CAŁKI KRZYWOLINIOWE

Niech K - krzywa w R_{­­­­­­­­}³,

, gdzie
oraz
.

Zatem dowolny punkt (x,y,z) krzywej K można przedstawić w postaci

i krzywa K zadana jest przez wektor parametryzacji

K:
.

Definicja

Jeśli krzywa nie ma punktów wielokrotnych, tzn. gdy spełniony jest warunek
, to nazywamy ją łukiem zwykłym. Łuk zwykły jest łukiem skierowanym, gdy określony jest zwrot tego łuku, tzn. uporządkowanie punktów łuku odpowiadające wzrostowi parametru.

Zmiana parametru na przeciwny daje łuk przeciwnie skierowany -K:

Podstawiamy

, gdzie

Definicja

Jeśli jedynym punktem wielokrotnym krzywej jest punkt początkowy i końcowy, tzn. jeśli w łuku zwykłym dopuścimy
, to krzywą nazywamy krzywą zamkniętą zwykłą.

Definicja

Krzywa zwykła zamknięta, zawarta w R² dzieli płaszczyznę na dwa obszary: wnętrze, tzn. obszar ograniczony krzywą i zewnętrze (obszar na zewnątrz krzywej).

Jeśli w czasie obiegu po krzywej zamkniętej wnętrze znajduje się po stronie lewej, to krzywą nazywamy zorientowaną dodatnio i oznaczamy
.

Jeśli w czasie obiegu po krzywej zamkniętej wnętrze znajduje się po stronie prawej, to krzywą nazywamy zorientowaną ujemnie i oznaczamy
.

Definicja

Punkt
krzywej K, gdzie
nazywamy punktem osobliwym krzywej K, gdy zerują się pochodne
dla dowolnej parametryzacji tej krzywej.

Definicja

K - jest krzywą gładką

)

K nie ma punktów wielokrotnych

K nie ma punktów osobliwych, tzn.
,

Każda krzywa, którą można podzielić na skończoną liczbę krzywych gładkich jest nazywana krzywą odcinkami gładką lub krzywą regularną.

Uwaga

Krzywa regularna jest prostowalna.

Całka krzywoliniowa nieskierowana

(całka krzywoliniowa funkcji skalarnej)

Niech

K - krzywa regularna w R³

f - pole skalarne, tzn

Wtedy

• krzywą K dzielimy na n części o długościach
  

• w każdej z krzywych cząstkowych wybieramy po jednym punkcie
  

• tworzymy sumę
  

Definicja

Jeśli przy
i
istnieje granica
niezależna od sposobu podziału krzywej i od wyboru punktu M_i, to granicę tę nazywamy całką krzywoliniową nieskierowaną i oznaczamy
.

Uwaga

Gdy zmienimy zwrot krzywej na przeciwny przy tym samym podziale krzywej i tych samych wybranych punktach, to nie zmienią się sumy
, a zatem nie zmieni się całka krzywoliniowa nieskierowana

.

Twierdzenie (o zamianie całki krzywoliniowej nieskierowanej na całkę oznaczoną)

Jeżeli K - krzywa regularna,

to

.

Przykład

Obliczyć całkę
, gdzie K:
dla
.

Oczywiście krzywa K jest regularna oraz
. Zatem można zastosować twierdzenie o

zamianie całki krzywoliniowej na całkę oznaczoną.

Stąd

Uwaga

1. Jeśli krzywa K leży w płaszczyźnie OXY,
,

, gdzie

oraz

,

to

.

2. Jeśli krzywa K leż w płaszczyźnie OXY i zadana jest w sposób jawny, tzn.

to K możemy sparametryzować:

K:

i wtedy

Przykład

Obliczyć
, gdzie
,
.

Funkcja
dla
określa krzywą K.

Obliczamy
i korzystamy z uwagi 2.

Interpretacja geometryczna całki krzywoliniowej niekierowanej

1. Niech
   na K.

Wtedy

- długość krzywej K.

2. Niech K - krzywa płaska,
   

Wtedy

- pole części powierzchni walcowej znajdujące się pod wykresem funkcji f.

Interpretacja fizyczna całki krzywoliniowej nieskierowanej

1. Jeśli ρ - gęstość liniowa masy rozmieszczonej wzdłuż krzywej K, to

- masa krzywej K

2. Jeśli d - funkcja określającą odległość punktu krzywej K od pewnej prostej, to

- moment bezwładności krzywej K względem tej prostej.

Uwaga

Niech
, gdzie
krzywa regularna dla i=1,…,n.

Wtedy definiujemy

.

Całka krzywoliniowa skierowana

(całka krzywoliniowa funkcji wektorowej)

Niech K - krzywa regularna o początku A i końcu B, zawarta w
_­

W - pole wektorowe,

Wtedy

• dzielimy krzywą K na n krzywych punktami:
  , gdzie
  dla i=1,2,…,n

• tworzymy wektory cięciw:
  dla
  

• wybieramy po jednym punkcie
  na każdej z krzywych cząstkowych
  ,
  dla i=1,2,…,n

• wyznaczamy wektory
  dla i=1,2,…,n

• tworzymy sumę
  , gdzie „
  ” oznacza iloczyn skalarny wektorów.

