Konwencja sumacyjna

[edytuj]

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Skocz do: nawigacji, szukaj

Konwencja sumacyjna Einsteina - to skrótowy sposób zapisu równań zawierających kilka znaków sumy. Stosuje się go w celu zwiększenia przejrzystości zapisu równań.

Spis treści [ukryj] 1 Zasady konwencji 2 Przykłady 3 Uzasadnienie 4 Zobacz też

Zasady konwencji [edytuj]

Jeżeli mamy sumowanie po jakimś indeksie, indeks przebiega wszystkie swoje dozwolone wartości i występuje w sumowaniu dwa razy: raz jako wskaźnik górny a raz dolny, to znak sumowania pomijamy.

Indeks (wskaźnik) sumacyjny nazywamy w takim wypadku wskaźnikiem niemym.

Przykłady [edytuj]

W poniższych przykładach wszystkie wskaźniki mogą przyjmować wartości 0-3.

• 
  - indeksem sumacyjnym (niemym) jest j

• 
  - indeksy nieme to ν, λ i δ; normalnym wskaźnikiem jest μ

Uzasadnienie [edytuj]

Sytuacja, kiedy mamy dodawanie w takiej postaci, jak w konwencji sumacyjnej, jest bardzo częsta w algebrze liniowej. Można powiedzieć, że operacja pomnożenia odpowiednich składowych jakichś dwóch obiektów i wysumowania ich po tej składowej jest bardzo podstawowym działaniem i może być traktowana na równi z mnożeniem. Rozsądne byłoby zatem skrócenie zapisu tak podstawowej operacji. Działanie takie (mnożenie składowych i sumowanie po tej składowej) nazywa się czasem kontrakcją (skracaniem). Kontrakcji można się doszukać w wielu innych działaniach:

• Mnożenie macierzy -
  

• Iloczyn skalarny wektorów -
  

• Mnożenie wektora przez macierz -
  

• Dywergencja pola wektorowego -
  

Praktyka pokazuje, że można się bardzo szybko przyzwyczaić do konwencji sumacyjnej. Osoby znające konwencję sumacyjną często wręcz nie rozumieją wzorów, gdzie występują wskaźniki dolne i górne, a konwencja nie obowiązuje.

Symbol Leviego-Civity jest tensorem antysymetrycznym, symbolem podobnym do delty Kroneckera, który jest zdefiniowany jako:

.

Symbol ten został nazwany na cześć matematyka włoskiego Tullio Levi-Civita, choć powszechnie stosowaną nazwą symbolu Leviego-Civity jest „epsilon z trzema indeksami”. Wartym wspomnienia jest fakt, iż w rachunku tensorowym stosuje się również „epsilony” z większą liczbą indeksów.

Symbol może zostać zastosowany do zapisu iloczynu wektorowego

.

W notacji Einsteina mamy natomiast:

,

gdzie
jest i-tym wektorem bazy kontrawariantej.

Symbol ten jest pomocny przy wyprowadzaniu skomplikowanych wzorów z operatorem nabla i umożliwia uniknięcie rozpisywania wszystkiego na pochodne cząstkowe, przykładowo w układzie kartezjańskim
:

Związek symboli Leviego-Civity z symbolami Kroneckera [edytuj]

Niech podwójny iloczyn wektorowy ma postać:

Niech wersory kartezjańskiego układu współrzędnych będą dane przez:

Niech:

Niech wszystkie te wektory mają normę jeden, i są do siebie prostopadłe, czyli:

Wówczas:

Stąd związek przedstawia się używając symboli- Civity i symboli Kroneckera, następująco:

Przykłady [edytuj]

Wizualizacja symbolu Leviego-Civity

• ε₁₁₂ = 0, z powodu powtarzającej się wartości indeksu (wystarczy wziąć i = 1 oraz j = 2 w powyższej definicji),

• ε₁₂₃ = 1, gdyż (1,2,3) jest parzystą permutacją (1,2,3),

• ε₃₁₂ = 1, gdyż (3,1,2),jest parzystą permutacją (1,2,3),

• ε₂₁₃ = − 1, gdyż (2,1,3),jest nieparzystą permutacją (1,2,3).