Rach. błędumm, dc, GPF, Fizyka lab, Ściągi, Ściągi, Ściągi, Rachunek błędu


Rachunek błędu

1.Wykaz:niepewność sumy wielkości:q=x+y δ0x01 graphic
δxy

x=xnp0x01 graphic
δx

y=ynp0x01 graphic
δy wartości największe: xmax=xnpx ymax=ynpy ;q=x+y ;qnp=xnp+ynp

qmax=xnp+δy+ynpy Wartości minimalne: xmin=xnpx ;ymin=ynpy ;qmmin=xnp-δy+ynpy

qmin=xnp+ynp0x01 graphic
xy); qnp=xnp+ynp ;qnp=xnp+ynp ;q=qnp0x01 graphic
xy) ; δδxy

Wykaż:niepewność ilorazu

0x01 graphic
jest = 0x01 graphic
0x01 graphic

(zmierzona war. X)=xnp0x01 graphic
δx

(niepewność względna x)0x01 graphic

(wartość x)0x01 graphic
0x01 graphic

(wartość 0x01 graphic

wartość max gdy mianownik najwiekszy a licznik najmniejszy,min. -odwrotnie

MAX:0x01 graphic
ostatni czynnik ma w wyrażeniu formę(1+a)/(1-b),gdzieaib są małe(dużomniejsze niż1) Można je uprościć stosując dwa przybliżenia.Po pierwsze,ponieważ b jest małe , więc zgodnie z twierdzeniem o dwumianie newtona 0x01 graphic

Zatem 0x01 graphic
0x01 graphic

MIN:0x01 graphic
ostatni czynnik ma postać (1-a)/(1+b) gdzie a i b są mniejsze od 1

0x01 graphic
ab i b2-pomijalnie małe

nie wiem

(wartość

0x01 graphic

0x01 graphic

2.Wykaż: niepewność różnicy q=x-y ; qnp=xnp-ynp ;x=xnp0x01 graphic
δx ;y=ynp0x01 graphic
δy

qmax=xmax-ymin ;qmax=(xnpx)-(ynpy)

qmin=xmin-ymax ;qmin= (xnpx)-(ynpy)

q=xnp-ynp0x01 graphic
xy) q=qnp0x01 graphic
δq δq0x01 graphic
δx+δy

b) niep.względna iloczynu q=x*y ; xnp0x01 graphic
δx ; 0x01 graphic

y=ynp0x01 graphic
δy ; 0x01 graphic
; q=x*y ; qnp=xnp*ynp

0x01 graphic
; qmax=xmax*ymax ; qmin=xmin*ymin

qmax=xnp 0x01 graphic
; qmax=xnp* 0x01 graphic

podkreślone jest pomijalnie małe 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
pomijalnie małe

0x01 graphic
0x01 graphic
; 0x01 graphic
; 0x01 graphic

3.Omów niepewność wartości dowolnej funkcji jednej korzystając z wykresu zmiennej

0x01 graphic

Jeśli niepewność δx jest mała(jak zawsze zakładamy) to interesujaca część wykresu funkcji jest w przybliżeniu prostą iłatwo przekonać się,że qmax i qmin są jednakowo oddalone od gnp.Niepewność δq można zatem odczytać z wykresu jako jedną z tych odległości.W ten sposób możemy zapisać q w standardowej formie:

qnp 0x01 graphic
δq

analitycznie:δq=q(xnpx)-q(xnp)

u-dostatecznie mały przedział

q(x+u)-0x01 graphic

Zatem:jeśli δx jest mała 0x01 graphic

Jeśli funkcja jest malejąca to otrzymamy wynik: 0x01 graphic

,aby się pozbyć minusa ostateczna postać

4.Omów niepewność wartości funkcji wielu zmiennych.Kiedy stosujemy Różniczkę zupełną.

Przenoszenie krok po kroku korzystając ze wzorów na błąd sumy,różnicy oraz iloczynu i ilorazu.Różniczka zupełna: np.

0x01 graphic

(jeżeli krok po kroku,przeszacujemy:ponieważ niepewność x z licznika `znosi' się z niepewnością z mianownika).Zawsze gdy w funkcji,ta sama wielkość występuje więcej niż raz,jak w przykladzie, niektóre z niepewności mogą się znosić(efekt ten zwany jest czasem:kompensacją blędu).Może się wówczas zdarzyć,że obliczenia metodą kolejnych kroków spowodują przeszacowanie ostatecznej niepewności.Jednym sposobem, aby tego uniknąć , jest obliczenie niepewności w jednym kroku,korzystając z metody różniczki zupełnej np.0x01 graphic
0x01 graphic

Bląd bezwzględny

0x01 graphic

błąd względny:

0x01 graphic

Ogólna regóła przenoszenia błędów:funcja g(x,y)

qnp=q(xnp,ynp) u:-dowolnie małe przyrosty xi y.ekstremalne wartości q są równe q(xnp0x01 graphic
δx;ynp0x01 graphic
δy)czyli w przybliżeniu:q(x +u,y+)=q(x,y)+0x01 graphic