Definicja

Jeśli przy
i
istnieje granica
niezależna od sposobu podziału krzywej i od wyboru punktów M_i, to granicę tę nazywamy całką krzywoliniową skierowaną funkcji W wzdłuż krzywej K i oznaczamy

.

Uwagi

1. 
   

2. Jeśli krzywa
   , jest zadana układem
   ,
   , a na krzywej K zadane jest płaskie pole wektorowe W o składowych [P,Q], to wtedy podobnie definiujemy całkę krzywoliniową skierowaną i oznaczamy ją

.

3. Jeśli
   , gdzie
   jest krzywą regularną dla i=1,…,n,

to definiujemy

.

Twierdzenie (o zamianie całki krzywoliniowej skierowanej na całkę oznaczoną)

Niech K - krzywa regularna,

W - pole wektorowe ciągłe na krzywej

Wtedy

Uwaga

Jeśli krzywa K jest płaska, to

.

Interpretacja fizyczna

Niech K - krzywa skierowana od A do B,

W - pole sił na krzywej K.

Wtedy

praca siły W wykonana przy przemieszczaniu masy jednostkowej wzdłuż krzywej K od punktu A do B.

Przykład (*)

Obliczyć całkę
po krzywej
skierowanej ujemnie względem swego wnętrza.

Zapiszmy równanie określające krzywą K w postaci równoważnej
.

Jest to równanie elipsy.

Parametryzacja tej elipsy

jest niezgodna z kierunkiem krzywej. Zatem

Definicja

Obszar płaski ograniczony jedną krzywą (Jordana) nazywamy jednospójnym, a obszar ograniczony p nieprzecinającymi się krzywymi obszarem p-spójnym.

obszar jednospójny obszar p-spójny

Umowa

Całkę krzywoliniową skierowaną po krzywej zamkniętej K oznaczamy też
.

Twierdzenie Greena

Z: Niech K - krzywa płaska zamknięta zorientowana dodatnio i ograniczająca obszar

jednospójny D,

P, Q - funkcje ciągłe mające ciągłe pochodne cząstkowe w obszarze D i na brzegu K.

T:

Przykład (*) c.d.

jest krzywą zorientowaną ujemnie,
,

i z twierdzenia Greena otrzymujemy

Zastosujemy uogólnione współrzędne biegunowe

, gdzie a, b - stałe,
,

Jakobian powyższego odwzorowania wynosi
.

W naszym przypadku wybieramy
, aby otrzymać obszar D ograniczony elipsą
.Stąd

Twierdzenie (o niezależności całki krzywoliniowej od kształtu drogi całkowanej)

Z: Niech D - obszar jednospójny

P, Q - funkcje ciągłe, mające ciągłe pochodne cząstkowe w obszarze D

- krzywa regularna ,

T:
- nie zleży od kształtu krzywej
a tylko od punktów A i B, t i wtedy oznaczamy ją
.

Dowód

Niech
będą krzywymi regularnymi zawartymi w obszarze D, łączącymi punkty A i B, i skierowanymi od punktu A do B.

Wtedy krzywa
jest krzywą zamkniętą regularną, zorientowaną dodatnio,
. Oznaczmy przez
obszar jednospójny ograniczony przez krzywą C. Na podstawie twierdzenia Greena mamy

bo
, więc

Aby udowodnić implikację
wystarczy wykazać jej kontrapozycję, czyli udowodnić implikację

zależy od kształtu krzywej
.

Bez straty ogólności możemy założyć, że

.

Zatem

dla
.

Niech
będzie brzegiem koła
skierowanym dodatnio.

Wtedy na podstawie twierdzenia Greena mamy

.

Stąd

,

czyli

.

Zatem całka po krzywej łączącej punkty A i B zależy od kształtu tej krzywej.

Wniosek

Niech D - obszar jednospójny,

C - krzywa zamknięta regularna,
,

- funkcje ciągłe mające ciągłe pochodne cząstkowe w D.

Wtedy

.

Całka różniczki zupełnej.

Niech D - obszar jednospójny,

.

Pytamy czy w obszarze D
, aby wyrażenie

było różniczką zupełną funkcji U w D ?

Oczywiście musi zachodzić
i
.

Wtedy

Z założenia

Zatem warunkiem koniecznym istnienia funkcji U jest równość

.

Stwierdzenie

Niech D - obszar jednospójny,

.

Wtedy

, jest różniczką zupełną funkcji U,

ponadto:

, gdzie
,

- ustalony punkt

- punkt zmienny,

- krzywa regularna,
,

czyli

. (*)

dla dowolnej krzywej
.

Uzasadnienie wzoru (*)

Dla

mamy
.

Podobnie dla

otrzymujemy
.

Stąd

na podstawie twierdzenia o niezależności całki krzywoliniowej od kształtu drogi całkowania. Zatem

.

Uwaga

Wektor
jest gradientem funkcji U,
.

Definicja

Funkcję U nazywamy potencjałem pola wektorowego W.

Przykład

Wykazać, że
jest różniczką zupełną pewnej funkcji
i wyznaczyć tę funkcję (potencjał).

oraz
.

.

1

1

3

1

6

12