Badanie związku między dwiema cechami typu ilościowego.

A. Regresja liniowa. Współczynnik korelacji Pearsona.

B. t-test dla prób powiązanych .

Przykład 3.

Celem zbadania związku między wagą ciała i wzrostem wylosowano próbę nastolatków o liczebności 20 osób. Uzyskano następujące pary danych:

waga wzrost

1	47	161
2	48	167
3	52	171
4	69	177
5	45	162
6	52	170
7	70	180
8	58	178
9	66	168
10	60	171
11	65	172
12	56	175
13	49	155
14	40	160
15	57	172
16	75	170
17	58	164
18	65	163
19	74	164
20	72	183

Pytanie: Czy istnieje związek między wagą ciała i wzrostem u nastolatków?

Zweryfikować hipotezę o braku związku liniowego między

wagą ciała i wzrostem ?

Hipoteza zerowa:

1. Współczynnik korelacji (populacyjny) pomiędzy wagą ciała i wzrostem ρ=0.

2. Brak jest związku (korelacji, zależności) między wagą ciała i wzrostem.

H₀: ρ=0

H₁: ρ≠0 ( ρ>0 lub ρ<0 )

t =

gdzie
- współczynnik korelacji (próbkowy) i liczebność grupy.

Przy prawdziwości hipotezy zerowej funkcja (statystyka) t posiada rozkład

t-Studenta z k-2 stopniami swobody. Wartością krytyczną na poziomie istotności α=0,05 w tym rozkładzie jest wartość t_kr (np. t_kr = 1.98 dla 120 stopni swobody, t_kr = 2.0 dla 60 stopni swobody, t_kr = 2.09 dla 20 stopni swobody).

funkcja gęstości rozkładu t-Studenta

obszar przyjęcia H₀

częstość

obszar odrzucenia H₀ (zakreskowany)

-t_kr 0 t_kr wartości t

Weryfikacja hipotezy zerowej:

1. jeśli t > t_kr lub t< -t_kr to H₀ odrzucona (jeśli -t_kr ≤ t ≤ t_kr to nie ma podstaw do odrzucenia H₀ , H₀ przyjęta),

2. jeśli p<0,05 to H₀ odrzucona (jeśli p≥0,05 to nie ma podstaw do odrzucenia H₀ , H₀ przyjęta).

Wnioski:

1. jeśli H₀ przyjęta (ozn. NS - non significant):

• współczynnik korelacji
  statystycznie równa się 0, tzn. ρ=0,

• brak jest korelacji (związku liniowego) między badanymi cechami,

jeśli H₀ odrzucona :

• współczynnik korelacji
  statystycznie różni się od 0,
  >0 lub
  <0

• jest korelacja między badanymi cechami (wprost proporcjonalna lub odwrotnie proporcjonalna).

Obliczenia do przykładu:




Reguła decyzyjna: H₀ odrzucona, bo t = 2,76>t_kr =2,10 (p=0,013 < 0,05).

Wniosek: Współczynnik korelacji jest istotnie większy od 0. Stwierdzono wprost proporcjonalny związek między wzrostem i wagą. Im wyższy u osoby jest wzrost tym wyższa jest (średnio) waga ciała.

Uwagi:

1. współczynnik korelacji stosujemy jeśli analizowane cechy ilościowe posiadają rozkłady normalne (lub zbliżone do normalnych),

2. jeśli nie jest spełniony warunek z punktu 1) obliczamy nieparametryczny współczynnik korelacji Spearmana (lub Kendalla).

Przykład 4. Próby powiązane.

Celem porównania poziomu hemoglobiny u kobiet przed i po leczeniu wylosowano próbę o liczebności 10 osób. Uzyskano następujące pary danych:

(przed) (po) (różnica po - przed)

1. 10.1 0.3

1. 10.9 -0.4

2. 12.1 0.7

1. 12.7 0.5

1. 11.1 0.6

1. 10.8 0.0

3. 12.0 0.5

4. 12.0 0.4

1. 10.4 0.1

2. 10.9 0.3

Pytanie: Czy poziom hemoglobiny przed i po leczeniu różni się?

Zweryfikować hipotezę o braku różnicy między poziomem

hemoglobiny przed i po leczeniu?

Hipoteza zerowa:

1. Średnia wartość różnicy z_k (populacyjna) wynosi 0.

2. Brak jest związku między poziomem hemoglobiny przed i po leczeniu.

H₀: z_k = 0

H₁: z_k ≠ 0 ( z_k < 0 lub z_k > 0 )

t =


gdzie
- średnia (próbkowa), odchylenie standardowe (próbkowe) i liczebność w grupie.

Przy prawdziwości hipotezy zerowej statystyka t posiada rozkład t-Studenta z k-1 stopniami swobody. Wykres funkcji gęstości i weryfikacja hipotezy zerowej podobnie jak dla współczynnika korelacji.

Wnioski:

1) jeśli H₀ przyjęta (ozn. NS - non significant):

-średnia
jest statystycznie równa 0, co oznacza, że z_k = 0,

-brak jest związku między badanymi cechami,

2) jeśli H₀ odrzucona :

-średnia
różni się statystycznie od 0, (
<0 lub
>0), tzn. z_k < 0 lub z_k > 0,

-jest związek między badanymi cechami (podać szczegółowo).

Przykład cd. Obliczenia i wnioski:




Reguła decyzyjna: H₀ odrzucona, bo t = 2,90>t_kr =2,26 (p=0,017 < 0,05).

Wniosek: Średnia
jest statystycznie większa niż 0. Poziom hemoglobiny po

leczeniu jest większy niż przed leczeniem.

Uwagi: 1) t-test dla prób powiązanych stosujemy jeśli analizowana cecha

(różnice) posiada rozkład normalny,

2) jeśli nie jest spełniony warunek z punktu 1) to stosujemy

nieparametryczny test Wilcoxona dla par.

---