Musimy wprowadzić wartości bezwzględne ponieważ wyrażenia: 0x01 graphic

i 0x01 graphic
mogą być zarówno dodatnie jak i ujemne. Q=q(xnp,ynp) 0x01 graphic
0x01 graphic
; 0x01 graphic

Załóżmy,że wielkości x,...,z zmierzone z niepewnościami δx.....δy do obliczenia wartości funkcjiq(x.....,z)

Jeżeli niepewności wyznaczenia wielkościx,...,z są niezależne i przypadkowe,to niepewność wyznaczenia wartości funkcji q równa jest:

0x01 graphic

W żadnym jednak wypadku nie jest większa niż zwykła suma: 0x01 graphic

5.Przedstaw na wykresie i omów funkcję rozkładu normalnego:Błędy systematyczne ograniczone do zaniedbywalnego poziomu.Wartość prawdziwa-można ją sobie wyobrazić jak tę wartość, do której zbliżamy się coraz bardziej,wykonując coraz więcej pomiarów, z coraz wiekszą dokładnością.Jeżeli błędy systematyczne są zaniedbywalne, to odpowiadający rozkład będzie miał kształt krzywej dzwonowej wyśrodkowanej wokół wartości prawdziwej x . Funkcja matematyczna,która opisuje krzywą dzwonową,nosi nazwę funkcji: rozkladunormalnego lub funkcji Gaussa: ma postać: 0x01 graphic
gdzie δ-ustalona wartość nazywana szerokością rozkładu,krzywa dzwonowa jest szersza dla dużych wartości δ;a węższa dla małych wartości δ .Aby funkcja Gaussa była wyśrodkowana wokół x=X,a niex=0 należy we wzorze x zastapić przezx-X.

e0x01 graphic
Funkcja ma maximum W punkcie x=X:maleje symetrycznie po obu stronach x=X;Aby rozkład graniczny,był znormalizowany(co jest wymagane) musi spełniać warunek

0x01 graphic

Zmieniając w tym kierunku zapiszemy funkcję w postaci f(x)=N0x01 graphic

N-współczynnik normalizacji

(x-X=y dy=dx)

0x01 graphic

0x01 graphic

dx=n0x01 graphic

0x01 graphic
dy= δdz *=Nδ0x01 graphic

Ponieważ całka ma być równa jedności to:0x01 graphic

Ostatecznie: rozkład Gaussa(rozkład normalny)-(xδ

G x,0x01 graphic
0x01 graphic

Indeksy X; δ wskazują na środek;szerokość rozkładu

WAŻNE:Funkcja G(x), δ(x opisuje rozkład graniczny wyników pomiarów wielkości x,której wartość prawdziwa jest równa X,pod warunkiem,że pomiary są narażone na wpływ błędów przypadkowych.O dowolnych pomiarach,których rozkładem granicznym jest funkcja Gaussa mówimy ,że mają rozkład normalny.(całkowite pole powierzchni pod krzywą jest rowne 1)

0x08 graphic

f x=X

x

Mniej ważne:

0x01 graphic
dx=* (y=x-X dx=dy)

0x01 graphic

pierwsza całka równa się zero,ponieważ przyczynek od dowolnego punktu y znosi się z przyczynkiem pochodzącym od punktu -y

0x01 graphic
=X

Czyli wartość średnią obliczoną na podstawie,długiej serii pomiarów jest równa wartości prawdziwej

0x01 graphic
Odchylenie standardowe:

δx 0x01 graphic
Gx,δ(x)dx

podstawienie:

0x01 graphic
=X x-X=y (0x01 graphic
i całkujemy przez części) δx2=82

Czyli szerokość δ funkcji Gaussa jest równa odchyleniu standardowemu otrzymanemu z wielokrotnego pomiaru.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
ściąga z fizyki, dc, GPF, Fizyka lab, Ściągi, sciąga z fizyki
OPTYKA(1), dc, GPF, Fizyka lab, Ściągi, Ściągi, Ściągi, OPTYKA
Ćw.8, dc, GPF, Fizyka lab, Ściągi
Transformacja Lorentza, dc, GPF, Fizyka lab, Ściągi, Ściągi, Ściągi, TRANSFORMACJA LORENZA
Ćw.4, dc, GPF, Fizyka lab, Ściągi
Fizyka-ściąga, dc, GPF, Fizyka lab, Ściągi, ściągi Fiza
Ćw.4(1), dc, GPF, Fizyka lab, Ściągi
Ćw.2, dc, GPF, Fizyka lab, Ściągi
drgania i fale fizyka, dc, GPF, Fizyka lab, Ściągi, sciąga z fizyki1
fiza ściąga, dc, GPF, Fizyka lab, Ściągi, sciąga z fizyki1, Nowy folder na Jano (Jano)
Ćw. 6, dc, GPF, Fizyka lab, Ściągi

więcej podobnych podstron