Gazy doskonałe i rzeczywiste. Lotność.

ZADANIA

1. Odgazowane naczynie zawiera resztki argonu pod ciśnieniem 10^-3 Pa w temperaturze 320K. Obliczyć a) liczbę cząsteczek w jednostce objętości, b) średnią drogę swobodną, c) średni czas między zderzeniami. Średnica cząsteczki argonu d = 0,29 [nm], stała Boltzmanna k = 1,38⋅10^-23 [kg⋅m²⋅s^-2⋅K^-1]. M_Ar = 39,9 [g/mol].

Rozwiązanie.

a) Liczbę cząsteczek w jednostce objętości (N_cz.) obliczamy dzieląc liczbę cząsteczek w jednym molu gazu doskonałego (N_A - liczba Avogadra) przez jego objętość molową (V_m), którą można obliczyć dla danych warunków ciśnienia i temperatury z równania Clapeyrona

(1)

b) Średnią drogę swobodną obliczamy posługując się równaniem (2)

(2)

c) Średni czas między zderzeniami jest to czas, w którym cząsteczka poruszająca się ze średnią prędkością przebędzie średnią drogę swobodną

(3)

____________________________________

2. Ilu zderzeniom w temperaturze 25 [⁰C] w ciągu 1 [s] ulega pojedynczy atom argonu gdy ciśnienie wynosi a) 10 bar, b) 1 bar. Średnica atomu argonu wynosi 0,29 [nm]. Stała Boltzmanna k_B = 1,38⋅10^-23 [J ⋅ K^-1], M_Ar = 39,9 [g/mol].

Rozwiązanie.

Liczbę zderzeń jednej cząsteczki w ciągu jednej sekundy przedstawia wyrażenie(3.3). Występującą tam liczbę cząsteczek zawartych w objętości jednostkowej można obliczyć za pomocą wyrażenia

(1a)

(4)

Wyniki wskazują że częstość zderzeń jest wprost proporcjonalna do ciśnienia gazu.

_____________________________________

3. Naczynie o objętości 4,157 dm³ zawiera 3,0115⋅10²³ cząsteczek argonu przy czym ciśnienie w naczyniu wynosi 1 bar. Obliczyć jaka jest temperatura gazu i ile wynosi średnia prędkość kwadratowa cząsteczek. Obliczyć także jaka w tej temperaturze byłaby średnia prędkość kwadratowa cząsteczek helu. M_He = 4,003 [g/mol], M_Ar = 39,9 [g/mol].

Rozwiązanie.

Zakładając, że argon jest gazem doskonałym obliczamy temperaturę z równania Clapeyrona

(5)

Średnią szybkość kwadratową argonu obliczamy za pomocą wyrażenia

(6)

a średnią szybkość kwadratową helu podobnie

Wynika stąd, że stosunek średnich szybkości kwadratowych jest odwrotnie proporcjonalny do pierwiastków mas molowych poszczególnych gazów w danej temperaturze.

_____________________________________

4. Obliczyć ciśnienie 1 kmola wodoru zajmującego objętość 0,448 [m³] w temperaturze T = 273 [K]: a) przyjmując równanie stanu gazu doskonałego, b) równanie Van der Waalsa.

Rozwiązanie.

a)

b)

Uwaga: stałe równania Van der Waalsa należy wziąć z tablic fizykochemicznych.

________________________________

5. Etan (C₂H₆) zamknięty w butli o objętości 2 dm³ w temp. 57 ^oC ma gęstość 0,075 [g/cm³]. Obliczyć ciśnienie tego gazu stosując : a) równanie gazu doskonałego i b) równanie van der Waalsa, oraz porównać otrzymane wyniki. Stałe: R = 8,314 [J⋅mol^-1⋅K^-1], a = 5,562 [bar (dm³/mol)²]; b = 0,0638⋅[dm³/mol]

Rozwiązanie.

Zadania tego typu najwygodniej jest rozwiązywać obliczając najpierw objętość molową gazu w podanych warunkach. W tym przypadku jest ona równa stosunkowi masy molowej (M) do gęstości gazu (ρ):

a) z równania Clapeyrona

b) z równania van der Waalsa

Wyniki znacznie się różnią co związane jest głównie z dużą wartością stałej a.

__________________________________

6. 32 g N₂ zajmuje objętość 1, 12 dm³ w temp. 30 ^oC. Obliczyć ciśnienie tego gazu stosując: a) równanie gazu doskonałego, b) równanie van der Waalsa i porównać otrzymane wyniki.

