TRANSFORMACJA ZMIENNYCH

CELE TRANSFORMACJI

• ujednolicenie charakteru zmiennych (postulat jednolitej preferencji),

• doprowadzenie różnoimiennych zmiennych do wzajemnej porównywalności (postulat addytywności),

• zastąpienie zróżnicowanych zakresów zmienności poszczególnych zmiennych zakresem stałym (postulat stałości rozstępu lub stałości wartości ekstremalnych),

• wyeliminowanie z obliczeń wartości ujemnych (postulat dodatniości).

STYMULACJA ZMIENNYCH

Typy zmiennych:

• stymulanty
  - zmienne, których wysokie wartości są pożądane z punktu widzenia ogólnej charakterystyki badanego zjawiska

• destymulanty
  - zmienne, których wysokie wartości są niepożądane z punktu widzenia ogólnej charakterystyki badanego zjawiska

• nominanty
  - zmienne, których odchylenia od poziomu najkorzystniejszego (optymalnego poziomu nasycenia), z punktu widzenia ogólnej, charakterystyki badanego zjawiska są niepożądane

STYMULACJA DESTYMULANT

Przekształcenie ilorazowe

, b>0,

gdzie:

- wartość j-tej zmiennej destymulanty w i-tym obiekcie,

- wartość j-tej zmiennej po transformacji w stymulantę w i-tym obiekcie,

b - stała przyjmowana w sposób arbitralny, najczęściej b=1.

Przekształcenie różnicowe

, b>0,

gdzie:

a, b - stałe przyjmowana w sposób arbitralny, najczęściej b=1 i a=0 lub

STYMULACJA NOMINANT

Przekształcenie ilorazowe

,

gdzie:

- nominalna (pożądana) wartość j-tej zmiennej,

- wartość j-tej nominanty w i-tym obiekcie.

Przekształcenie różnicowe

NORMALIZACJA ZMIENNYCH

Ogólna formuła normalizacji zmiennych diagnostycznych:

, i=1,2,..,n; j=1,2,...,m; b≠0,

gdzie:

z_ij - znormalizowana wartość j-tej zmiennej w i-tym obiekcie,

a,b,p - parametry normalizacyjne.

Standaryzacja

Cel: jest otrzymanie zmiennych o odchyleniu standardowym (standaryzacja klasyczna) lub medianowym odchyleniu bezwzględnym (standaryzacja pozycyjna) równym 1.

Standaryzacja klasyczna

• dokonując standaryzacji klasycznej parametry normalizacyjne przyjmują najczęściej wartość:

.

• formuła normalizacyjna ma wtedy postać:

, i=1,2,...,n; j=1,2,...,m.

• w wyniku standaryzacji klasycznej średnia arytmetyczna zmiennej przyjmuje wartość 0 a odchylenie standardowe wartość 1.

Standaryzacja pozycyjna

• standaryzacji pozycyjnej dokonujemy przyjmując najczęściej następujące wartości parametrów:

.

• wzór na normalizację zmiennej przyjmuje postać:

, i=1,2,...,n; j=1,2,...,m.

• medianowe odchylenie bezwzględne zmiennej wystandaryzowanej ma wtedy wartość 1.

Unitaryzacja

Cel: uzyskanie zmiennych o ujednoliconym zakresie zmienności, definiowanym przez różnicę pomiędzy ich wartościami maksymalnymi i minimalnymi w ujęciu klasycznym lub maksimum z medianowych odchyleń bezwzględnych w ujęciu pozycyjnym, równym stale 1.

Unitaryzacja klasyczna

W przypadku unitaryzacji klasycznej parametry normalizacyjne przyjmują najczęściej wartości:

• przykładowo przyjmując za parametr a minimalną wartość zmiennej zaobserwowaną w porównywanych obiektach, ogólna formuła normalizacji przyjmuje postać:

, i=1,2,...,n; j=1,2,...,m.

• w wyniku zastosowania powyższej formuły normalizacji otrzymujemy zmienne o wartościach należących do przedziału [0;1].

Unitaryzacja pozycyjna

• stosując unitaryzację pozycyjną przyjmujemy najczęściej następujące wartości parametrów normalizacyjnych:

.

- ogólna formuła normalizacji ma wtedy postać:

, i=1,2,...,n; j=1,2,...,m.

Przekształcenie ilorazowe

Cel: odniesienie wartości zmiennej do pewnej stałej.

Ujęcie klasyczne

• w przypadku ujęcia klasycznego parametry normalizacyjne przyjmują najczęściej wartości:

• przykładowo przy przyjęciu jako punktu odniesienia wartości średniej arytmetycznej ogólna formuła normalizacji ma postać:

, i=1,2,...,n; j=1,2,...,m.

Ujęcie pozycyjne

• parametry normalizacyjne w ujęciu pozycyjnym mają najczęściej wartości:

.

• ogólna formuła normalizacyjna przyjmuje postać:

, i=1,2,...,n; j=1,2,...,m.

Normalizacja rangowa

• pierwszym etapie obiekty zostają uszeregowane według kryterium porządkującego ze względu na daną zmienną

• następnie wariantom zmiennej nadawane są rangi, tzn. umowne wartości liczbowe, którymi najczęściej są numery porządkowe miejsc zajmowanych przez obiekty w uporządkowanym szeregu

• od strony formalnej formułę standaryzacyjną możemy przedstawić następująco:

, h,i=1,2,...,n.

gdzie:

h - ranga nadana i-temu obiektowi znajdującemu się na h-tym miejscu w uporządkowanym szeregu obiektów ze względu na j-tą zmienną.

Wyeliminowanie z obliczeń wartości ujemnych

gdzie:

,

przy czym:

S(z_ij) - odchylenie standardowe obliczane ze wszystkich elementów macierzy danych znormalizowanych

MIARY PODOBIEŃSTWA OBIEKTÓW

MIARA ODLEGŁOŚCI

• miarą odległości pomiędzy obiektami i-tym i`-tym nazywamy funkcję d spełniającą następujące warunki:

dodatniość:

zwrotność:

symetria:

nierówność trójkąta:

gdzie:

- odległość i-tego obiektu od i'-tego obiektu

• wzrost wartości miary odległości oznacza zmniejszenie stopnia podobieństwa obiektów

MIARA BLISKOŚCI (ZGODNOŚCI)

• miarą bliskości pomiędzy obiektami i-tym i`-tym nazywamy funkcję p spełniającą następujące warunki:

dodatniość:

zwrotność:

symetria:

• wzrost wartości miary bliskości oznacza wzrost stopnia podobieństwa obiektów

PODSTAWOWE MIARY ODLEGŁOŚCI MIĘDZY OBIEKTAMI

Czynniki wpływające na wybór miary odległości:

• skale pomiaru zmiennych, gdy są one mierzone na tej samej skali,

• skale pomiaru zmiennych, gdy są one mierzone na różnych skalach pomiaru,

• zastosowana formuła normalizacji wartości zmiennych.

MIARY ODLEGŁOŚCI OBIEKTÓW PRZY STOSOWANIU ZMIENNYCH MIERZONYCH

NA SKALI PRZEDZIAŁOWEJ LUB ILORAZOWEJ

Metryka Minkowskiego:

,

gdzie:

w_j - waga j-tej zmiennej,

p - parametr będący liczbą naturalną.

Odległość Euklidesa (p=2):

Odległość miejska (Manhattan, Hamminga) (p=1):

Odległość Czebyszewa (
):

Rys. 1.1. Odległości punktów według metryk euklidesowej, miejskiej i maksymalnej różnicy na płaszczyźnie.

z2 z2 02 01 03 04

z2

02 01 03 04

z2

02 01 03 04

z₁ z₁ z₁

Źródło: Opracowanie własne.

Odległość potęgowa:

,

gdzie:

a, b - parametry sterujące wagami zmiennych.

Jeżeli parametry a i b są równe 2 odległość potęgowa jest równa odległości euklidesowej.

Odległość Mahalanobisa (oparta na oryginalnych wartościach zmiennych):

,

gdzie:

s_jj' - jj'-ty element macierzy odwrotnej do macierzy kowariancji zbioru obserwacji S.

MIARY ODLEGŁOŚCI OBIEKTÓW ZMIENNYCH MIERZONYCH NA SKALI NOMINALNEJ

ZMIENNE WIELOSTANOWE

Niezgodność procentowa (miara Sokala i Michenera):

,

gdzie:

m^r - liczba zmiennych, dla których zachodzi relacja równości między obiektami.

ZMIENNE BINARNE

Wyróżnienie czterech typów liczebności zmiennych

m^1,1 - liczebność zmiennych, dla których w porównywanych obiektach, występuje odpowiedni wariant zmiennej (zgodność występowania)

m^0,0 - liczebność zmiennych, dla których w porównywanych obiektach, nie występuje odpowiedni wariant zmiennej (zgodność niewystępowania)

m^1,0 - liczebność zmiennych, dla których w pierwszym z porównywanych obiektów, występuje wariant danej zmiennej, a w drugim z nich wariant ten nie występuje (niezgodność występowania)

m^0,1 - liczebność zmiennych, dla których w pierwszym z porównywanych obiektów, nie występuje wariant danej zmiennej, a w drugim z nich wariant ten występuje (niezgodność występowania)

Miara Sokala i Michenera (jednakowe wagi):

.

Miara Czekanowskiego (zróżnicowane wagi):

.

- obie miary odległości przyjmują wartość z przedziału [0; 1].

DROGI POSTĘPOWANIA

GDY ZMIENNE CHARAKTERYZUJĄCE OBIEKTY

MIERZONE SĄ NA RÓŻNYCH SKALACH:

• korzystanie w analizie porównawczej wyłącznie ze zmiennych jednego typu (mierzonych na tej samej skali) i odrzucenie innego typu zmiennych,

• pominięcie faktu, że zmienne są mierzone na różnych skalach i stosowanie w analizach metod właściwych dla jednego typu zmiennych,

• przekształcenie zmiennych różnego typu tak aby były mierzone na tej samej skali,

• zastosowanie uniwersalnych miar odległości między obiektami, dopuszczających wykorzystanie zmiennych mierzonych na różnych skalach.

Uogólniona miara odległości Walesiaka

,

przy czym:

oraz
.

Podstawienia dla zmiennych mierzonych na skali ilorazowej lub przedziałowej:

Podstawienia gdy zmienne mierzone są na skali porządkowej:

i*=i',i”,

i*=i,i”.

Podstawienie gdy zmienne mierzone są na skali nominalnej:

• dla porównywanych obiektów i oraz i':

• dla pozostałych par obiektów:

i”=1,2,...n; i”≠i,i'.

MIARY ODLEGŁOŚCI STRUKTUR

Zastosowanie:

stosowane są w sytuacjach gdy obiekty są porównywane ze względu na jedno konkretne zjawisko (np. strukturę wydatków gospodarstw domowych), a przedmiotem tego porównania jest zróżnicowanie zbiorowości tych obiektów ze względu na kształtowanie się tego zjawiska

Warunki dla stosowania miar odległości struktur:

• wskaźniki struktury są unormowane w przedziale [0;1],

• suma wartości wskaźników struktury dla danego obiektu równa jest jedności.

Miara Nowaka:

,
.

Miara ta jest unormowana w przedziale [0;1].

Miara Kukuły:

,

gdzie:

.

Miara ta jest unormowana w przedziale [0;1].

Miara Chomątowskiego i Sokołowskiego:

MIARY BLISKOŚCI OBIEKTÓW

Miary bliskości obiektów przy zmiennych mierzonych na skali nominalnej

Współczynnik zbieżności Cramera:

,

gdzie:

Miara ta jest unormowana w przedziale [0;1].

Miary bliskości obiektów stosowane przy zmiennych mierzonych na skali porządkowej

Współczynnik korelacji rang:

,

gdzie:

c_i - różnica pomiędzy rangami przyporządkowanymi i-temu obiektowi w obu uporządkowanych ich ciągach.

Miary bliskości obiektów stosowane przy zmiennych mierzonych na skali ilorazowej lub przedziałowej

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona:

,

Współczynnik ten jest unormowany w przedziale [-1;1].

---