Konspekt wykładu A. Jóźwikowska

FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ

Niech X, Y będą podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych R.

Pojęcia podstawowe, przypomnienie

Jeżeli każdej liczbie
została przyporządkowana dokładnie jedna liczba
, to mówimy, że została określona funkcja przekształcająca zbiór X w zbiór Y. Piszemy
,

Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy D_f.

Zbiór

(wszystkich wartości jakie przyjmuje funkcja w swej dziedzinie) nazywamy zbiorem wartości funkcji f lub przeciwdziedziną i oznaczamy f(X).

Jeżeli
to mówimy, że funkcja f odwzorowuje zbiór X na Y
.

Zbiór
nazywamy wykresem funkcji f.

WŁASNOŚCI FUNKCJI

Niech

Funkcję f nazywamy:

Rosnącą [malejącą] w zbiorze A wtedy tylko wtedy, gdy

Niemalejącą [nierosnącą] w zbiorze A wtedy tylko wtedy, gdy

Ograniczoną w zbiorze A wtedy tylko wtedy, gdy

Różnowartościową w zbiorze A wtedy tylko wtedy, gdy

Powyższy warunek można zapisać w postaci

Parzystą wtedy tylko wtedy, gdy

Nieparzystą wtedy tylko wtedy, gdy

Okresową wtedy tylko wtedy, gdy

FUNKCJA ZŁOŻONA

Niech dane będą dwie funkcje
oraz
.

definicja

Funkcję
taką, że

nazywamy funkcją złożoną z funkcji h i g lub superpozycją funkcji h i g i oznaczamy symbolem
.

Funkcję h nazywamy funkcją wewnętrzną, g funkcją zewnętrzną.

FUNKCJA ODWROTNA

Niech f będzie funkcją różnowartościową przekształcającą zbiór X na zbiór Y
. Mówimy wówczas, że f jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym (bijekcją) zbioru X na zbór Y.

definicja

Funkcję

określoną następująco

nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f.

Zachodzi równość

Funkcje f i
nazywamy wzajemnie odwrotnymi.

Wykresy funkcji wzajemnie odwrotnych umieszczone w układzie XOY są symetryczne względem prostej
.

Uwaga: Należy odróżnić pojęcie funkcji odwrotnej od odwrotności funkcji, gdzie przez odwrotność funkcji f rozumiemy funkcję
.

Funkcje cyklometryczne (kołowe)

Definicje

Funkcję odwrotną do zawężenia funkcji sinus do przedziału
nazywamy arcussinus i oznaczamy arcsin.

,

Funkcję odwrotną do zawężenia funkcji cosinus do przedziału
nazywamy arcuscosinus i oznaczamy arccos.

Funkcję odwrotną do zawężenia funkcji tangens do przedziału
nazywamy arcustangens i oznaczamy arctg.

Funkcję odwrotną do zawężenia funkcji cotangens do przedziału
nazywamy arcuscotangens i oznaczamy arcctg.

2