Ćwiczenie 1

1. Opis elementu:

Element obliczeniowy stanowi belka gerberowska dwuprzegubowa, wieloprzęsłowa, statycznie wyznaczalna z dwoma podporami przesuwnymi oraz jednostronnym sztywnym zamocowaniem (utwierdzeniem). Do obliczeń stosujemy belkę ciągła rozbitą na dwie belki podstawowe oparte bezpośrednio na podłożu oraz belkę drugorzędną opartą dwoma końcami na belkach podstawowych.

2. Metody obliczeniowe:

Do poniższych obliczeń zastosowano dwie metody: metodę analityczną (A. Clebscha), oraz metodę graficzną (O. Mohra).

3. Cel prowadzonych obliczeń:

Celem jest sprawdzenie ugięcia przedmiotowego układu, oraz porównanie wyników z obliczeń prowadzonych dwoma metodami wymienionymi powyżej.

M(x₁) = -20 + 40x₁ (A-B)

2EJw``(x₁) = 20 - 40x₁ (A-B)

EJw``(x₁) = 10 - 20x₁ (A-B)

EJw`(x₁) = A+10x₁-10x₁² (A-B)

EJw(x₁)=Ax₁ + B + 5x₁² - 3,33x₁³ (A-B)

w`(0) = 0; A + 0=0; A = 0

w(0) = 0; A+B = 0; B = 0

w(x₁)= 5x₁² - 3,33x₁³ (A - B)

w(0) = 0/EJ

w(1) = 5 - 3,33*1 = 1,67/EJ

w(2) = 20 - 26,64 = -6,64/EJ

M(x₃) = -40x₃ (C-D)

EJw``(x₃) = 40x₃ (C-D)

EJw`(x₃) = C + 20x₃² (C-D)

EJw(x₃) = Cx + D + 6,67x₃³ (C-D)

Warunki brzegowe

W₃(2)=0 D+C*2+6,67*2³ = 0

W₃`(2)=w4`(0) = (C + 20*8) = (10*4) C = - 120/EJ

D -120*2 + 53,36=0

D = 186,64

W₃(0) = 186,64/EJ

W₃(1) = -120 + 186,64 + 6,67*1 = 73,31/EJ

2M(x₄) = -40(2+x₄) + 40x₄ (D-E)

W``(x₄) = 20(2+x₄) - 20x₄ (D-E)

W`(x₄) = E + 10(2+x₄)² - 10x₄²(D-E)

W(x₄) = Ex₄ + F + 3,33(2+x₄)³ - 3,33x₄³(D-E)

Warunki brzegowe

w₄(0) = 0 (F + 3,33*8) = 0 F = - 26,64/EJ

w₄(2) = 0 -26,64 + 2*E + 3,33*64 - 3,33*8 = 0 E = -79,92/EJ

W₄(1) = (-79,92 -26,64 + 3,33*27 + 3,33)/EJ

W₄(1) = -13,32/EJ

M(x₂) = 40x₂ (F-E)

EJw`(x₂) = G - 20x₂²(F-E)

EJw(x₂) = Gx₂ + H - 6,67x₂³ (F-E)

Warunki brzegowe

W₂(2) = H+2*G - 6,67*8 = 0; H = 53,36 - 2G H = 53,36 - 2*120,08 H = -186,8/EJ

w₂`(2) = w<sub>4</sub>`(2) -79,92 + 160 - 40 = G - 80

40,08 = G - 80 G = 120,08/EJ

W₅(0) = (120,08 + 3,33*8)/EJ

W₅(0) = 146,72EJ

M(x₅) = 40x₅ - 20x₅²

EJw``(x₅) = - 40x₅ + 20x₅²

EJw`(x₅) = I - 20x₅² + 6,67x₅³

EJw(x₅) = Ix₅ + J - 6,67x₅³ + 1,67x₅⁴

Warunki zszycia

w₁(2) = w₅(0) J = -6,64/EJ

w₅(2) = w₃(0) = I*2 - 6,64 - 6,67*8 + 1,67*2⁴ = 186,64

I*2 = 186,64 + 6,64 + 53,36 - 26,72

I*2 = 219,28 I = 109,64

w(0) = -6,64/EJ

w(1) = 109,64 - 6,64 - 6,67 + 1,67 = 98,0/EJ

w(2) = 109,64*2 - 6,64 - 6,67*8 + 1,67*16

w(2) = 186,64/EJ

Obliczenie metodą Mohra ugięcia I kąty obrotu w punkcie B i D

Wykres momentów

W_B = M _fBL

M _fBL= 0,5*2*10*1,33-0,5*2*30*0,66 = 13,3 - 19,8 = -6,64/EJ

Ugięcie belki w punkcie B wynosi W_B = 2,5 cm

Q _fBL = 10*0,5*0,5+0,5*1,5*30 = 2,5 + 22,5 = 25/EJ

Kąt obrotu w punkcie B wynosi  = 7,5*10^-3