Funkcja liniowa - gimnazjum, Matematyka


Referat z dydaktyki matematyki

Temat: Funkcja liniowa-gimnazjum.

Temat opracowałam na podstawie podręczników: matematyka z +, matematyka krok po kroku oraz matematyka dla gimnazjalistów.

W Matematyce z + temat jest wprowadzony dopiero w klasie trzeciej w dziale funkcje, po tematach „odczytywanie wykresów „, oraz ”pojęcie funkcji. Zależności funkcyjne”. Przy wprowadzaniu tematu uczeń powinien znać i rozumieć:

Autorzy pojęcie funkcji liniowej proponują wprowadzić za pomocą ćwiczeń

Ćwiczenie1

Zaznacz w układzie współrzędnych punkty wykresu funkcji y=1/2 x+1, odpowiadające argumentom x=2, x=-2,x=1, x=-1, x=0, x=3.

Po czym zwracają uwagę, że punkty są współliniowe. A jeśli poprowadzimy prostą przechodzącą przez te punkty, to otrzymamy wykres funkcji y=1/2 x+1 określonej na całym zbiorze liczb rzeczywistych. następnie przedstawiają przykłady wykresów różnych funkcji liniowych. Po analizie podanych przykładów uczeń czyta informację, że funkcję określoną wzorem y=ax+b, gdzie a, b są współczynnikami liczbowymi nazywamy funkcją liniową. Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. wykresem każdej funkcji liniowej jest prosta. Aby narysować tę prostą, wystarczy znaleźć dwa dowolne jej punkty(co w przykładzie autorzy podręcznika ilustrują)

Przykład: narysuj funkcję y= -2x-1

Rozwiązanie:

Znajdujemy dwa punkty należące do wykresu tej funkcji. I tak, jeśli x=0, to y=-1. A jeśli x=1, to
y=-3. Następnie zaznaczamy znalezione punkty w układzie współrzędnym i rysujemu prostą przechodzącą przez te punkty.

Również jest pokazane jak sprawdzać czy dany punkt należ do wykresu funkcji.

Przykład sprawdź czy punkty A=(3,-1) i B=(-6,-5) należą do wykresu funkcji liniowej y=2/3x-1.

Pokazane jest, że pierw dla argumentu x=3, y=2/3*3-1=1, co różni się od drugiej współrzędnej punktu A, zatem ten punkt nie należy do wykresu funkcji. Analogicznie sprawdzamy punkt B(który należy do wykresu).

Kolejny przykład ilustruje nam w jaki sposób szukamy argumentu dla danej wartości, a mianowicie dla jakiego argumentu funkcja y=2/3x-1 przyjmuję wartość 5.

Rozwiązanie: y=5, a zatem 2/3x-1=5, stąd x=9

Kolejnym problemem poruszonym w tym programie jest graficzna ilustracja układów równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. Pokazane zostało w jaki sposób można rozwiązywać układy równań za pomocą funkcji liniowych.(tzw metodę graficzną). A mianowicie: zwrócono uwagę, że jeśli mamy układ równań, to tworzą go dwie funkcję liniowe. Jeśli teraz narysujemy ich wykresy w jednym układzie współrzędnych, to otrzymamy rozwiązanie w postaci:

Zwrócono uwagę, że metoda graficzna rozwiązywania układów równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest mało skuteczna, gdyż nie zawsze możemy odczytać bezbłędnie z wykresu punkt przecięcia.

Kolejnym zagadnieniem, które jest poruszone, to podstawowe własności funkcji liniowej. Omówiono je w trzech tematach: „wartości dodatnie i ujemne funkcji liniowej”, „o czym mówią współczynniki funkcji liniowej?” oraz „wyznaczanie wzoru funkcji liniowej”.
Z temacie „wartości dodatnie i ujemne funkcji liniowej” możemy się dowiedzieć, że aby ustalić jakiego znaku są wartości funkcji, trzeba:

W temacie „ o czym mówią nam współczynniki funkcji liniowej?” mamy dokładnie omówione własności współczynnika kierunkowego oraz wyrazu wolnego. Również po raz pierwszyy uczeń spotyka się z pojęciami funkcji rosnącej, funkcji malejącej i funkcji stałej.
W przykładzie rozważamy funkcję y=1/2x-1 oraz y=-1/2x-1. Najpierw tworzymy tabelki dla podanych funkcji, gdzie argumentami są kolejne liczby naturalne.

