Tomasz Pajączkowski

18.04.2001

Ćwiczenie nr 3.

Temat: Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą spadkownicy Atwooda.

Tabela:

	czas [ s ]
	l = 0,18 m S = 0,30 m				l = 0,28 m S = 0,20 m				l = 0,38 m S = 0,10 m
	m1	m2	m3		m1	m2	m3		m1	m2		m3
1	1,064	0,858	0,754		0,454	0,404	0,354		0,178	0,168		0,138
2	1,031	0,868	0,747		0,460	0,403	0,352		0,174	0,162		0,138
3	1,047	0,867	0,753		0,448	0,402	0,353		0,172	0,158		0,142
4	1,039	0,851	0,753		0,458	0,405	0,360		0,173	0,158		0,138
5	1,018	0,863	0,750		0,458	0,401	0,352		0,175	0,162		0,140
6	1,032	0,867	0,757		0,457	0,403	0,357		0,175	0,158		0,139
7	1,015	0,850	0,750		0,453	0,407	0,355		0,176	0,157		0,138
8	1,015	0,867	0,764		0,455	0,403	0,354		0,172	0,159		0,142
9	1,016	0,876	0,752		0,446	0,402	0,353		0,173	0,160		0,138
10	1,026	0,876	0,750		0,448	0,405	0,353		0,175	0,157		0,138
Σ	10,303	8,643	7,53		4,537	4,035	3,543		1,743	1,599		1,391
tśredni	1,030	0,864	0,753		0,454	0,404	0,354		0,174	0,160		0,140

Stałe:

m1 = 6,77g m2 = 8,12g m3 = 10,17g

M = 0,0606 kg h = 3,7 cm = 3,7·10^-2 m

Teoria zjawiska:

Kinematyka jest tą częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczynę. Oznacza to, że z kinematycznego punktu widzenia nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola jaką to oddziaływanie odgrywa w zjawiskach ruchu. Nie wprowadzamy tu więc pojęcia siły.

Ruchem nazywamy wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni, w miarę upływu czasu, jednych ciał względem innych. Wyróżniamy przy tym ruch prostoliniowy i krzywoliniowy, jednostajny i zmienny.

Ruch prostoliniowy jednostajny jest to taki ruch, którego torem jest linia prosta, a wartość prędkości nie zmienia się w czasie. Punkt materialny poruszający się tym ruchem przebywa w jednakowych, dowolnie małych, odstępach czasu , jednakowe odcinki drogi.

Dzięki temu, że w ruchu jednostajnym prędkość nie zmienia swej wartości, drogę przebytą w tym ruchu łatwo można obliczyć korzystając z równania: s = υ·t.

Przyśpieszenie jest wielkością fizyczną która informuje nas, jak i o ile zmienia się prędkość danego ciała w każdej jednostce czasu. Przyspieszeniem zatem nazywamy stosunek przyrostu prędkości do czasu, w którym ten przyrost nastąpił i określamy równaniem:

a = Δ υ/Δt

W powyższym ruchu, tj. ruch jednostajnym a = 0, bo υ = Constans.

Prócz ruchu jednostajnego wyróżniamy również ruch zmienny. Najbardziej prostym przykładem tego ruchu jest ruch jednostajnie zmienny.

W ruchu jednostajnie zmiennym wartość przyspieszenia nie zmienia się, możemy więc skorzystać ze wzoru: a = ( υ - υ_o )/t, gdzie υ - prędkość po upływie dowolnego czasu t, a υ_o- prędkość początkowa, w momencie rozpoczęcia pomiaru czasu ( t = 0 ).

Z powyższego wzoru otrzymujemy: υ - υ_o = at υ = υ_o + at

Powyższy wzór opisuje prędkość w ruchu jednostajnie zmiennym. Równanie opisujące drogę w tym ruchu ma postać: s = υ_ot + ( υ - υ_o )t/2 i jest wyprowadzone z powyższych zależności.

Opisane powyżej kinetyczne metody opisu ruchu ciał nie dają informacji o przyczynach, które są odpowiedzialne za dany rodzaj ruchu, czy też za zmiany wielkości kinetycznych określających ten ruch. Chcąc więc głębiej wniknąć w naturę zjawiska ruchu , należy sięgnąć do innych, pełniejszych metod opisu.

Doświadczenie uczy nas, że przyczyną zmiany prędkości każdego poruszającego się ciała jest jego oddziaływanie z innymi ciałami. Stąd też opis ruchu powinien te oddziaływania uwzględniać. Badanie zależności między wzajemnymi oddziaływaniami ciał i zmianami ruchu wywołanymi przez te oddziaływania jest przedmiotem dynamiki.

Podstawą dynamiki są trzy zasady Newtona, sformułowane w XVII wieku.

