DOLNOŚLĄSKIE MECZE MATEMATYCZNE 2004/05

KATEGORIA: GIMNAZJA

WIELKI / MAŁY FINAŁ

1. Na Wyspach Bergamotach żyje 2005 smoków, piwno- i zielonookich. Jeśli któryś z nich odkryje, jakiego koloru ma oczy, o północy tego dnia, w którym się o tym dowiedział, używa swoich smoczych mocy, zamienia się w ptaka i odlatuje. Na wyspie nie ma żadnych luster, a smoki nie rozmawiają o kolorze oczu ani nie oglądają swoich odbić w wodzie. Za to codziennie spotykają się na wieczornym capstrzyku. Pewnego dnia lotem błyskawicy rozeszła się wieść, że co najmniej 1 smok ma zielone oczy. Co stało się ze smoczą populacją?

2. W kasynie Kant-Gigant każdy z 99 grających coś stracił. Średnia przegrana na gracza wyniosła 22 zł. Ilu maksymalnie graczy mogło stracić więcej niż 99 zł?

3. Ściany sześciennej kostki numerujemy losowo liczbami całkowitymi od 0 do 5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrany losowo wierzchołek będzie należał do ścian, których suma numerów nie przekracza 4?

4. Jakie prostokąty mają tę własność, że złożone na pół dają prostokąt podobny?

5. 
   Wykaż, że dla dowolnych x, y, z ∈ R
   .

6. W kwadracie umieszczono kwadrat, a w tym kwadracie kwadrat, a w tym kwadracie jeszcze jeden kwadrat. Każdy z nich ma boki pionowe i poziome (patrz rysunek). Udowodnij, że sumy pól części szarych i czarnych są równe.

7. Pan Kotek był chory i bardzo się nudził. Z nudów napisał sobie 4 duże liczby naturalne, obliczył sumy każdych dwóch z nich i zapisał w porządku rosnącym. Czy się nie pomylił?

2360853620635557341703682154243690699091683995943794750495466633155089188219,

8026859992267978561469887358348813578425550337228271161608235375776626450508,

8127968930934893483231020468920849360862327913752601092637806282356619088041,

10227771053382802444255980493907126110202581571657859985458935162018461016316, 10328879992049807368017113604479161892639359148182189916488506068598453653848, 15994886363682218580783318808584284771973225489466666327601274811219990916138

8. Czy dla każdego a całkowitego istnieją takie całkowite k i l, że 123k + 1234l = a?

9. E jest środkiem boku CD czworokąta wypukłego ABCD. Wykaż, że jeśli pole trójkąta ABE jest połową pola ABCD, to ABCD jest trapezem.

10. Na papierze w kartkę narysowano sześciokąt, jak na rysunku. Czy da się go pociąć na takie trzy części, z których można złożyć kwadrat?

---