Wzory Cramera

Układ równań liniowych (URL)

Układ m równań liniowych z n niewiadomymi jest to układ postaci:

w którym
oraz
to liczby dane, zaś
- niewiadome.

Liczby
nazywamy współczynnikami, zaś liczby
nazywamy wyrazami wolnymi.

Każdemu URL przyporządkujemy 3 macierze:

,

A - macierz współczynników,

B - macierz wyrazów wolnych

C - macierz rozszerzona

Przykład

Powyższy układ jest układem dwóch równań liniowych z czterema niewiadomymi. Macierze:

,
,

Klasyfikacja URL ze względu na liczbę rozwiązań

URL nazywamy:

oznaczonym, gdy ma dokładnie jedno rozwiązanie,

nieoznaczonym, gdy ma nieskończenie wiele rozwiązań,

sprzecznym, gdy nie ma rozwiązań.

Innych możliwości nie ma tzn. każdy URL jest albo oznaczony albo nieoznaczony albo sprzeczny.

W przypadku, gdy liczba równań jest równa liczbie niewiadomych mamy:
. Wtedy macierz A jest kwadratowa. Jej wyznacznik nazywamy wyznacznikiem głównym URL. Będziemy go oznaczać literą W.

Twierdzenie Cramera

Układ n równań liniowych z n niewiadomymi jest układem oznaczonym wtedy i tylko wtedy gdy jego wyznacznik główny W jest różny od zera. Wtedy jego rozwiązanie wyraża się wzorami Cramera:

gdzie
jest wyznacznikiem otrzymanym z wyznacznika W przez zastąpienie w nim kolumny nr k kolumną wyrazów wolnych.

Przykład. Rozwiążemy układ równań:

Obliczamy:

, zatem układ jest oznaczony.

Stosujemy wzory Cramera:

Uwaga. Jeżeli
, to układ jest albo sprzeczny albo nieoznaczony.

Zadanie. Metodą Cramera rozwiąż układ równań: