MIARY

	Położenia	Zróżnicowania	Asymetrii	Koncentracji
Analiza klasyczna	średnia arytmetyczna- , harmoniczna- , geometryczna	odchylenia: standardowe- Sx, przeciętne- Dx; współczynnik zmienności- Vx	współczynnik asymetrii- Ax	współczynnik skupienia (kurtoza)- K
Analiza pozycyjna	dominanta- Do; kwantyle: kwartyle- Q1, Q2 (Me), Q3, decyle	rozstęp- R; odchylenie ćwiartkowe- SQ; współczynnik zmienności- VQ	wskaźnik, współczynnik. skośności wg. Jule'a Candalla- AQ	---
Miara połączona-			wskaźnik, współczynnik asymetrii Pearsona- AS lub AD

WZORY:

Szereg wyliczający:

,
,
,
; Sx²=
,

Dx=
; Vx=
lub Vx=
;

Ax=
,
; K=
,

; S²=S_M²+S_W²;
;

Q₁=
, Q₃=
; R=x_max-x_min; S_Q=
; V_Q=
A_Q=
; A_S=
lub A_D=

Szereg rozdzielczy punktowy:

,
,
,

Sx²=
, Dx=
;

;

;
;

Pozostałe wzory (oprócz kwartyli) bez zmian

Szereg rozdzielczy przedziałowy:

,
,
,
;

Sx²=
, Dx=
;

;

Do=
lub Do=
(przedziały równej długości)

Q₁=x₀+
, Q₂=x₀+
, Q₃=x₀+
,

Pozostałe wzory bez zmian

Oznaczenia:

• x_i- wartość i-tej obserwacji

• i=1,2 3….N; numery porządkowe obserwacji

• N- liczebność próby, w szeregach rozdzielczych N=Σn_i

• x_max- największa wartość obserwacji

• x_min- najmniejsza wartość obserwacji

• n_i- liczba wystąpień i-tej wartości

• ∆_i- długość i-tego przedziału

• 
  - średnia dla kilku grup

• j- numer grupy

• n_j- liczebność j-tej grupy

• 
  _j- średnia w j-tej grupie

• S_j- odchylenie w j-tej grupie

• S_M²- wariancja międzygrupowa

• S_W²- wariancja wewnątrzgrupowa

• n_icum liczebność skumulowana dla i-tego przedziału

• ρ_i- gęstość i-tego przedziału
  

• ∆₀- długość przedziału, do którego należy badana miara

• x₀- początek przedziału do którego należy badana miara

• n₀- liczebność w przedziale, do którego należy badana miara

• n_--liczebność w przedziale poprzednim do przedziału, do którego należy badana miara

• n₊- liczebność w przedziale następującym po przedziale, do którego należy badana miara

• ρ₀- gęstość w przedziale, do którego należy badana miara

• ρ_-- gęstość w przedziale poprzednim do przedziału, do którego należy badana miara

• ρ₊- gęstość w przedziale następującym po przedziale, do którego należy badana miara

• n_cum_- liczebność skumulowana dla przedziału poprzedzającego przedział, w którym jest dany kwartyl

UWAGI:

• średnie: arytmetyczną i harmoniczną można stosować dla tych samych zjawisk; ich zastosowanie zależy od zadanych jednostek

• z średniej geometrycznej korzysta się przy obliczaniu średniego tempa zmiany zjawisk (analiza dynamiki)

• zmienność badanej próby uważa się za dużą gdy Vx(V_Q)>10%

• dominanta w szeregach wyliczających i rozdzielczych punktowych jest odczytywana jako wartość pojawiająca się w badanej próbie najczęściej (przy max n_i); w szeregach rozdzielczych przedziałowych n₀=max n_i wskazuje przedział, do którego ona należy

• dla rozkładów wielomodalnych lub skrajnych przyjęte jest nie wyznaczać dominanty

• dominanta charakteryzuje tylko wartości typowe: x_typЄ(
  -Sx;
  +Sx); x_typЄ(Me-S_Q; Me+S_Q)

• w szeregach wyliczających w przypadku gdy ¼ (¾)N są ułamkami pozycję kwartyla zaokrągla się zawsze do góry

• w szeregach rozdzielczych punktowych kwartyle to pierwsze wartości x_i dla których n_icum≥ odpowiednio ¼N, ½N, ¾N, gdy ½N=n_icum mediana jest (podobnie jak w szeregu wyliczającym) średnią arytmetyczną wartości x_i oraz x_i+1; w szeregach rozdzielczych przedziałowych powyższe postępowanie pozwala znaleźć przedział do którego należy dany kwartyl

• wskaźnik skośności jest mianownikiem współczynnika asymetrii Jule'a Candalla albo Pearsona; (<0 oznacza asymetrię lewostronną, >0 prawostronną)

• asymetria może być słaba (umiarkowana) gdy |Ax(A_S, A_D, A_Q)|<0,8(1), lub silna (skrajna) gdy |Ax(A_S, A_D, A_Q)|>0,8(1)

• współczynnik asymetrii równy 0 oznacza rozkład symetryczny dl którego:
  =Do=Me

• rozkład uznaje się za spłaszczony bardziej od normalnego gdy K<3, za bardziej wysmukły gdy K>3. Dla K=3 rozkład ma ten sam stopień spłaszczenia co rozkład normalny

• w szeregach rozdzielczych przedziałowych, w których występują przedziały otwarte (pierwszy lub ostatni) dopuszcza się ich domknięcie poprzez przyjęcie długości przedziałów sąsiednich w sytuacji gdy liczebność w tych przedziałach (lub przedziale) stanowi mniej niż 5%, ale więcej niż 1% całkowitej liczebności próby: 1%≤P=
  

• w sytuacji gdy wartość wskaźnika P nie przekracza 1% (P<1%) przedziałów otwartych nie bierze się pod uwagę w przeprowadzanej analizie

• w sytuacji występowania przedziałów niedomkniętych nie można przeprowadzić analizy klasycznej, wyznacza się wtedy przybliżone miary
  i Sx korzystając ze wzorów:

• (
  -Do)≈3(
  -Me); 2S_X≈3S_Q

• w szeregach rozdzielczych zamiennie do n_i można posłużyć się we wzorach (wykresach) częstością (w_i) wyznaczaną ze wzoru: w_i=
  ; W= Σw_i

- 3 -

gdy N jest nieparzyste

gdy N jest parzyste

---