KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2011/2012

Zadanie 1. (3 punkty)
Uzasadnij, że suma
jest liczbą podzielną przez 3 i przez 5. Przedstaw obliczenia lub pełny tok rozumowania.

Zadanie 2. (4 punkty)
O dwóch liczbach a i b wiadomo, że
i
. Wyznacz wartość iloczynu
. Przedstaw obliczenia lub pełny tok rozumowania.

Zadanie 3. (3 punkty)
Oblicz wartość wyrażenia :



Zadanie 4. (5 punktów)
W czworokącie ABCD, w którym odcinek AB jest równoległy do odcinka CD na boku BC zaznaczono punkt E tak, że
,
, zaś
, oblicz długość odcinka AD. Wykonaj rysunek. Przedstaw obliczenia lub pełny tok rozumowania.

Zadanie 5. (3 punkty)
50% uczniów klasy I b nie wie, że 50% to połowa. 50% tej połowy klasy nie wie nawet, że 100% to jeden, a 50% z nich, czyli 4 uczniów nigdy nawet nie słyszało słowa procent. Ilu uczniów liczy ta klasa? Przedstaw obliczenia lub pełny tok rozumowania.

Zadanie 6. (6 punktów)
Magazynier ustawił na palecie 4 identyczne beczki o średnicy 1m (patrz rysunek). Każda beczka styka się z dwiema sąsiednimi. Jaką maksymalnie średnicę może mieć pojemnik umieszczony wewnątrz obszaru ograniczonego tak ustawionymi beczkami? Jakie pole ma obszar palety, na którym nie stoją beczki i pojemnik? Przedstaw obliczenia lub pełny tok rozumowania.




Zadanie 7. (6 punktów)
W sześcianie
połączono wierzchołki
i otrzymano w ten sposób przekrój będący trójkątem o polu
. Wykonaj rysunek do zadania. Oblicz objętości brył, na jakie przekrój podzielił sześcian
.

Poprawne odpowiedzi:
1.

2.

3. 20
4.

5. 32
6.

7.
i

…………………………………………………………………………………………………………………………………………….

1. Wartość wyrażenia
jest równa:

Odp.


2. Wyrażenie
ma sens liczbowy dla:

Odp. Mianownik wyrażenia jest liczbą dodatnią dla każdego
. Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne, stąd nierówność
, której rozwiązaniem jest
.

3. Aby otrzymać liczbę
należy dodać do siebie:

Odp.
piątek, bo
.

4. Połowa liczby
stanowi 50% liczby
. Wynika stąd, że:

Odp.
, bo
, stąd stąd
, czyli
.

5. Rozwiązaniem układu równań
jest:

Odp. Mnożymy drugie równanie przez (-1) i dodajemy stronami.

Mamy
.

Stąd
, czyli
.

Wstawiamy do drugiego i mamy
.

Czyli


Ostatecznie



6. O pewnej funkcji liniowej
wiadomo, że
, zatem

Odp. Funkcja liniowa ma postać
.

Zatem





Mamy układ równań
, którego rozwiązaniem jest para
.

Szukaną funkcją jest funkcja



7. Przekątna prostokąta
dzieli kąt tego prostokąta na pół. Pole prostokąta
jest:

Odp. Prostokąt
jest kwadratem o polu
. Kwadrat zbudowany na przekątnej ma pole równe
. Czyli pole prostokąta
jest dwa razy mniejsze od pola kwadratu zbudowanego na przekątnej.


8. Pole powierzchni sześcianu ABCDEFGH jest 7 razy większe od pola powierzchni sześcianu
. Stosunek objętości sześcianu ABCDEFGH do objętości sześcianu
wynosi:

Odp. Stosunek pól wynosi
, stąd
. Stosunek objętości jest równy
, czyli
.


Zadania otwarte jutro, bo nie chce mi się już pisać.

-- 16 gru 2011, o 23:33 --

Zgodnie z obietnicą przedstawiam zadania otwarte.

9. Wyznacz wszystkie pary cyfr x i y (x - cyfra milionów, y - cyfra jedności) tak, aby liczba 23x75327y była podzielna przez 36. Odpowiedź uzasadnij.

Rozwiązanie:

Aby liczba była podzielna przez 36 musi być podzielna przez 9 i 4. Zaczynamy od podzielności przez 4. Ostatnią cyfrą musi być 2 lub 6.

Jeżeli y=2, to suma cyfr liczby (licząc z y) wynosi 31. Zatem x musi być równy 5.

Jeżeli zaś y=6, to suma cyfr (licząc z y) wynosi 35. Zatem x=1.

Odpowiedź:




10. W jednym srebrnym naszyjniku są 24 gramy czystego srebra, a w drugim, który jest dwa razy cięższy jest 52,5 grama czystego srebra. Próba srebra w cięższym naszyjniku jest o 0,075 wyższa niż w lżejszy. Ile waży każdy z naszyjników i jakie są ich próby?

Rozwiązanie:


- masa I naszyjnika

- masa II naszyjnika


- próba I


- próba II




Czyli
.

Zatem I waży 30 g, drugi 60 g.

Próba I wynosi
, próba II wynosi
.

………………………………………………………………………………………………………………………………………….

---