10. Zielnica J.: Wytrzymałość materiałów. Wyd. Politechniki Poznańskiej.

5