Y=1/2x-1

x

0

1

2

3

4

5

6

y

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

Y=-1/2x-1

x

0

1

2

3

4

5

6

y

-1

-1,5

-2

-2,5

-3

-3,5

-4

Wnioski:
w przypadku pierwszej funkcji dla coraz większych argumentów funkcja przyjmuje coraz większe wartości. Natomiast w drugim przypadku- coraz mniejsze wartości. O takiej funkcji jak pierwsza mówimy, że jest rosnąca, a o takiej jak druga, że jest malejąca.

Właściwie pojęcie funkcji rosnącej(malejącej) autorzy opierają na znaku a. Informują, że:

Następnie dopiero definiują liczbę a, jako współczynnik kierunkowy funkcji liniowej. Również możemy się dowiedzieć, że wykresy funkcji liniowych y=ax+b o takim samym współczynniku a są prostymi równoległymi. (Ogólnie sposób nie podoba mi się, autorzy nie definiują poprawnie monotoniczności funkcji, tylko pokazują sposób w jaki można ją określić w przypadku tylko funkcji liniowej. Właściwie uczeń w dalszym ciągu nie wie co to znaczy funkcja rosnąca, funkcja malejąca czy funkcja stała. Co prawda jest zamieszczona informacja, że funkcję , dla których wraz ze wzrostem argumentów wzrastają wartości nazywamy funkcją rosnącą i analogicznie dla funkcji malejącej, ale zostało to mało wyeksponowane a tym samym dla ucznia mało ważne:)). Następnie możemy przeczytać bardzo istotny fakt, że wykres funkcji liniowej przecina oś y w punkcie o współrzędnych (0,b).

W kolejnym temacie uczymy się jak wyznaczyć wzór funkcji liniowej. Lekcję rozpoczynamy dwoma przykładami.
przykład 1.
Podaj wzór funkcji liniowej, której wykres przecina oś y w punkcie (0,4) i przechodzi przez punkt A=(2,1).

Rozwiązanie zadana sprowadza się do rozwiązania zwykłego układu równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, i tak wystarczy podstawić współgrze punktów do wzoru funkcji:

4=0a+b, a stąd b=4
1=2a+b, podstawiamy b=4 z pierwszej równości, czyli 1=2a+4, stąd a=-3/2
Szukany wzór ma postać: y-3/2x+4

Przykład 2:
Podaj wzór funkcji , której wykresem jest prosta równoległa do wykresu funkcji y=3x-1 i przechodząca przez punkt A=(-1,2).
Korzystamy z warunku na równoległość dwóch wykresów funkcji liniowej, a mianowicie dwa wykresy funkcji są równoległe jeśli mają taki sam współczynnik kierunkowy. Zatem szukany wzór funkcji ma postać y=3x+b, wyraz wolny wyznaczamy z równania otrzymanego po podstawieniu współrzędnych punktu A do naszego wzoru: 2=-3+b,stąd b=5. I tak nasza funkcja ma postać y=3x+5. Poczym uczniowie rozwiązują zadania.

Matematyka dla gimnazjalistów, autorstwa: K. Kłaczkow, M. Kurczab, E. Świda.

W tym programie pojęcie funkcji liniowej jest wprowadzane jako tako w klasie drugiej, a mianowicie już w klasie pierwszej uczeń spotyka się z określeniem funkcja oraz poznaje definicję i wszystkie jej własności: miejsca zerowe funkcji, monotoniczność, różnowartościowość, oraz różne sposoby opisywania funkcji. Natomiast w klasie drugiej uczeń dowiaduje się, że funkcję w postaci y=ax+b nazywamy funkcją liniową oraz poznaje jej własności. Definicja jest podobna jak w matematyce z+. co mi się bardzo spodobało, a czego mi zabrakło w poprzednim podręczniku, a mianowicie to, że autorzy od razu nazwali „a”- jako współczynnik kierunkowy funkcji, „b”- wyraz wolny. Następnie pokazali zależności pomiędzy współczynnikiem kierunkowym i wyrazem wolnym a wykresem funkcji.