WYZNACZNIKI

Każdej macierzy KWADRATOWEJ przyporządkujemy LICZBĘ zwaną wyznacznikiem tej macierzy.

Umowa. O wyznaczniku macierzy wymiaru n x n mówimy, że jest to wyznacznik stopnia n.

Oznaczenia. Jeżeli macierz oznaczymy literą, np. A, to wyznacznik tej macierzy oznaczymy: det A (od słowa „determinant”).

Jeżeli macierz nie jest nazwana, ale zapisana jako tablica liczb np.
, to jej wyznacznik zapiszemy tak:

Wyznacznik stopnia 1 Jeżeli
, to

Wyznacznik stopnia 2

Jeżeli
, to

Przykład

Zadanie. Oblicz wyznaczniki:

Minor elementu wyznacznika

Minorem elementu
wyznacznika W nazywamy wyznacznik, który powstaje z wyznacznika W przez skreślenie w nim wiersza nr i oraz kolumny nr j.

Minor elementu
oznaczamy:

Przykład. Rozważmy wyznacznik

Liczba 2 to element
. Minor tego elementu

Liczba 3 to element
; minor tego elementu

itd.

Zadanie. Oblicz (dla powyższego wyznacznika)
oraz

Wyznacznik stopnia 3

Jeżeli
, to

Powyższy wzór nazywamy rozwinięciem wyznacznika według pierwszego wiersza.

Przykład.

Zadanie. Oblicz wyznaczniki:

Wyznacznik dowolnego stopnia

Jeżeli
, to

W powyższym wzorze znaki układają się na przemian:

Przykład.

Zadanie. Oblicz wyznacznik:

Rozwinięcie wyznacznika według dowolnego wiersza

Wyznacznik możemy rozwijać według dowolnego wiersza a także według dowolnej kolumny, z tym, że:

- jeżeli numer wiersza lub kolumny jest nieparzysty, to znaki we wzorze na rozwinięcie występują w kolejności:

- jeżeli numer wiersza lub kolumny jest parzysty, to znaki we wzorze na rozwinięcie występują w kolejności:

Przykład. Obliczymy wyznacznik:

Najkorzystniej będzie rozwinąć go według kolumny nr 4, gdyż zawiera ona najwięcej zer:

={skorzystamy z kolumny nr 3}=

Zadanie. Kilkoma sposobami oblicz wyznacznik:

Twierdzenia o wyznacznikach

1. Jeżeli w wyznaczniku istnieje wiersz lub kolumna samych zer, to ten wyznacznik jest równy zero.

2. Jeżeli w wyznaczniku istnieją dwa identyczne wiersze lub dwie identyczne kolumny, to ten wyznacznik jest równy zero.

3. Jeżeli w wyznaczniku pod przekątną główną lub nad przekątną główną znajdują się same zera, to ten wyznacznik jest równy iloczynowi wyrazów z głównej przekątnej, np.

4. Jeżeli w wyznaczniku zamienimy miejscami dwa wiersze lub dwie kolumny, to wartość wyznacznika zmieni się na przeciwną np.

5. Jeżeli wyznacznik ma wartość p i jeden wiersz lub jedną kolumnę tego wyznacznika pomnożymy przez liczbę k, to otrzymany wyznacznik ma wartość k∙p

6. Jeżeli w wyznaczniku do wiersza dodamy inny wiersz pomnożony przez liczbę, to wartość wyznacznika nie zmieni się. To samo dotyczy kolumn.

Własność 6 jest przydatna przy obliczaniu wartości wyznaczników, w których jest mało zer.

Przykład. Obliczmy

Wykonamy następujące operacje:

- wiersz nr 1 (w1) bez zmian,

-

-

-

=

Zadanie. Oblicz wyznaczniki: