NR ĆW. 101		DATA 95.02.27		WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY	SEMESTR 2	GRUPA E-6
PROWADZĄCY			PRZYGOTOWAŁ	WYKONANIE	OCENA OSTATECZNA

TEMAT :

WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA MATEMATYCZNEGO I REWERSYJNEGO

Wahadło matematyczne - punkt materialny zawieszony na nieważkiej nici. Cała masa jest skupiona w jednym punkcie. Jeżeli przyjmiemy, że długość wahadła jest równa , to okres drgań wahadła matematycznego wyraża się wzorem:

gdzie oznacza przyspieszenie ziemskie.

Wahadło fizyczne - każde ciało sztywne mogące się wahać wokół osi poziomej. Po wychyleniu z położenia równowagi na ciało działa moment siły ciężkości : . Stosując do tej sytuacji II zasadę dynamiki Newtona otrzymujemy równanie:

gdzie: oznacza moment bezwładności ciała względem punktu zawieszenia, - kąt wychylenia od położenia równowagi, - odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości wahadła. Ujemna wartość wyrażenia wskazuje, że moment siły dąży do zmniejszenia wychylenia ciała od punktu równowagi.

Podstawową własnością ruchu harmonicznego jest proporcjonalność przyspieszenia do wychylenia. Biorąc pod uwagę powyższy wzór wynika, że w ogólnym przypadku ruch wahadła nie jest ruchem harmonicznym. Z równania wynika, że przyspieszenie kątowe jest proporcjonalne do sinusa kąta wychylenia, a nie do samego kąta. Jeżeli ograniczymy się do małych wychyleń, to równanie możemy zapisać w postaci:

Porównując to z ogólnym równaniem ruchu harmonicznego otrzymujemy:

, gdzie - prędkość kątowa.

Z przyrównania powyższych dwóch wzorów, otrzymujemy wzór na okres drgań wahadła fizycznego:

, - moment kierujący

Wahadło matematyczne i fizyczne wykonują ruch drgający pod wpływem działania siły ciężkości. W zakresie niedużych amplitud jest to ruch harmoniczny.

Mając dane wahadło matematyczne i fizyczne możemy dobrać długość pierwszego, aby okresy drgań obu wahadeł były równe. W ten sposób otrzymujemy długość zredukowaną wahadła fizycznego. Jest ona równa długości posiadającego taki sam okres wahadła matematycznego.

Porównując ze sobą wzory na okres T obu wahadeł otrzymujemy zależność:

Jeżeli znamy długość zredukowaną wahadła fizycznego, wtedy jego okres drgań możemy znaleźć z równania:

.

Do wyznaczenia długości zredukowanej wykorzystujemy własność wahadła fizycznego: Wahadło zawieszone w punkcie A, a następnie w punkcie B posiada taki sam okres, jeżeli odległość między punktami zawieszenia jest długością zredukowaną. Aby dowieść słuszności twierdzenia wystarczy wyznaczyć warunki równości okresów i dla dowolnej odległości między punktami A i B.

,

Z twierdzenia Steiner'a momenty i możemy zastąpić następującymi wyrażeniami:

Uwzględniając powyższe podstawienie uzyskujemy poprzednią równość w postaci:

Jest to równanie kwadratowe, którego rozwiązaniem jest:

Wartość odpowiada przypadkowi, gdy punkty zawieszenia są symetryczne względem środka ciężkości, natomiast jest długością zredukowaną. Jest to dowód na to, że okresy wahadła zawieszonego w różnych punktach są równe, jeżeli odległość między tymi punktami jest długością zredukowaną.

Specjalną postacią wahadła fizycznego ułatwiającą wyznaczenie długości zredukowanej, jest wahadło rewersyjne lub odwracalne. Na długim pręcie znajdują się dwa ciężarki, które mogą być przesuwane wzdłuż pręta. Osi obrotu A i B znajdują się przy przeciwnych końcach pręta. Przyspieszenie ziemskie można zatem obliczyć po wyznaczeniu długości zredukowanej wahadła:

Część I : Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego

wartości mierzone:

- długość wahadła

- czas 10 okresów

dokładność pomiaru:

= 1 [mm]

= 0,001 [s]

długość [mm]	czas [s]	czas 1 T [s]
480 440 300	13,850 13,237 10,930	1,3850 1,3237 1,0930

Błedy pomiaru:

CZĘŚĆ II : Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego.

wartości mierzone:

- odległość ciężarka od punktu zamocowania wahadła

- czas 10 okresów

dokładność pomiaru:

= 1 [cm]

= 0,0001 [s]

[cm]	czas T dla A [s]	czas T dla B [s]
15	2,0091	1,9812
18	1,9985	1,9603
21	1,9878	1,9395
24	1,9783	1,9194
27	1,9684	1,8988
30	1,9594	1,8791
33	1,9513	1,8606
36	1,9432	1,8402
39	1,9360	1,8232
42	1,9293	1,8069
45	1,9210	1,7900
48	1,9151	1,7746
51	1,9114	1,7622
54	1,9078	1,7509
57	1,9054	1,7414
60	1,9038	1,7339
63	1,9026	1,7280
66	1,9026	1,7265
69	1,9036	1,7276
72	1,9064	1,7320
75	1,9098	1,7419
78	1,9141	1,7569
81	1,9202	1,7779
84	1,9295	1,8188
87	1,9359	1,8580
90	1,9454	1,9041
93	1,9569	1,9729
96	1,9696	2,0454
99	1,9832	2,1324

Błędy pomiaru:

WNIOSKI:

Wyznaczenie przyspieszenia g za pomocą wahadła matematycznego i fizycznego dało pozytywne wyniki. Słuszność teoretycznego rozważania, w części wstępnej została wykazana w praktyce. Z uwagi na małą liczbę zmiennych daje się w prosty sposób oszacować przyspieszenie g. Z uwagi na wysoką dokładność pomiaru czasu wynik w bardzo niskim zakresie oscyluje wokół wartości wzorcowej. W przypadku wyznaczania HP LaserJet 4L Dx


ü˙
€É“”3
˙


,

 €
ƒƒ€€ƒƒ
y z { | ĐÔ

---