5. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI. ASYMPTOTY FUNKCJI

Funkcja y=f(x) jest ciągła w
wtedy i tylko wtedy, gdy
.

Aby zbadać ciągłość funkcji, należy więc sprawdzić, czy zachodzą trzy warunki:

• Funkcja f jest określona w x=
  (tzn. istnieje wartość f(
  ))

• Istnieją granice lewo i prawostronne w punkcie
  i są sobie równe
  

• Wartość funkcji f(
  ) i granica funkcji
  w punkcie
  są sobie równe.

Zad 5.1.

Zbadaj, czy podana funkcja jest ciągła

W x=3 f(x)=2x-6	W
W x=-2
W x=0
W x=-1
W x=3
W x=1 f(x)=x(1-x)

Zad 5.2.

Dla jakich wartości
funkcja f jest ciągła w zbiorze R.

Zad 5.3

• Prostą
  nazywamy asymptotą pionową wykresu funkcji y=f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy:

Asymptota pionowa obustronna

• Jeżeli istnieje skończona granica
  (
  ) to prosta o równaniu y=g jest asymptotą poziomą wykresu y=f(x) lewo lub prawostronną

• Jeżeli y=ax+b jest asymptotą ukośną funkcji y=f(x), to

-asymptota ukośna lewostronna

-asymptota ukośna prawostronna

Wyznaczyć asymptoty funkcji

ODPOWIEDZI do zestawu 5

Zad 5.1.

ciągła	ciągła	nieciągła
nieciągła	ciągła	nieciągła w x=0
ciągła	ciągła	ciągła
nieciągła	ciągła	nieciągła w x=0
nieciągła	ciągła	ciągła
ciągła	nieciągła w x=3	nieciągła w x=1

Zad 5.2.

a=1 lub a=-1	a=-1, b=-2	a=3/2
a=1	a=1	a=8 lub a=-4

Zad 5.3

y=0	x=2, y=x+7	y=0, x=1	y=1, y=-1	x=1- asymptota jednostronna, y=1
x=3	x=0, y=1/2x-2	y=1, x=0	x=3, y=x
y=1, x=-1, x=1	y=x	y=-x+2, y=x-2	x=2, x=-2 - asymptoty jednostronne, y=1
y=0, x=-1, x=1	x=1, x=-1, y=x	brak	x=1, x=-1 - asymptoty jednostronne, y=e
y=0	x=0, y=x	brak	x=1- asymptota jednostronna, y=e

Opracowała K. Sokołowska 1