Pierwsza zasada dynamiki:

Tylko siła przyłożona do danego ciała może wyprowadzić je ze stanu spoczynku lub zmienić jego prędkość - wartość, kierunek lub zwrot. ( inaczej: Tylko niezrównoważona siła przyłożona do danego ciała może je wyprowadzić ze stanu spoczynku lub zmienić jego prędkość ).

Druga zasada dynamiki:

Przyśpieszenie z jakim porusza się ciało pod działaniem siły, jest wprost proporcjonalne do wartości tej siły, a odwrotnie proporcjonalne do masy danego ciała. Kierunek i zwrot przyśpieszenia jest zgodny z kierunkiem i zwrotem działania siły. F = ma

Trzecia zasada dynamiki:

Niemożliwe jest istnienie jednej tylko siły. Sile F wywieranej przez ciało A na ciało B towarzyszy zawsze siła F' wywierana przez ciało B na ciało A. Obie siły mają jednakowe wartości i wspólny kierunek, a przeciwny zwrot i różny punkt przyłożenia ( każda z nich przyłożona jest do innego ciała ).

Powyższe zasady stanowią punkt wyjścia do analizie przyczyn ruchu.

Wyprowadzenie wzoru roboczego:

Opis metody z opisem wykonanego eksperymentu:

Celem ćwiczenia było wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego przy pomocy spadkownicy Atwooda. Dokonać tego należy analizując ruch ciężarka obciążonego konikiem o znanej masie, w sposób, w jaki zostało przedstawione powyżej.

Aparatura składa się z bloczku o bardzo małym współczynniku tarcia, dwóch identycznych ciężarków zawieszonych na nici przerzuconej przez bloczek, blokady bloku, pozwalającej na utrzymanie ciężarka w dowolnym położeniu, pierścienia służącego do zatrzymania konika, skali oraz podstawki zatrzymującej ciężarek. Ponadto przyrząd wykorzystany podczas wykonywanego ćwiczenia wyposażony był w układ fotoelektryczny pozwalający na bardzo precyzyjne wykonanie pomiaru czasu.

Pomiar polega na wyznaczeniu czasu w jakim ciężarek pokonuje drogę S ruchem jednostajnym z prędkością początkową, zależną od konika zwiększającego masę ciężarka na drodze l i drogi l.

W związku z powyższym cały pomiar sprowadza się do wyznaczenia czasu spadania ciężarka ruchem jednostajnym z różną prędkością początkową. Pomiar wykonywany jest automatycznie, co niewątpliwie winno zwiększać precyzję przeprowadzonego eksperymentu.

Ćwiczenie wykonaliśmy dla trzech różnych koników, o znanych masach, na drodze S równej 0,3 m, 0,2 m, 0,1 m. Dla każdego przypadku wykonałem po10 pomiarów czasu. Otrzymane wartości zebrałem w powyższej tabeli, a następnie na ich podstawie dokonałem końcowych obliczeń i wyciągnąłem końcowe wnioski.

Obliczenia do wykonanego ćwiczenia:

g = ( 2M + m )S²/2m( l- h )t²

Po podstawieniu do powyższego wzoru wartości z tabeli otrzymałem:

dla S = 0,3 m g = 5,61 m/s² ( m1 )

g = 6,71 m/s² ( m2 )

g = 7,11 m/s² ( m3 )

dla S = 0,2 m g = 7,55 m/s² ( m1 )

g = 8,03 m/s² ( m2 )

g = 8,48 m/s² ( m3 )

dla S = 0,1 m g = 9,10 m/s² ( m1 )

g = 9,07 m/s² ( m2 )

g = 9,61 m/s² ( m3 )

{ działanie na jednostkach: kg·m²/kg·m·s² = m/s²

Szacowanie niepewności pomiarów:

U_C(M) = 1·10^-4/3^1/2 = 5,8·10^-5 kg

U_C(m) = 1·10^-5/3^1/2 = 5,8·10^-6 kg

U_C(l) = 1·10^-3/3^1/2 = 5,8·10^-4 m

U_C(h) = 0,01/3^1/2 = 5,8·10^-3 m

U_B(t) = 1·10^-3/3^1/2 = 5,8·10^-4 s

U_A(t) = [ Σ ε²/n(n-1)]^1/2 = 0,18 s

U_C(t) = 0,18 s

1. ðg/ðS = 2(2M+m)S/2m(l-h)t² = ... 1/s²

2. ðg/ðt = -2(2M+m)S²/2m(l-h)t³ = ... m/s³

3. ðg/ðM = 2S²/2m(l-h)t² = ... m/kg·s²

4. ðg/ðl = -2mt²(2M+m)S²/[2m(l-h)t²]² = ... 1/s²

5. ðg/ðh = 2mt²(2M+m)S²/[2m(l-h)t²]² = ... 1/s²

6. ðg/ðm = S²(2m(l-h)t²-2(l-h)t²(2M+m)S²/[2m(l-h)t²]² = ... 1/kg²m²s⁴

Wartości wyliczone zgodnie z powyższymi wzorami ze względów estetycznych umieściłem w poniższej tabeli a następnie na ich podstawie wyznaczyłem błąd pomiaru dla każdej wartości g.

