Pyt. 2 Na czym polega modyfikacją układu równań MES przy wprowadzaniu warunków brzegowych (jednorodnych i niejednorodnych)?

Modyfikacja układu równań MES tzn. modyfikacja macierzy sztywności układu polega na skreśleniu z macierzy tych wierszy i kolumn, których numer odpowiada numerowi współrzędnej równej zeru wektora przemieszczeń węzłowych całego systemu.

Pyt. 4 Jak sposób dyskretyzacji w układach prętowych wpływa na dokładność rozwiązania?

Zagęszczenie siatki dyskretnej w konstrukcjach prętowych nie ma wpływu na dokładność otrzymywanych rozwiązań (wartości momentów zginających oraz sił poprzecznych są takie same dla rozpatrywanych stopni zagęszczenia)

Uwaga: w rzeczywistości lepiej jest dla konstrukcji prętowych gdy składają się z mniejszej ilości elementów

Pyt. 5 Przedstaw algorytm postępowania MES (krok po kroku) przy obliczaniu układu belkowego.

1. dyskretyzacja belki

2. ustalenie liczby i rodzaju parametrów węzłowych - układ belkowy ma dwa przemieszczenia w każdym węźle: obrót i przemieszczenie pionowe.

3. określenie równoważnych sił węzłowych elementów układu - modele obliczeniowe w MES są modelami dyskretnymi, a węzły punktami dyskrtyzacji dlatego obciążenie działające pomiędzy węzłami należy sprowadzić do równoważnego działającego w węzłach.

4. wyprowadzenie funkcji kształtu elementów

5. wyprowadzenie macierzy sztywności elementów - na podstawie funkcji kształtu bądź ze wzorów transformacyjnych metody przemieszczeń

6. wyprowadzenie macierzy sztywności systemu „K” (wymiar macierzy: liczba stopni swobody* liczba węzłów)

7. uwzględnienie warunków brzegowych w macierzy K (skreślenie tych wierszy i kolumn, których numer odpowiada numerowi współrzędnej równej zeru wektora przemieszczeń węzłowych całego systemu)

8. sformułowanie wektorów równoważnych obciążeń węzłowych elementów i wektorów obciążeń węzłów

9. sformułowanie wektora obciążeń systemu

10. uwzględnienie warunków brzegowych w układzie równań K^e * u^e = F^e i wyliczenie przemieszczeń u^e

obliczenie węzłowych sił wewnętrznych w elementach F^e = -R^e_p + K^e * u^e

Pyt. 6 Podaj założenia teorii zginania pręta prostego (belki)

(-momenty zginające wyznacza się w tzw. przekrojach normalnych, przyjmując za środek redukcji środek geometryczny (ciężkości) przekroju.

-jeżeli w pręcie wystąpi tylko moment zginający wówczas mówimy o czystym zginaniu

-moment zginający w dowolnym przekroju pręta jest równy sumie momentów względem środka tego przekroju wszystkich sił działających na część pręta oddzieloną przekrojem.

-dla prętów o osi prostej przyjmuje się ustalony układ współrzędnych zazwyczaj jest to prawoskrętny układ współrzędnych xyz w którym oś x pokrywa się z osią pręta, a osie y i z leżą w płaszczyznach przekrojów poprzecznych i pokrywają się z głównymi centralnymi osiami bezwładności przekrojów poprzecznych.

-w zagadnieniach płaskich dodatkowo dla uproszczenia przyjmuje się płaski układ współrzędnych xy

-znakowanie: w przypadku dodatniego momentu belka wygnie się wypukłością w dół i po tej stronie będzie występować rozciąganie)

-ugięcia są małe w porównaniu z wysokością pręta

-punkty środkowe przemieszczają się równolegle do osi y (układ xy)

-przekroje płaskie i prostopadłe do osi pręta przed odkształceniem pozostaną takimi po odkształceniu

-siła tnąca nie wpływa na rozkład naprężeń normalnych w przekroju poprzecznym

-przyjmuje się σy=0, naprężenia te istnieją ale są bardzo małe w porównaniu z naprężeniami normalnymi σx do osi pręta

Pyt. 7 ogólne zasady dyskretyzacji układów w MES:

Analizowane ciało dzielone jest myślowo na mniejsze części nazywane elementami skończonymi. Podziału tego dokonuje się w sposób następujący:

Ciała 3-D dzielimy powierzchniami,
Ciała 2-D dzielimy liniami,
Ciała 1-D dzielimy punktami.

Ze względów praktycznych, tzn. z uwagi na względną łatwość spełnienia warunków interpolacyjności, zbieżności i ciągłości przemieszczeń, wybór kształtu elementów jest ograniczony do czworokątów dla ciał 2-D i elementów liniowych dla ciał 1-D. Należy podkreślić, że wymienione ograniczenia dotyczą liczby ścian elementu, a nie geometrii ich powierzchni, które nie muszą być płaszczyznami lub liniami prostymi - dla ciał 3-D i 2-D.

Dyskretyzacja polega na wyodrębnienieniu elementów w obszarze, w którym poszukujemy rozwiązania zadania. Elementy te są prostymi figurami (trójkąty, czworokąty) przy dyskretyzacji powierzchni. Wówczas obliczenia MES są nieskomplikowane i efektywne.

Sposób dyskretyzacji zależy od geometrii obszaru, własności fizycznych, pewnych ogólnych przesłanek co do wyników rozwiązania, a także oczekiwanej efektywności obliczeń.

Jeśli na przykład możemy przewidzieć, gdzie poszukiwana funkcja zmienia się gwałtownie, to tam zagęszczamy siatkę elementów, a tam gdzie funkcja zmienia się łagodnie, siatkę elementów rozrzedzamy.

Pyt. 9 Scharakteryzuj różnice i podobieństwa w postępowaniu przy obliczaniu metodą MES układów powierzchniowych i układów prętowych.

• w układach prętowych dokonuje się dyskretyzacji na elementy w postaci prętów, a w układach przestrzennych na elementy w postaci brył - czworościany, pięciościany, sześciany

• element prętowy ma dwa stopnie swobody w węźle i macierz sztywności elementu prętowego ma wymiar 4 na 4, z kolei element przestrzenny ma sześć stopni swobody w węźle i macierz sztywności wydzielonego elementu przestrzennego ma wymiar 12 na 12.

• w przypadku układów prętowych ilość elementów na które dzielimy układ nie ma wpływu na dokładność otrzymanego rozwiązania, w elementach przestrzennych - im więcej elementów tym większa dokładność rozwiązania

• zarówno w układach prętowych jak i przestrzennych należy dokonać dyskretyzacji obciążenia działającego pomiędzy węzłami i sformułować wektory równoważnych obciążeń

• zarówno w układach prętowych jak i przestrzennych przyjmuje się dwa układy współrzędnych: globalny (dotyczy całego układu) i lokalny (dotyczy każdego elementu oddzielnie) i należy dokonać transformacji sił węzłowych z układu globalnego do lokalnego

Pyt. 12 Podaj prawo Hooke`a dla ciała w płaskim stanie odkształcenia

W każdym ciele stałym stany odkształcenia i naprężenia są od siebie zależne. Związki określające tę zależność nazywane są równaniami konstytutywnymi. Zależności te otrzymujemy w wyniku opisu zachowania się rzeczywistych ciał w czasie badań doświadczalnych.

W celu uproszczenia opisu teoretycznego przyjmuje się następujące założenia:

• O naturalnym stanie ciała - w stanie naturalnym ciało znajduje się w stanie wewnętrznej równowagi mechanicznej. Oznacza to pominięcie naprężeń i odkształceń początkowych;

• O jednorodności budowy ciała - własności mechaniczne ciała w każdym punkcie są jednakowe;

• O idealnej sprężystości - pomiędzy naprężeniem i odkształceniem istnieje wzajemnie jednoznaczna zależność, niezależnie od tego czy ciało jest obciążane czy odciążane

• O liniowych i sprężystych własnościach ciała - pomiędzy naprężeniem i odkształceniem istnieje wzajemnie jednoznaczna liniowa zależność, niezależnie od tego czy ciało jest obciążane czy odciążane

 Materiały spełniające te założenia nazywamy materiałami liniowo - sprężystymi, a równania je definiujące prawem Hooke'a.

Pyt. 13 Podaj wzór opisujący współczynnik tłumienia - objaśnij jego znaczenie.

-(dwa kolejne wychylenia występujące w czasie różniącym się o) T1=2*/*1 okres drgań tłumionych

-δ - logarytmiczny dekrement tłumienia

-*-kołowa częstotliwość drgań swobodnych

-p- częstotliwość kołowa siły wymuszonej

uproszczony wzór ma postać:

Pyt. 14 Naszkicuj przebieg krzywej przemieszczeń dla ruchu tłumionego

Pyt. 15 Czym jest i od czego zależy logarytmiczny dekrement tłumienia?

Jest miarą tłumienia. Zależy od: okresu drgań tłumionych i od współczynnika tłumienia.

r - współczynnik tłumienia, T₁ - okres drgań tłumionych

Gdy wartość logarytmicznego dekrementu tłumienia jest określana doświadczalnie drogą pomiaru dwóch kolejnych amplitud przemieszczeń tego samego znaku (a_n, a_n+1)

Pyt. 16 Od czego zależy stan równowagi pręta ściskanego siłą krytyczną? Wymień i krótko scharakteryzuj dwa stany równowagi.

Stan równowagi pręta zmienia się wraz ze wzrostem siły ściskającej pręt. Możliwe są dwie postacie stanu równowagi:

•stan, w którym pręty zachowują swoją postać prostoliniową (występuje gdy wartość siły ściskającej jest mniejsza od wartości krytycznej)

•stan równowagi charakteryzowany nieznacznym odkształceniem układu (przy nieskończenie małych wygięciach prętów oraz nieskończenie małych przesunięciach i obrotach węzłów)

Pyt. 17 Jaka jest zależności pomiędzy krytyczną siłą ściskającą a sztywnością EJ pręta?

Wartość siły S jest wprost proporcjonalna do modułu sztywności E, co przedstawia wzór:

S = (α² * E * J_h) / h²

S ∼ E

Pyt.19 Podać przykłady konstrukcji pracujących w płaskim stanie naprężenia.

-cienkie tarcze obciążone siłami leżącymi w płaszczyźnie tarczy i równomiernie rozłożonymi na jej grubości np. ściana budynku

-płyty

Pyt. 20 Co oznacza pojęcie: „strojenie konstrukcji”? Podaj jakie możliwości strojenia konstrukcji ma inżynier? Jakie strojenie jest najkorzystniejsze dla konstrukcji?

Strojenie konstrukcji oznacza ocenę częstości drgań swobodnych (własnych) konstrukcji w porównaniu do częstości zmian obciążenia.

Inżynier może zmieniać (zwiększać bądź zmniejszać) częstość drgań konstrukcji poprzez zmianę sztywności konstrukcji czyli poprzez: zmianę sposobu podparcia, zmianę materiału, zmianę profilu przekroju poprzecznego.

(zmieniając parametry konstrukcji decydujące o jej sztywności zmieniamy częstość drgań)

Pyt. 21 Podaj i omów równanie różniczkowe opisujące drgania układu o jednym stopniu swobody.

*-kołowa częstotliwość drgań swobodnych

r-współczynnik tłumienia

p-częstotliwość kołowa siły wymuszonej

Pyt. 23 W jakim celu wprowadza się dodatkowe węzły pośrednie w elementach skończonych? Jaki ma to wpływ na otrzymywane wyniki rozwiązania?

Wprowadzenie dodatkowych węzłów pośrednich zwiększa dokładność rozwiązania. Dodatkowe węzły wprowadza się w celu zagęszczenia siatki elementów w miejscach koncentracji naprężeń lub w sąsiedztwie sił na brzegu np. przy istnieniu otworów

Pyt. 24 Podać przykłady konstrukcji pracujących w płaskim stanie odkształcenia.

1. zapora wodna, w której jeden wymiar jest zdecydowanie większy od pozostałych i obciążenie skierowane jest prostopadle do tego wymiaru

2. W płaskim stanie odkształcenia znajduje się również długa ława fundamentowa, w której jeden wymiar jest zdecydowanie większy od pozostałych i obciążenie skierowane jest prostopadle do tego wymiaru

-zapory, mury oporowe, nasypy, ściany (nośne, usztywniające), tunele, cylindry grubościenne

Pyt. 26 Jaki wpływ na rozkład reakcji w belce podpartej sprężyście ma sztywność podpór sprężystych?

Zwiększenie sztywności podpór sprężystych powoduje nieznaczne zwiększenie momentów zginających, ale za to znaczny wzrost sił tnących.

---