Filtr Kalmana

Filtr Kalmana możemy używać do nieliniowych systemów i dyskretnego modelu stanu. Filtracja Kalmana jest skuteczna dla wyznaczenia oceny parametrów modelu, z powodu dwoistości, jest również podobny do charakterystyki problemu LQR.

model liniowego nieustalonego procesu możemy matematycznie przedstawić jako:

gdzie ω(t) oznacza zmienną losową, wartość oczekiwaną zmiennej losowej wynosi:

gdzie ε(t) jest operatorem wartości oczekiwanej:

gdzie cov jest operatorem kowariancji

gdzie operator wartości oczekiwanej możemy zdefiniować jako:

gdzie f(ω)jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa. Kowariancja jest natomiast definiowana jako:

dla skalarnej zmiennej losowej ω, funkcja gęstości prawdopodobieństwa według rozkładu Gaussa wynosi:

gdzie: σ² - wariancją rozkładu,

pierwiastek kwadratowy σ² wynosi σ i jest nazywany standardowym odchyleniem,
- średnia wartością i jest wartością oczekiwana rozkładu normalnego. Wykres rozkładu normalnego jest przedstawiony poniżej

Rysunek ten przedstawia kształt rozkładu a także wartość średnią i odchylenie standardowe

Rys. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa Gaussa.

Dla zmiennych wektorowych rozkład Gaussa wyraża się wzorem:

gdzie:

- wartość średnia określona wzorem

V - kowariancja macierzy określona wzorem

Warunki początkowe procesu są następujące:

liniowy pomiar systemu jest modelowany następujący:

gdzie υ(t) jest szumem losowym:

dla którego przyjmuje się taki rozkład normalny że

Jest kilka sposobów jak można użyć modelu probablistycznego i systemu pomiarowego. Te sposoby to: wygładzanie, filtrowanie i predykcja. Wygładzanie polega na użyciu danych przed i po czasie t₁ do zapewnienia estymaty stanu dla czasu t₁. Jest to proces niesekwencyjny i jest przedstawiony na rys:

Filtrowanie jest estymatą stanu dla czasu t₁ wówczas gdy użyte są wszystkie dane aż do czasu t₁. Jest to proces sekwencyjny przedstawiony na rys:

Predykcja jest uzyskiwaniem estymat stanu dla czasu t₂ na podstawie danych do czasu t₁ gdzie t₁ jest mniejsze od t₂.

Kalman rozważał uzyskanie optymalnej estymaty stanu procesu liniowego opisanego równaniem:

gdzie:

a warunki początkowe wynoszą:

gdzie:

Wówczas model pomiarowy określony jest następująco:

gdzie:

Chcemy znaleźć optymalną estymatę stanu, która minimalizuje funkcjonał:

używając odwrócenia macierzy kowariancji w funkcjonale uzyskujemy bardziej dokładne stany i pomiary w procesie optymalizacji. Ten problem może być także sformułowany jako problem optymalnego sterowania przez zdefiniowanie wektora sterowania jako:

po przekształceniu równanie stanu wynosi:

a funkcjonał wynosi:

Hamiltonian dla tego problemu wynosi:

a warunki konieczne dla zminimalizowania funkcjonału jakości są następujące:

gdy x(0) jest równe zero otrzymamy

po przekształceniu:

lub

stan końcowy jest także wolny, co prowadzi do:

wówczas optymalne sterowanie wynosi:

Weźmy pod uwagę zagadnienie filtracji, które określa optymalne estymaty dla czasu końcowego na podstawie znajomości danych aż do czasu końcowego. Oznaczmy optymalne estymaty dla czasu t_k i dla danych y(t) do czasu t_k wyznaczoną przy pomocy filtracji jako :

Wprowadzając transformację Riccatiego

chcemy określić funkcje z(t) i P(t), które są konsekwencją warunków koniecznych dla optymalizacji. Optymalna estymaty są określone przez model stanu i sterowanie optymalne jako:

Używając transformacji Riccatiego do oceny zarówno
otrzymamy:

albo korzystając z równania * otrzymamy:

Przenosząc wszystkie z na lewą stronę równania i λ na prawą stronę otrzymamy:

Zależność ta jest prawdziwa ⇔ gdy obie strony równania 10.2.28 są równe zero. Prowadzi to do następującej zależności:

na podstawie początkowych warunków transwersalności równania 10.2.19 i transformacji Riccatiego otrzymamy:

Oba warunki są dla czasu początkowego, dlatego powyższe równania są integralne w każdej następnej chwili czasu. Dla problemu filtracji próbujemy wyznaczyć

Jest to ostatni najmniejszy kwadratowa estymata dla czasu t_k oparta na wszystkich danych aż do czasu t_k . Końcowy warunek transwersalności jest następujący:

co oznacza że, na podstawie transformacji Riccatiego otrzymuje się:

Dlatego dla filtracji otrzymujemy:

przy warunkach początkowych:

Równania 10.2.35 10.2.36 znane są jako filtr Kalmana, i zostały sformułowane po raz pierwszy przez Kalmana i Bucy'ego w 1961 roku.

Wzmocnienie filtra definiuje się jako:

Dla stanu końcowego równanie 10.2.36 przedstawia stan ustalony, więc wzmocnienie filtra dla stanu ustalonego wynosi:

a optymalne estymaty stanu są następujące:

Filtr Kalmana posiada kilka ważnych własności:

1. Odchylenie estymaty stanu.

Błąd estymaty stanu definiujemy jako:

Oczekiwaną wartość błędu definiuje się jako:

kowariancję błędu definiujemy jako:

dlatego macierz P(t) jest kowariancją bieżącego błędu i jest nazywana wariacją minimalnego błędu.

Wariancja
- charakteryzuje rozrzut wartości zmiennej losowej X wokół wartości średniej E(X). Niech X = (X₁, X₂, ... , X_n) zmienna losowa wielowymiarowa (weźmy dla prostoty r = 2) niech także:

gdyby tak nie było możemy zmienną scentrować
czyli odjąć od niej wartość średnią.

Macierz kowariancji definiujemy:

przy założeniu scentrowania mamy: