EAiE	Imię i Nazwisko: 1.Paweł Antoszek 2. Marcin Blacha		ROK I	GRUPA 1	ZESPÓŁ 8
Pracownia fizyczna I	TEMAT: Moment bezwładności bryły sztywnej				Nr ćwiczenia 1
Data wykonania:	Data oddania:	Zwrot do poprawy:	Data oddania:	Data zaliczenia:	OCENA

Wahadłem fizycznym nazywamy dowolne ciało sztywne zawieszone tak, że może się wahać dookoła pewnej osi przechodzącej przez to ciało.

Przykład takiego ciała został narysowany poniżej:

Jest to bryła sztywna o masie m., środku ciężkości w puncie S, zawieszona w punkcie O, wychylona o kąt  Puszczona swobodnie, będzie wykonywać drgania zwane ruchem wahadłowym. Jest to obrót bryły sztywnej wokół osi O pod wpływem momentu siły ciężkości. Dla wychylenia  moment tej siły jest równy - mgasin ( skierowany przeciwnie do kierunku wychylenia). Według II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego iloczyn momentu bezwładności I i przyspieszenia kątowego jest równy działającemu momentowi siły, czyli . Jeżeli wychylenie jest małe (kilka stopni) to sin  ≈ . Przy tym założeniu:,gdzie . Rozwiązaniem tego równania jest ruch harmoniczny prosty: . Amplituda m. i  zależy od warunków początkowych. Okres drgań T związany z częstością w₀ wynosi . I­­_o- moment bezwładności względem osi obrotu przechodzącej przez punkt zawieszenia O. I­_o­ - moment bezwładności względem środka ciężkości S. Twierdzenie Steinera wyznacza zależność między I_o i I_s : I_o= I_s +ma².

Celem naszego ćwiczenia było wyznaczenie momentu bezwładności pręta i pierścienia względem osi obrotu O i środka ciężkości S. Zrobiliśmy to poprzez pomiar okresu drgań tych brył sztywnych. Otrzymując konkretną wartość T obliczyliśmy moment bezwładności Io. Wykorzystując twierdzenie Steinera policzyliśmy I_s.

Obliczenia dla pierścieni:

W przypadku gdy wzór z którego obliczamy szukaną wielkość można zapisać w postaci iloczynu stosunek błędu tej wartości do średniej wartości tej wielkości jest dany wzorem:

(1)

Pierscień metalowy

Obliczamy wartość T i średni T:

czas 50 wachnięć:	okresy [s]	 [s]	^ [s^2]	Io [kgm^2]	Is [kgm^2]
53,00	1,0600	-0,0060	3,6E-05	0,0454	0,024246
53,00	1,0600	-0,0060	3,6E-05	0,0454	0,024246
53,00	1,0600	-0,0060	3,6E-05	0,0454	0,024246
52,00	1,0400	0,0140	0,000196	0,0437	0,02255
53,00	1,0600	-0,0060	3,6E-05	0,0454	0,024246
52,00	1,0400	0,0140	0,000196	0,0437	0,02255
53,00	1,0600	-0,0060	3,6E-05	0,0454	0,024246
52,00	1,0400	0,0140	0,000196	0,0437	0,02255
53,00	1,0600	-0,0060	3,6E-05	0,0454	0,024246
53,00	1,0600	-0,0060	3,6E-05	0,0454	0,024246

Pierścień mosiężny

czas 50 wachnięć:	okresy [s]	 [s]	^ [s^2]	Io [kgm^2]	Is [kgm^2]
53,00	1,0600	0,0060	3,6E-05	0,0486	0,0249
54,00	1,0800	-0,0140	0,000196	0,0486	0,0249
52,00	1,0400	0,0260	0,000676	0,0486	0,0249
53,00	1,0600	0,0060	3,6E-05	0,0468	0,0231
54,00	1,0800	-0,0140	0,000196	0,0486	0,0249
54,00	1,0800	-0,0140	0,000196	0,0468	0,0231
54,00	1,0800	-0,0140	0,000196	0,0486	0,0249
53,00	1,0600	0,0060	3,6E-05	0,0468	0,0231
53,00	1,0600	0,0060	3,6E-05	0,0486	0,0249
53,00	1,0600	0,0060	3,6E-05	0,0486	0,0249

Średnią okresów obliczamy ze wzoru:

Średni okres: 1,0540 s

Średni I­_oś=0,04323kgm².

Pierścień mosiężny:

Średni okres: 1,0660 s

Pierścień metalowy:

Średni I­_ośr = 0,04845kgm².

Błąd wartości średniej obliczamy ze wzoru: ; gdzie

Suma ² : 0,0008[s²]-p.metalowy

Suma ² : 0,0016[s²]-p.mosiężny

Więc ostatecznie błąd wartości średniej okresu: S=± 0,003 s (pierścień metalowy)

S=± 0,004 s (pierścień mosiężny)

Następnie wartości m (błąd bezwzględny pomiaru wagi pierścienia) i a (Błąd bezwzględny pomiaru przesunięcia od głównej osi obrotu a) równają się odpowiednio: 0,001 kg i 0,001 m.

Wartość średnia okresu, waga pierścienia m i przesunięcie a jest równa odpowiednio
1,0540 s, 1,25 kg, 0,13 m. dla metalowego pręta i :1,066 s; 1,38 ; 0,136 m dla mosiężnego pręta.

Podstawiając te wszystkie wartości do wzoru (1) otrzymujemy:

I_o/I_ośr =0,0085 czyli I­­_o= ± 0,00036 kgm² dla metalowego pręta

I_o/I_ośr =0,0105 czyli I­­_o= ± 0,0005 kgm² dla mosiężnego pręta

Błąd względny obliczamy ze wzoru: i wynosi on

p. metalowy:δ=0,83%.

p.mosiężny: δ=1,04%

Aby sprawdzić jaka jest wartość procentowego odchylenia od wartości tablicowej określonego wzorem (2) musieliśmy przekształcić obliczony moment bezwładności pierścienia względem osi przesuniętej od osi głównej o a na moment bezwładności względem osi głównej ze wzoru:. Obliczenia znajdują się powyżej w tabelce.

p.metalowy I_sśr =0,0232 kgm².

p.mosiężny I_sśr =0,0243 kgm².

Błąd wartości I_s obliczamy z prawa przenoszenia błędów:

czyli po obliczeniu pochodnych: =± 0,0005 kgm²-p.metalowy

=± 0,0004 kgm²-p.mosiężny

Wartość momentu bezwładności wynikającą z teorii obliczamy ze wzoru : .
Wynosi on około I_T = 0,0226 kgm² - p.metalowy ;I_T=0,0191 kgm²- p.mosięzny

Błąd pomiaru masy m.=0,001 kg, błą pomiaru promieni R₁=0,001 m. R₁=0,001m

Błąd momentu bezwładności I_T liczymy z prawa przenoszenia błędów i po obliczeniu pochodnych mamy:

=± 0,005 kgm²-pierścień metalowy

=± 0,006 kgm²-pierścień mosiężny

Procentowe odchylenie od wart.obliczonej ze wzoru (2) wynosi

4,5%-p.metalowy 10%-p.mosięzny

Obliczenia dla pręta:

Obliczenia dla pręta wykonujemy podobnie.Obliczamy T i śre dni okres.

Pręt metalowy

czas 50 wachnięć	okresy [s]	 [s]	^ [s^2]	I0 [kgm^2]	Is [kgm^2]
66	1,3200	0,0000	0	0,0327	0,0402
65	1,3000	0,0200	0,0004	0,0317	0,0393
66	1,3200	0,0000	0	0,0327	0,0402
67	1,3400	-0,0200	0,0004	0,0337	0,0412
67	1,3400	-0,0200	0,0004	0,0337	0,0412
65	1,3000	0,0200	0,0004	0,0317	0,0393
66	1,3200	0,0000	0	0,0327	0,0402
67	1,3400	-0,0200	0,0004	0,0337	0,0412
65	1,3000	0,0200	0,0004	0,0317	0,0393
66	1,3200	0,0000	0	0,0327	0,0402

Pręt mosiężny

czas 50 wachnięć	okresy [s]	 [s]	^ [s^2]	I0 [kgm^2]	Is [kgm^2]
70	1,4000	-0,0120	0,000144	0,036772	0,044322
69	1,3800	0,0080	6,4E-05	0,035728	0,043278
69	1,3800	0,0080	6,4E-05	0,035728	0,043278
70	1,4000	-0,0120	0,000144	0,036772	0,044322
69	1,3800	0,0080	6,4E-05	0,035728	0,043278
69	1,3800	0,0080	6,4E-05	0,035728	0,043278
70	1,4000	-0,0120	0,000144	0,036772	0,044322
70	1,4000	-0,0120	0,000144	0,036772	0,044322
69	1,3800	0,0080	6,4E-05	0,035728	0,043278
69	1,3800	0,0080	6,4E-05	0,035728	0,043278

Średnią okresów obliczamy ze wzoru:

Pręt metalowy:

Średni okres: 1,32 s

Średni I­_oś=0,0327kgm².

Pręt mosiężny:

Średni okres: 1,38 s

Średni I­_ośr = 0,0361kgm².

Błąd wartości średniej obliczamy ze wzoru:

gdzie

Suma ² : 0,0024 [s²]-pręt metalowy

Suma ² : 0,0010 [s²]-pręt mosiężny

Więc ostatecznie błąd wartości średniej okresu: S=± 0,0051 s- pręt metalowy

S=± 0,0032 s - pręt mosiężny

Następnie wartości m (błąd bezwzględny pomiaru wagi pręta) i a (błąd bezwzględny pomiaru przesunięcia od głównej osi obrotu (a) równają się odpowiednio: 0,001 kg i 0,001 m.

Wartość średnia okresu, waga pręta m i przesunięcie a jest równa odpowiednio
1,3200 s; 0,67 kg; 0,1 m.(pręt metalowy);1,388s ; 0,755kg ; 0,1m. (pręt mosiężny)

Podstawiając te wszystkie wartości do wzoru (1) otrzymujemy:

I_o/I_o =0,01276 czyli I­­_o= ±0,043 kgm² pr. metalowy

I_o/I_o =0,01113 czyli I­­_o= ±0,05 kgm² pr.mosiężny

Błąd względny obliczamy ze wzoru: i wynosi on

δ=3,26%-pręt metalowy

δ=3,6%-pręt mosiężny

Aby sprawdzić jaka jest wartość błędu tablicowego określonego wzorem (2) musieliśmy przekształcić obliczony moment bezwładności pręta względem osi przesuniętej od osi głównej o a na moment bezwładności względem osi głównej ze wzoru:. Obliczenia poszczególnych I_{s ­}znajdują się powyżej w tabelce. Średni I_sśr = 0,043 kgm²-pr. mosiężny ;

I_sśr = 0,04 kgm²-pr. metalowy

Błąd wartości I_s obliczamy z prawa przenoszenia błędów:

czyli po obliczeniu pochodnych: =± 0,043 kgm²-pręt metalowy

=± 0,05 kgm²-pręt mosiężny

Wartość momentu bezwładności wynikającą z teorii obliczamy ze wzoru : .Wynosi on około

I_T = 0,0357 kgm² pr. metalowy

I_T = 0,0396 kgm² pr.mosiężny

Błąd pomiaru masy m=0,001 kg, błąd pomiaru długości pręta l=0,001 m

Błąd momentu bezwładności I_T liczymy z prawa przenoszenia błedów i po policzenu pochodnych mamy:

=±0,0001kgm²-p.mosiężny

=±0,0001kgm²-p.metalowy

Procentowe odchylenie od wartości liczonej ze wzoru (2) wynosi 12,6% i 8,5%.

Zestawienie wyników

Momenty bezwładności dla obręczy:

obręcz metalowa I_sśr =0,0232 ± 0,0005 [kgm²] (*)

obręcz mosiężna I_sśr =0,0243 ± 0,0004 [kgm²] (*)

obręcz metalowa I_T = 0,0226 ± 0,0001 [kgm²] (**)

obręcz mosiężna I_T= 0,0191± 0,0001 [kgm²](**)

procentowe odchylenie od wart.obliczonej ze wzoru (2) wynosi

4,5%-obręcz metalowa 10%-obręcz mosięzna

Momenty bezwładności dla prętów:

I_sśr = 0,043 ± 0,05 [kgm²] pręt mosiężny (*)

I_sśr = 0,04 ± 0,043 [kgm²] pręt metalowy (*)

I_T = 0,0357 ± 0,0005 [kgm²] pierścień metalowy (**)

I_T = 0,0396± 0,0006 [kgm²] pierścieńmosiężny (**)

procentowe odchylenie od wartości obliczonej ze wzoru (2) wynosi

12,6%-pręt metalowy i 8,5%-pręt mosiężny

Wartości momentów bezwładności uzyskano za pomocą dwóch metod:

-(*) pomiaru okresu drgań wahadła fizycznego, a następnie obliczenia momentu z odpowiedniego wzoru

- (**)zmierzenia masy i wymiarów, a następnie obliczenia momentu ze wzoru.

Otrzymane wyniki są porównywalne dla pomiarów otrzymanych na oba sposoby, jednak pomiary wykonywane pierwszą metodą są obarczone dodatkowo błędem systematycznym wynikającym z tłumienia drgań.

---