Laplasjan we wspó
rz
dnych biegunowych (walcowych) i sferycznych.

A. Wspó
rz
dne biegunowe.

Tutaj

Mamy

Nast
pnie

Analogicznie

Ale

Otrzymujemy wi
c ostatecznie

B. Wspó
rz
dne sferyczne.

Je
eli przyjmiemy

,

to otrzymamy

oraz

.

St
d, aby otrzyma
wyra
enie na laplasjan we wspó
rz
dnych sferycznych, wystarczy dwukrotnie zastosowa
wzór na przej
cie od wspó
rz
dnych kartezja
skich do wspó
rz
dnych biegunowych. Tak wi
c

oraz

.

Dodaj
c powy
sze równo
ci stronami, otrzymujemy

.

Pozostaje wyrazi
odpowiednio
. Mamy

za
przez analogi
z poprzednio otrzymanymi wzorami na
i
otrzymujemy

(
trzeba zast
pi
przez r,
- przez
, za
x - przez
)

,

wi
c

,

czyli

lub te
, co ju
bardzo
atwo sprawdzi
,

.

Uwaga. Je
eli stosuje si
nieco inny wariant wspó
rz
dnych sferycznych, przy którym „szeroko

geograficzn
” (k
t
) liczy si
„od bieguna pó
nocnego” (0), a na „biegunie po
udniowym” sfery wynosi
, czyli gdy stosuje si
zwi
zki

,

to wyra
enie na laplasjan we wspó
rz
dnych sferycznych wygl
da nieco inaczej - a mianowicie

lub te
, co ju
bardzo
atwo sprawdzi
,

.

---