Rozwiązanie.

______________________________________

7. Temperatura krytyczna i ciśnienie krytyczne argonu wynoszą odpowiednio T_kr = 151,0 [K], p_kr = 4,86 [MPa]. Obliczyć stałe Van der Waalsa i promień cząsteczki argonu.

Rozwiązanie.

Temperatura krytyczna i ciśnienie krytyczne są współrzędnymi punktu przegięcia na izotermie Van der Waalsa. Wyliczając ciśnienie jednego mola gazu z równania Van der Waalsa, otrzymujemy:

Z właściwości punktu przegięcia wynika, że pierwsza i druga pochodna ciśnienia względem objętości są równe zeru:

;

Z powyższych wyrażeń można wyznaczyć związki pomiędzy stałymi równania Van der Waalsa a parametrami krytycznymi.

V_k =3b T_k = 8a/27Rb p_k = a/27b²

Znając wartości, parametrów krytycznych obliczamy wartości stałych Van der Waalsa:

a = 27R²T²/(64p_k) b = RT_k/8p_k

a = 0,136 [N⋅m⁴/mol²] b = 3,22⋅10^-5 [m³/mol]

Objętość własna cząsteczek 1 mola argonu jest równa wartości stałej b, a zatem objętość jednej cząsteczki

V_Ar = b/N_A = 5,346⋅10^-23 [cm³/cz.]

N_A -liczba Avogadra.

Przyjmując, że jednoatomowa cząsteczka argonu jest kulą, obliczamy jej promień (4/3) π r³ = V_Ar stąd r = 2,337⋅10^-8 [cm]

________________________________________

8. Dla wysokich temperatur i ciśnień równanie stanu gazu może przybrać postać: pV = RT + bp. Obliczyć lotność azotu w temperaturze 1000 [K] i pod ciśnieniem 100 [MPa] przyjmując, że b = 39 [cm³/mol].

Rozwiązanie.

Lotność czystego gazu przy T = const., oblicza się z zależności wynikającej z równań (3.14 - 3.16):

V_rz - oznacza objętość molową gazu rzeczywistego a V_d - objętość molową gazu doskonałego.

Z podanego równania wirialnego
; a z równania Clapeyrona
;
a więc V_rz - V_d = b . Stąd

= 0,469

f/p = 1,598, f = 1,598* 100 [MPa] = 159,8 [MPa]

_____________________________________________

9. Obliczyć współczynnik lotności ditlenku węgla w temperaturze 40 ^oC i pod ciśnieniem 80 i 160 [bar] korzystając z równania Van der Waalsa i parametrów krytycznych p_kr = 7,40 [MPa], T_kr = 304.2 [K].

Rozwiązanie.

Współczynnik lotności jest to stosunek lotności do ciśnienia, a więc

Objętość molową gazu doskonałego wyliczamy z równania Clapeyrona
, a objętość molową gazu rzeczywistego z równania Van der Waalsa

Ponieważ jest to równanie trzeciego stopnia względem V wymagające stosowania metod iteracyjnych, posługujemy się jego postacią uproszczoną powstałą przez podstawienie zamiast iloczynu pV iloczynu RT z równania stanu gazu doskonałego:

po podstawieniu do równania na współczynnik lotności i scałkowaniu otrzymujemy

Wykorzystując związki między parametrami krytycznymi a stałymi Van der Waalsa, można powyższe równanie przedstawić za pomocą parametrów zredukowanych p_r, T_r i V_r :

Po obliczeniach otrzymujemy

T_r = 1,029 a) p_r⁸⁰ = 1,081 b) p_r¹⁶⁰ = 2,162

φ₈₀ = 0,76 b) φ₁₆₀ = 0,62

________________________________________________

10. Obliczyć współczynnik lotności amoniaku w temperaturze 473 [K] pod ciśnieniem 10 i 40 [MPa] korzystając z równania Berthelota i parametrów punktu krytycznego amoniaku : p_k = 11,30 [MPa], T_k = 406 [K].

Rozwiązanie. -------SKRYPT

Równanie Berthelota jest pewnym ulepszeniem równania Van der Waalsa polegającym na uniezależnieniu stałej a od temperatury:

Równanie to można przedstawić w wygodnej uproszczonej postaci zawierającej parametry krytyczne:

Współczynnik lotności można również obliczyć posługując się współczynnikiem kompresji (3.16):