TESTOWANIE HIPOTEZ

Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące nieznanej własności rozkładu prawdopodobieństwa badanej cechy populacji.

Przykłady

• (a) Producent opon twierdzi, że nowy typ opony ma trwałość większą niż 60000 km. Jeśli
  (km) oznacza wartość średnią trwałości opon, to hipotezą producenta jest
  

• (b) Socjolog twierdzi, że dzieci w miastach mają lepsze wyniki w nauce niż dzieci poza ośrodkami miejskimi. Niech
  (
  ) oznacza proporcję dzieci w miastach (poza miastami) o średnich ocenach rocznych co najmniej dobrych. Hipotezą socjologa jest
  

• (c) Producent twierdzi, że średni czas bezawaryjnej

pracy drukarki to 200 godzin. Wówczas

• (d) Fizycy przypuszczają, że ilość cząstek

emitowanych przez substancję radioaktywną w

przedziałach czasu o danej długości jest zmienną

losową o rozkładzie Poissona. Wówczas

• (e) Sprzedawca przypuszcza, że miesięczna wartość

sprzedaży ma rozkład normalny. Wówczas

.

Hipotezę nazywamy parametryczną, jeśli jest stwierdzeniem dotyczącym nieznanego parametru liczbowego lub wektorowego rozkładu cechy populacji,

np. hipotezy (a), (b), (c).

W przeciwnym przypadku hipoteza jest nieparametryczną, np. hipotezy (d), (e).

W zadaniach testowania hipotez występują 2 hipotezy:

Hipoteza zerowa - hipoteza testowana celem ewentualnego odrzucenia, oznaczana przez
.

Hipoteza alternatywna - hipoteza, która będzie przyjęta, jeśli odrzucimy hipotezę zerową, oznaczana przez
.

Hipotezy wykluczają się: nie mogą być jednocześnie prawdziwe, np. niech

oznacza prawdopodobieństwo sukcesu w doświadczeniu Bernoulli'ego. Możliwe są hipotezy:

lub

,
, ale niemożliwe jest sytuacja gdy

,
, bo wartość
jest parametrem z zakresu
i
jednocześnie. Zbiory parametrów wymieniane w obu hipotezach nie są rozłączne.

Rola hipotez
i
nie jest symetryczna:

Hipoteza alternatywna, to ta którą zaakceptujemy, jeśli próbka dostarczy nam dostatecznych dowodów jej prawdziwości, ta o której sądzimy, że jest prawdziwa i szukamy potwierdzenia w próbce, to ta na której nam zależy aby była prawdziwa.

Hipoteza zerowa to ta co do której prawdziwości nie jesteśmy przekonani w sytuacji gdy nie możemy zaakceptować na podstawie próbki hipotezy alternatywnej, ta którą poddajemy w wątpliwość.

Przykład. Załóżmy, że skuteczność pewnej terapii medycznej wynosi
. Zaproponowano nową terapię, której nieznana skuteczność
nie jest gorsza, tzn. wiemy, że
. Nowa terapia będzie szeroko stosowana, jeśli będziemy mieli po badaniach wstępnych dostatecznie dużą „pewność”, że
. Wówczas

,
.

Przykład. Nowa technologia produkcji może zmniejszyć dobowy poziom emisji zanieczyszczeń do atmosfery. Chcielibyśmy wiedzieć, czy zmniejsza ona poziom zanieczyszczeń? Wówczas:

Nowa technologia nie zmniejsza dobowego poziomu emisji zanieczyszczeń atmosfery, tzn. nie jest lepsza od starej technologii.

: Nowa technologia zmniejsza dobowy poziom emisji zanieczyszczeń atmosfery, tzn. jest lepsza.

Zadanie testowania powyższych hipotez polega na podjęciu poniższych decyzji, na podstawie obserwacji dobowych poziomów emisji zanieczyszczeń,:

Możliwe decyzje:

• Nie ma dostatecznych dowodów aby odrzucić
  , tzn. przyjąć
  : na podstawie obserwacji nie możemy stwierdzić, że nowa technologia zmniejsza poziom zanieczyszczeń.

• Obserwacje dostarczają dostatecznych dowodów, aby przyjąć
  , równoważnie odrzucić
  , tzn. stwierdzamy, iż można uznać, że nowa technologia zmniejsza poziom zanieczyszczeń.

Model matematyczny:

Załóżmy, że

• (a)
  = znany średni poziom dobowy emisji

przy starej technologii

• (b)
  = nieznany średni poziom dobowy emisji

przy nowej technologii

• (c) wiemy, że
  . Chcielibyśmy

stwierdzić, że nowa technologia zmniejsza

poziom emisji. Zatem:

,

• (d) w ciągu n losowo wybranych dni obserwujemy

dobowe poziomy emisji przy nowej

technologii:

• (e) zmienne losowe
  są niezależne o

jednakowym rozkładzie
, gdzie
jest

znane

Decyzję: „ przyjąć
” lub „ nie można odrzucić
” rozsądnie jest oprzeć na podstawie realizacji średniej z próby losowej
, tzn. średniej z próbki
.

Uzasadnienie:

Rozkładem
jest rozkład
skoncentrowany wokół
. Zatem dostatecznie małe wartości
sugerują, że
jest prawdziwa, ponieważ

• (1) jeśli
  jest prawdziwa, to wartości
  skupiają się wokół
  , statystyka

• (2) jeśli
  jest prawdziwa:
  , to wartości
  skupiają się wokół
  .

Wówczas Z jest sumą zmiennej o rozkładzie

oraz stałej ujemnej:

.

(1) i (2) sugerują sposób testowania: niech c będzie

odpowiednio dobraną stałą, a
wartością
obliczoną dla próbki, wówczas

1. jeśli
   , to przyjmujemy
   .

2. jeśli
   , to nie ma podstaw do

odrzucenia
.

Wybór c: Niech
będzie małą liczbą z (0,1), np.

lub 0, 01 lub 0,1, ...

Niech
. Wówczas jeśli
prawdziwa, to

.

Stąd
jest prawdopodobieństwem błędnej decyzji (przyjęcia
) w przypadku gdy hipoteza
jest prawdziwa.
= prawdopodobieństwo błędu I rodzaju, nazywane poziomem istotności testu.

Zbiór
nazywamy zbiorem krytycznym, bo jest to zbiór wartości statystyki testowej Z dla których odrzucamy
na korzyść
.

Błędy testowania

Podjęta decyzja

Stan natury	Akceptacja ( ? nie odrzucamy )	Odrzucenie (Akceptacja )
prawdziwa	Decyzja prawidłowa	Błąd I rodzaju
prawdziwa	Błąd II rodzaju (? )	Decyzja prawidłowa

I. Testowanie hipotez o wartości średniej rozkładu normalnego, gdy znana jest wariancja

Niech
będzie prostą próbą losowa z rozkładu
,
- znane.

.

Statystyka testowa:

=
.

Jeśli
prawdziwa, to ZZZ
.

Model 1.

.

Wówczas przyjmujemy C =
= obszar krytyczny testu hipotezy
przeciw
na poziomie istotności
, gdzie

.

Model 2.

Wówczas przyjmujemy C =
- obszar krytyczny, gdzie

.

Model 3.

Wówczas

C =
- obszar krytyczny, gdzie

Zadanie. Dotychczasowa dzienna wartość sprzedaży pewnego artykułu miała rozkład normalny o średniej 1000 ($) i standardowym odchyleniu 100 ($). Po serii reklam telewizyjnych w ciągu 9 losowo wybranych dni uzyskano następujące wartości sprzedaży:

1280, 1250, 990, 1100, 880, 1300, 1100, 950, 1050.

Czy, na poziomie istotności
, można twierdzić, że reklamy spowodowały zwiększenie sprzedaży, jeśli można założyć, że wartości dziennych sprzedaży są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie normalnym ?

Rozwiązanie:

1. 
   

2. 
   

3. Statystyka testowa:
   

4.
,
,
= 2,33.

Obszar krytyczny C =

5.
,
, z obliczeń
, stąd wartość statystyki testowej

.

6.
, więc odrzucamy
.

Odpowiedź: Na poziomie istotności
stwierdzamy, że średnia wartość sprzedaży wzrosła po serii reklam.

II. Testowanie hipotez o wartości średniej rozkładu normalnego, gdy nieznana jest wariancja

Niech
będzie prostą próbą losowa z rozkładu
,
- nieznane.

.

Statystyka testowa:

=
.

Jeśli
prawdziwa, to
.

Model 1.

Wówczas przyjmujemy C =
= obszar krytyczny testu hipotezy
przeciw
na poziomie istotności
, gdzie

,

= kwantyl rzędu
rozkładu t - Studenta z

stopniami swobody.

Model 2.

Wówczas C =
- obszar krytyczny, gdzie

.

Model 3.

Wówczas

C =
- obszar krytyczny, gdzie

Zadanie. Producent twierdzi, że jego nowy model samochodu ma wartość średnią przebiegu nie wymagającą żadnej interwencji 12000 (mil). W teście dla 4 losowo wybranych samochodów uzyskano następujące przebiegi nie wymagające żadnego serwisu: 11000, 12000, 11800, 11200. Czy można zaprzeczyć twierdzeniu producenta, przyjmując
oraz rozkład normalny przebiegu.

Rozwiązanie:

1.

2. 
   

3. Statystyka testowa:
   

4.
,
, liczba stopni swobody =
,
= 2,353.

Obszar krytyczny C =
.

5.
, z obliczeń
,
, stąd wartość statystyki testowej

.

6.
, więc nie ma podstaw do odrzucenia
na poziomie istotności 0,05.

Odpowiedź: Na poziomie istotności
stwierdzamy, że nie można odrzucić twierdzenia producenta.

Definicja.

Najmniejszy poziom istotności, przy którym zaobserwowana wartość statystyki testowej prowadzi do odrzucenia hipotezy zerowej nazywamy p-wartością przeprowadzonego testu.

Np. w ostatnim zadaniu

,

0,063.

Im mniejsza jest p-wartość, tym mocniejsze staje się przekonanie testującego o fałszywości hipotezy zerowej i prawdziwości hipotezy alternatywnej.

III. Testowanie hipotez o wariancji rozkładu normalnego, gdy nieznana jest wartość średnia

Niech
będzie prostą próbą losowa z rozkładu
,
,
- nieznane.

.

Statystyka testowa:

=

Jeśli
prawdziwa, to
.

Model 1.

Wówczas przyjmujemy C =
= obszar krytyczny testu hipotezy
przeciw
na poziomie istotności
, gdzie

,

= kwantyl rzędu
rozkładu
.

Model 2.

Wówczas C =
- obszar krytyczny, gdzie

.

Model 3.

Wówczas obszar krytyczny C =

,

gdzie
,
.

Zadanie. Zmierzono czas życia 15 losowo wybranych żarówek z bieżącej produkcji. Policzono standardowe odchylenie próbkowe
(godz. ). Czy na poziomie istotności
( 5%) można twierdzić, że odchylenie standardowe czasu życia losowo wybranej żarówki jest różne od 10 ( godz.)

Rozwiązanie.

1.

2.

3. Statystyka testowa:

4.
,
,
,

, liczba stopni swobody
,

,

.

Reguła decyzyjna ( na podstawie obszaru krytycznego ): odrzuć
, jeśli obliczona wartość statystyki

lub

.

5. s =13, stąd wartość statystyki testowej

=


.

6.

, więc nie ma podstaw do odrzucenia
.

Odpowiedź. Na poziomie istotności 0,05, brak jest dostatecznych dowodów aby twierdzić, że
10.

IV. Testy o różnicy wartości średnich dwóch rozkładów normalnych

Niech
oraz
będą dwiema niezależnymi prostymi próbami losowymi z rozkładów normalnych
oraz
, odpowiednio.

Model 1. ( znane odchylenia standardowe
)

,

lub równoważnie

.

Statystyka testowa:

Konstrukcja oparta na analizie
.

Statystka
ma rozkład normalny o wartości średniej
i wariancji
( gdyż

średnie z obu prób losowych
są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych

,
, odpowiednio ). Stąd, po standaryzacji mamy

~
.

(a)
,
.

Jeśli
prawdziwa, to

~
.

Przyjmujemy C =
= obszar krytyczny testu hipotezy
przeciw
na poziomie istotności
, gdzie

,

= kwantyl rzędu
rozkładu
.

(b)
,
.

Przyjmujemy C =
= obszar krytyczny.

(c)
,

Przyjmujemy C =
= obszar krytyczny.

Przykład. Średnia waga losowo wybranych 15 Europejczyków wyniosła
= 154 (funty), podczas gdy dla próbki 18 Amerykanów otrzymano
= 162 (funty).

Z poprzednich badań wiadomo, że wariancje wag losowo wybranego Europejczyka i Amerykanina wynoszą, odpowiednio:
i
. Czy można twierdzić, że średnie wagi w populacji Europejczyków i Amerykanów są różne? Przyjąć
oraz rozkład normalny wag.

1.
.

2.

3. Statystyka testowa:

4.
,
,
.

Obszar krytyczny C =
.

5. Mamy
=154,
=162,
,
,
,

. Stąd wartość statystyki testowej

= - 2.

6.
, więc odrzucamy
.

Odpowiedź: Na poziomie istotności
stwierdzamy, że średnia waga Europejczyka różni się od średniej wagi Amerykanina, przy czym dane sugerują, że średnio Amerykanie ważą więcej niż Europejczycy.

Model 2. ( nieznane odchylenia standardowe
)

Założenie dodatkowe:
,
- nieznane.

,

lub równoważnie

.

Statystyka testowa:

Jeśli
prawdziwa, to

=
~
.

Var(
) =
,

Niech

,
-

nieobciążone estymatory
.

Estymatorem nieobciążonym
, opartym na dwu próbach łącznie, jest statystyka

.

Wówczas we wzorze na Z podstawiając

zamiast
otrzymujemy statystykę

~
.

Dla trzech przypadków możliwych hipotez alternatywnych (a), (b), (c) z modelu 1 mamy analogiczne obszary krytyczne, przy czym kwantyle rozkładu
zastępujemy kwantylami rozkładu
.

Przykład. Klasyczne tranzystory domieszkowane złotem ( występujące w układach scalonych ) mają tzw. czas magazynowania ładunku rzędu 7 ns. Producent ma nadzieję, że pewna zmiana technologii zmniejszyła czas magazynowania. Producent chciałby przetestować hipotezę
przeciw
, gdzie
oznacza średni czas magazynowania przy starej technologii a
przy nowej technologii. Z poprzednich badań wiadomo, że obie technologie dają w przybliżeniu normalne rozkłady czasu magazynowania, oraz że odchylenia standardowe obu rozkładów są takie same.

Producent pobrał 2 niezależne 50 elementowe próbki tranzystorów, produkowanych starą i nowa technologią.

Średnie czasy magazynowania dla obu próbek wyniosły

,
oraz
.

Statystyka testowa

.

Wartość statystyki testowej:

.

,
. Stąd obszar krytyczny

C =
.

oraz p-wartość testu wynosi
Zatem, można przyjąć, że nowa technologia zmniejszyła średni czas magazynowania ładunku.

V. Testy o różnicy wartości średnich rozkładów brzegowych

Niech
będzie prostą próbą losową z rozkładu dwuwymiarowego. Niech
tworzą prostą próbę losową z rozkładu normalnego o nieznanej średniej
.

Hipoteza zerowa:
,

Hipotezy alternatywne możliwe:

1. 
   ,

2. 
   

(c)
.

Statystyka testowa:

.

Jeśli
prawdziwa, to
.

Zatem, obszary krytyczne takie same jak przy testowaniu hipotez o wartości średniej jednej populacji normalnej przy nieznanym odchyleniu standardowym.

Przykład. Zmierzono ciśnienie tętnicze wśród losowo wybranej grupy chorych na pewną chorobę przed i po podaniu takiego samego leku każdemu z pacjentów. Otrzymano następujące wyniki:

Pacjent: 1 2 3 4 5 6 7

Przed : 210 180 260 270 190 250 180

Po : 180 160 220 260 200 230 180

Czy można twierdzić, na poziomie istotności 0,05, że lek powoduje zmniejszenie wartości średniej ciśnienia?

( podać odpowiednie założenia ).

1.

2.

3. Statystyka testowa:
.

4.
30, 20, 40, 10, -10, 20, 0,
,
= 15,9,

n = 7,

5.


,

6. 2,24 >1,94, więc odrzucamy hipotezę zerową.

Odpowiedź. Można twierdzić, że lek obniżył wartość średnią ciśnienia w populacji pacjentów, na poziomie istotności 0,05.

VI. Testowanie hipotezy o równości wariancji dwóch rozkładów normalnych

Niech
oraz
będą dwiema niezależnymi prostymi próbami losowymi z rozkładów normalnych
oraz
, odpowiednio,

.

Statystyka testowa:

Jeśli
prawdziwa, to
F Snedecora o
stopniami swobody.

(a)
,

2. 
   ,

3. 
   .

W przypadkach (a), (b), (c) odrzucamy hipotezę zerową, na poziomie istotności
, jeśli obliczona wartość statystyki F Snedecora f spełnia nierówności, odpowiednio:

(a) f
,

(b) f

(c) f
lub f
,

---