1	11,21	13,43	14,34	15,10	16,06	16,97	18,20	18,14	19,21
2	-0,07	-0,15	-0,26	-0,50	-0,80	-1,38	-4,07	-5,75	-9,97
3	87,63	103,83	109,14	117,97	124,20	129,16	142,24	140,25	146,26
4	-39,21	-46,95	-50,13	-31,06	-33,05	-34,91	-26,53	-26,44	-28,01
5	39,21	46,95	50,13	31,06	33,05	34,91	26,53	26,44	28,01
6	-784,38	-774,89	-650,35	-1055,94	-926,94	-769,62	-1273,22	-1046,71	-871,53

{ jednostki jw.

U(g)={(ðg/ðS)²·U_C²(S)+(ðg/ðt)²·U_C²(t)+(ðg/ðM)²·U_C²(M)+(ðg/ðl)²·U_C²(l)+(ðg/ðh)²·U_C²(h)+

+(ðg/ðm)²·U_C²(m)}^1/2= ... m/s²

0,027

0,039

0,055

0,092

0,145

0,249

0,733

1,036

1,795

{ jednostki jw.

dla α = 0,95 U_C(g) = 2·U(g) = ...

0,05

0,08

0,11

0,18

0,29

0,50

1,47

2,07

3,59

{ jednostki jw.

I tak ostatecznie wartości g dla poszczególnych powyższych przypadków wynoszą:

g = 5,61 ± 0,05 m/s² ( S =0,3 m; l = 0,18m )

g = 6,71 ± 0,08 m/s²

g = 7,11 ± 0,11 m/s²

g = 7,55 ± 0,18 m/s² ( S = 0,2 m; l = 0,28m )

g = 8,03 ± 0,29 m/s²

g = 8,48 ± 0,50 m/s²

g = 9,10 ± 1,47 m/s² ( S = 0,1 m; l = 0,38m )

g = 9,07 ± 2,07 m/s²

g = 9,61 ± 3,59 m/s²

Wnioski:

Wartość przyspieszenia ziemskiego wyznaczona przeze mnie różnią się od wartości rzeczywistej ( 9,81 m/s² ).

Spowodowane to jest faktem, że aparatura jaką dysponowaliśmy podczas wykonywania ćwiczenia mimo precyzyjności w wyznaczaniu wartości czasu była mało dokładna. Wartości czasu uzyskane przy niewielkiej drodze odbiegają od wartości idealnych. Szczególnie wyraźnie potwierdza się to przy stosunku drogi 1:2 ( co odpowiada pierwszym trzem wartością g ). Sytuacja ta ulega zmianie gdy zwiększamy stosunek drogi na korzyść l. I tak, dla stosunku 3:1 wartości g zbliżone są do rzeczywistych.

Spowodowane to jest siłami tarcia i oporem powietrza. Przy mniejszej drodze S pomiar czasu ulega znacznemu skróceniu, co skutkuje tym, że powyższe nie odgrywa znaczącej roli, jak ma to miejsce w pozostałych przypadkach. Również większa jest tu prędkość początkowa co też ma niemałe znaczenie na precyzję pomiaru.

Zatem można wyciągnąć następujące wnioski: wartość g uzależniona jest od stosunku drogi, i wraz ze wzrostem powyższego stosunku na korzyść l wartość jej zbliżona jest do wartości rzeczywistej. Zatem powyższe ćwiczenie winno być wykonywane dla najbardziej optymalnego stosunku drogi ( tj. 3:1 ) co zostało przedstawione powyżej.

( m + M )a = ( m + M )g - N

Ma = N - Mg

( m + M )a + Ma = ( m + M )g - Mg

( m + 2M )a = mg

g = ( m + 2M )a/m

Z równań ruchu:

υ = at a = υ/t = ( x₂ - x₁ )/t₁t₂,

bo υ = ( x₂ - x₁ )/t₂

x₂ - x₀ - h = at₁²/2

t₁² = 2 ( x₂ - x₀ - h )/a = 2( x₂ - x₀ - h )t₁t₂/( x₂ - x₁ )

t₁ = 2( x₂ - x₀ - h )t₂/( x₂ - x₁ )

g = ( m + 2M )(x₂ - x₁ )/Mt₁t₂ =

= ( m + 2M )( x₂ - x₁ )²/Mt₂²( x₁ - x₀ - h )

Przyjmując x₂ - x₁ = S, x₁ - x₀ = l, t₂ = t

otrzymujemy: g = ( 2M + m )S²/2m( l- h )t²

---