Równania ciągłości
Przy przepływie płynu ściśliwego zakładamy, że płyn wypełnia całkowicie przestrzeń, albo jej określoną część. Warunek ten nazywany jest warunkiem ciągłości przepływu.
Jeżeli w pewnym określonym odcinku czasu wydatek objętościowy płynu wypływającego przez pewną określoną zamkniętą powierzchnią przestrzenną będzie większy od wydatku płynu dopływającego, wówczas w obszarze wewnątrz tej powierzchni nastąpi zmiana gęstości ρ.
Powyższe możemy przedstawić analitycznie w postaci równania różniczkowego zwanego równaniem ciągłości przepływu
(1)
Rozważmy określoną w przestrzeni, zamkniętą elementarną objętość w kształcie prostokątnego równoległościanu o bokach dx, dy, dz (np.) przez którą przepływa dowolny płyn ściśliwy.
Rys.1
Niech w jednostce czasu przepływa w kierunku osi x przez elementarną powierzchnię dy dz lewej ścianki masa płynu ρvx
Rys. 2
Ponieważ ρvx jest funkcją współrzędnych i czasu tzn.
, (2)
więc dla określenia masy płynu przepływającego w kierunku osi x w jednostce czasu przez elementarną objętość dy dz prawej ścianki trzeba współrzędną x w funkcji f( x, y, z, t) powiększyć o dx, czyli 
tzn. że w jednostce czasu przez elementarną objętość prawej ścianki przepływa w kierunku osi x masa płynu równa 
(3)
Rys.3
Różnica pomiędzy masą płynu wypływającego i dopływającego jest równa 
(4)
W czasie dt przez ścianki o powierzchni dy dz wypływa w kierunku osi x masa płynu
(5)
Analogicznie, różnicą pomiędzy wypływającym i dopływającym w czasie dt wydatkiem masowym płynu w kierunku osi y i z określają zależności:
(6)
. (7)
Jeżeli zsumujemy wyrażenia (5), (6) i (7) otrzymamy całkowitą różnicę pomiędzy masą płynu, która wypłynęła i dopłynęła w czasie dt. Mamy:
. (8)
Od różnicy mas płynu wypływającego i dopływającego zależy masa płynu znajdującego się wewnątrz równoległościanu. Istotnie jeżeli w chwili t gęstość była 
wówczas w chwili t+dt gęstość będzie równa
(9)
a zatem masa płynu wewnątrz równoległościanu zmieni się w czasie dt od wartości 
do
(10)
czyli o wielkość
(11)
Zgodnie z warunkiem ciągłości różnica pomiędzy masą wypływającego wpływającego płynu powinna być zmianie masy płynu w równoległościanie.
Przyrównując odpowiednie wyrażenia otrzymamy
(12)
lub
(13)
Równanie (13) nazywamy równaniem różniczkowym ciągłości dla płynu ściśliwego.
Jeśli przepływ jest ustalony to 
i równanie ciągłości przyjmuje postać
(14)
lub w formie wektorowej
(15)
Równanie ciągłości (13) lub (14) można przedstawić w innej postaci. Postać tą możemy otrzymać przez wykonanie różniczkowania w równaniu (13). Otrzymujemy wówczas
(16)
Stwierdzając, że pierwsze cztery składniki stanowią pochodną zupełną (substancjalną) gęstości ρ(x,y,z,t) względem czasu t otrzymamy równanie ciągłości w postaci
(17)
Jeśli względną zmianę objętości płynu w jednostce czasu wyrazić przez współczynnik rozszerzalności objętościowej
(18)
Podstawiając równanie (18) do (17) znajdujemy
(19)
Niech masa małego poruszającego się elementu płynu o objętości 
będzie 
(20)
Zgodnie z prawem zachowania masy (Łomonosov 1748r)
(21)
Wówczas różniczkując zależność (20) mamy
(22)
Stąd przy uwzględnieniu równania (19)
(23)
co oznacza, że Θ charakteryzuje prędkość rozszerzania się jednostki objętości i dlatego nazywamy ją współczynnikiem rozszerzalności objętościowej.
Przy użyciu tego oznaczenia równanie ciągłości (17) przyjmuje postać:
(24)
W przypadku szczególnym, gdy płyn jest nieściśliwy, tzn. 
, współczynnik rozszerzalności objętościowej Θ jest równy zero, czyli 
Otrzymujemy wtedy najprostszą postać równania ciągłości:
(25)
lub w formie wektorowej
(26)
Równanie (25) i (26) nazywamy równaniem ciągłości dla płynu nieściśliwego.
Dla przepływów ustalonych jednowymiarowych w przewodach o zmiennym przekroju warunek ciągłości można napisać w postaci:
(27)
lub
(28)
gdzie A1, A2 powierzchnia w przekrojach 1 i 2 przewodu hydraulicznego.
Zestawienie postaci równania ciągłości przepływu płynu możemy porównać ich stopień złożoności.
(13)
(14)
(15)
(17)
(24)
(25)
(26)
