Pola i obwody figur płaskich

Pole i obwód koła

Pole koła

P_o = π R²

Obwód okręgu (koła)

L = 2 π R

 R - promień okręgu

Pole trójkąta

P_∆ = ½ Podstawa ∙ wysokość

 

Patrz także Wzór Herona

Obwód trójkąta

O = a + b + c

a, b, c - długości boków trójkąta

Pole prostokąta

P_prostokąta = a ∙ b

Obwód prostokąta

O_prostokata = 2 (a + b)

Pole kwadratu

P_kwadratu = a²

 P_kwadratu = długość boku do kwadratu

Obwód kwadratu

O_kwadratu = 4 a 

Pole trapezu

 

P_trapezu = 1/2  ∙ suma podstaw trapezu  ∙ wysokość trapezu

Obwód trapezu

O_trapezu = a + b + c + d

a, b, c, d - długości boków

 

Pole równoległoboku

P_{równogłoboku} = a ∙ h

P_{równogłoboku} = podstawa ∙ wysokość

Obwód równoległoboku

O_{równoległoboku} = 2 (a + b)

a, b - długości boków równoległoboku

 

Pole rombu

P_rombu = e ∙ f / 2

Gdzie e, f  - dłuższa i krótsza przekątna rombu.

P_rombu = 1/2  ∙ iloczyn przekątnych

 

Obwód rombu

O_rombu = 4 a 

a - długość boku rombu

 

Objętość sześcianu

V_sześcianu = a³

Objętość prostopadłościanu (klocka)

V_{prostopadłościanu} = a · b · c

 
Objętość kuli (także sfery):

R - promień kuli

Objętość walca lub prostopadłościanu:

V = P_podstawy · h  
(h - wysokość,  P_podstawy  - pole podstawy)

Objętość stożka lub ostrosłupa:

V =  P_postawy · h  / 3   
  (h - wysokość,  P_podstawy  - pole podstawy)

Pole sześcianu

P_sześcianu = 6 a²

Pole prostopadłościanu (klocka)

P_{prostopadłościanu} = 2 · ( a · b  +  a · c +  b · c )

 
Pole kuli (także sfery):

P_kuli = 4 π R²

R - promień kuli

Pole walca:

P_walca = 2P_podstawy + P_boczne  

P =  2 π R² + 2 π R h

P =  2 π ( R² + R h)

(h - wysokość,  P_podstawy  - pole podstawy)

 

Pole stożka:

P =  P_postawy +  P_{powierzchni bocznej} 

P =  π R²  +   π R l

h - wysokość, 
r - promień podstawy
l - tworząca stożka

Wzory skróconego mnożenia:

(a + b)² = a² + 2·a·b + b²

(a - b)² = a² - 2·a·b + b²

(a + b) · (a - b) = a² - b²

(a + b)³ = a³ + 3a²b +3ab² +  b³

(a - b)³ = a³ - 3a²b +3ab² -  b³

Co to jest logarytm?

Jeżeli mamy zależność:

  a^b = c

to znając a oraz c, szukamy takiego b, które spełni nasze równanie. Zapisujemy to:

b = log_a c

  - odczytujemy jako "b równy jest logarytmowi z c przy podstawie a"

We wzorze a jest nazywane "podstawą logarytmu".
Logarytm jest funkcją odwrotną do podnoszenia do potęgi o zadanym wykładniku.

Podstawowe zależności (własności) logarytmów, wynikające z definicji.

log_m 1 = 0  logarytm z jedynki (przy dowolnej podstawie) równy jest zero.

log_m m = 1

Podstawa logarytmu

Logarytm może mieć dowolną podstawę różną od 1. Są jednak pewne szczególnie ważne w matematyce i technice podstawy logarytmu.

Logarytm dziesiętny

Podstawą logarytmu najczęściej jest liczba 10 (mówimy wtedy o logarytmie dziesiętnym). Zapisujemy go po prostu jako log c (bez wypisywania podstawy).

log₁₀ c = log c

logarytm naturalny

Innym ważnym logarytmem jest logarytm naturalny, którego podstawą jest liczba niewymierna oznaczana literą e. Wartość e przekracza nieco 2,7 (kto chce poznać więcej miejsc po przecinku niech otworzy sobie windowsowy kalkulator w widoku "naukowym" i wciśnie po kolei 1, "inv". "ln" - czyli wciskamy jedynkę, zaznaczamy pole "inv" oraz klikamy przycisk "ln").
Znaczenie logarytmu naturalnego ujawnia się przy posługiwaniu się rachunkiem różniczkowym i całkowym.

Logarytm naturalny oznaczamy (przynajmniej w Polsce, bo anglosasi miewają to inaczej) przez ln:

log_e b = ln b

Wzory z logarytmami

Definicja: 

b = log_a c  ,  jeśli:  a^b = c

logarytm iloczynu i ilorazu:

log_m a·b = log_m a + log_m b

logartym potęgi:

log_m a^b = b· log_m a

Oczywiście wzory powyższe obowiązują oczywiście w ich dziesiętnej i naturalnej odmianie np.:

log a·b = log a + log b,  
ln a·b = ln a + ln b , 
log a^b = b· log a,    
ln a^b = b· ln a itp.

Pierwiastki trójmianu kwadratowego

Równanie w postaci:

a·x² + bx + c = 0

Posiadać może rozwiązanie w liczbach rzeczywistych (w liczbach zespolonych posiada je zawsze), lub też może tego rozwiązania nie posiadać.

W celu znalezienia pierwiastków równania (jeśli istnieją) należy obliczyć wartość zwaną "deltą":

∆ = b² - 4ac

Jeśli delta jest większa, lub równa zeru (∆≥0), to mamy rozwiązanie(a) w liczbach rzeczywistych, dla trójmianu. Dane są one wzorami:

Ilość rozwiązań trójmianu

• gdy ∆ = b² - 4ac  > 0, wtedy równanie ma dwa różne rozwiązania, dane wzorami - jak wyżej.

• gdy ∆ = b² - 4ac  = 0, wtedy oba rozwiązania scalają się w jedno rozwiązanie:
  x = x₁ = x₂ = - b/2a.

• gdy ∆ < 0, wtedy rozwiązań w liczbach rzeczywistych nie ma 
  (istnieją rozwiązania zawierające jednostkę urojoną i ).

Wzory Viete'a

Wzory te podają wartości sum i iloczynów pierwiastków trójmianu kwadratowego:

 

silnia	n! = 1·2·3·4·...·(n-1)·n  Przykład: 5! = 1·2·3·4·5 = 120
Symbol Newtona	Przykład: Więcej informacji na ten temat znajduje się w rozdziale Symbol Newtona
Dwumian Newtona

Obliczenia kombinatoryczne
Wariacje z powtórzeniami k wyrazową wariacją z powtórzeniami ze n-elementowego zbioru (n > k) nazywamy każdy k wyrazowy ciąg elementów z tego zbioru. Przykład: Wariacją 3 elementową z 24 elementowego zbioru byłby każdy wyraz (sensowny, prawdziwy, lub nie) jaki daje się ułożyć z 24 liter podstawowych alfabetu. Wchodziłyby tu takie wyrazy jak ala, aaa, huk, bbu tip.	Ilość k wyrazowych wariacji z powtórzeniami równa jest:  n^k Przykład: Ilość wariacji (możliwych ułożeń wyrazów) dla przykładu z wyrazami liter alfabetu - jak obok wyniesie: 24^3 = 13 824.
Wariacje bez powtórzeń k wyrazową wariacją bez powtórzeń z n-elementowego zbioru (n > k) nazywamy każdy k wyrazowy ciąg elementów, którego wyrazy są różnymi elementami z tego zbioru. Przykład: Wariacją 3 elementową bez powtórzeń z 24 elementowego zbioru byłby każdy wyraz (sensowny, prawdziwy, lub nie) jaki daje się ułożyć z 24 liter wybranych z kompletu scrabble. W odróżnieniu od przykładu dla wariacji z powtórzeniami, tutaj nie da się w tym samym wyrazie użyć drugi raz tej samej litery.	Ilość k wyrazowych wariacji bez powtórzeń równa jest:   Przykład: Ilość możliwych ułożeń wyrazów 3 literowych z 24 liter scrabble jest równa: 24 · (24-1) · (24 -2)  =  24 · 23 · 22 = 12 144
Permutacje bez powtórzeń Permutacją bez powtórzeń n - elementowego zbioru nazywamy każdy ciąg (n - elementowy) zawierający wszystkie elementy z tego zbioru. Przykład: Permutacją 3 elementową bez powtórzeń byłoby każde ułożenie w wyraz 3 literek wyciągniętych z kompletu scrabble. Zakładamy, że literek tych nie da się wymieniać na inne.	Ilość permutacji bez powtórzeń wynosi    n! Przykład: Ilość możliwych ułożeń wyrazów z 3 liter scrabble jest równa: 3! = 1 · 2 ·  3 = 6
Kombinacje bez powtórzeń k elementową kombinacją bez powtórzeń zbioru A nazywamy:  każdy k elementowy podzbiór zbioru A. Przykład: Kombinacją 5 elementową bez powtórzeń ze zbioru 7 elementowego byłoby każde wylosowanie 5 literek wyciągniętych z woreczka scrabble zawierającego 7 (różnych) literek. Zakładamy, że nie interesuje nas kolejność losowania (czy tez ustawiania w ciąg) tych liter i dlatego wyciągnięcie "a" za pierwszym, drugim, czy innym razem jest traktowane jako to samo losowanie, o ile tylko pozostałe litery w wylosowanym zestawie będę też takie same.	Ilość k elementowych kombinacji zbioru zawierającego n elementów dana jest symbolem Newtona, czyli wynosi: Przykład: Ilość możliwych wyciągnięć (różnych) literek z woreczka scrabble zawierającego 7 kostek wynosi:

n - ty wyraz ciągu dany jest wzorem:

a_n = a₁ + (n - 1) r

r jest tu różnicą ciągu, czyli

r = a_n+1 - a_n

Suma wyrazów szeregu arytmetycznego

Suma n pierwszych wyrazów ciągu (a₁ + a₂ + a₃ +... + a_n):

lub

 

Ciąg geometryczny

W ciągu geometrycznym iloraz dowolnego wyrazu ( z wyjątkiem wyrazu pierwszego) i wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego jest stały. Wartość tego ilorazu nazywa się ilorazem ciągu geometrycznego.

Iloraz ciągu geometrycznego:

q = b_n+1 / b_n

 

Wyrażenie na wartość n-tego wyrazu ciągu:

b_n = b₁·q^n-1

 

Suma cząstkowa wyrazów ciągu geometrycznego

Suma n pierwszych wyrazów ciągu (b₁ + b₂ + b₃ +... + b_n):

 (i q jest różne od 1)

---