Ćwiczenie nr 3: Zwymiarować elementy konstrukcyjne- krokiew i jętkę.

Zestawienie obciążeń działających na połać dachu:

Obciążenie	Wartość charakterystyczna		Wartość obliczeniowa
		qkr	qkp	Ψ0	qr	qp
		kN/m^2	kN/m^2	-	kN/m^2	kN/m^2
Obciążenie stałe	0,636	0,706	-	0,763	0,847
Obciążenie śniegiem	1,002	1,113	1,0	1,504	1,670
Obciążenie wiatrem	-	0,340	0,9	-	0,396
Suma obciążeń dla kombinacji podstawowej	1,638	2,159	-	2,267	2,913

Przyjęto rozstaw krokwi a=900mm.

Zestawienie obciążeń działających na krokiew:

Obciążenie	Wartość charakterystyczna		Wartość obliczeniowa
		qkr	qkp	qr	qp
		kN/m	kN/m	kN/m	kN/m
Suma obciążeń dla kombinacji podstawowej	1,474	1,943	2,040	2,622

Elementy więźby zaprojektowano z drewna sosnowego klasy C30. Charakterystyczne wartości materiałowe dla drewna klasy C30:

fmk	ft,0,k	ft,90,k	fc,0,k	fc,90,k	fv,k	E0,mean	E90,mean	E0,05	Gmean
MPa	MPa	MPa	MPa	MPa	MPa	MPa	MPa	MPa	MPa
30	18	0,4	23	5,7	3,0	12000	400	8000	750

Xd=k_mod*Xk/γ_M k_mod=0,90

γ_M=1,3

Obliczeniowe wartości materiałowe:

fmd	ft,0,d	ft,90,d	fc,0,d	fc,90,d	fv,d
MPa	MPa	MPa	MPa	MPa	MPa
20,77	12,46	0,28	15,92	3,95	2,08

Krokiew- stan graniczny nośności:

Wymiary przekroju poprzecznego krokwi: 60mmx150mm

Wartości wskaźników wytrzymałości względem osi x i y:

Wy=b*h²/6=60mm*(150mm)²/6=225000mm³=225cm³

Wx=h*b²/6=150mm*(60mm)²/6=90000mm³=90m³

Maksymalna wartość momentu zginającego krokiew:

My=[q_p*(l_d²-l_d*l_g+l_g²)]/8 l_d,l_g- długości dolnego i górnego przęsła krokwi

l_d=2,445m

l_g=1,204m

My={2,622*[(2,445)²-2,445*1,204+(1,204)²]}/8

My=2,094kNm=209,4kNcm

Mz=0

σ_m,y,d=My/Wy=209,4/225,0=0,931kN/cm²

σ_m,z,d=Mz/Wz=0

Wartości reakcji podporowych od obciążeń prostopadłych:

R_A=(q_p/8*l_d)*( 3l_d²+l_d*l_g-l_g²)

R_A=4,616kN

R_B=( q_p/8*l_d* l_g)*( l_d³+4l_d²*l_g+4 l_d*l_g²+ l_g³)

R_B=5,341kN

R_C=(q_p/8*l_g)*( 3l_g²+l_d*l_g-l_d²)

R_C=0,354kN

Maksymalna siła ściskająca krokiew:

N=q_r*(l_g+l_d)+(R_B+R_C)*ctgα=2,040*(1,204+2,445)+(5,341+0,354)*ctg42^o

N=13,765kN

σ_c,0,d=N/A_d=13,765kN/6,0cm*15,0cm=0,153kN/cm²

k_m=0,7 - dla przekrojów prostokątnych

Warunki nośności dla krokwi:

(σ_c,0,d/ f_c,0,d)²+k_m(σ_m,y,d/ f_m,y,d)+ σ_m,z,d/ f_m,z,d<1,0

(0,153/1,592)²+0,7(0,931/2,077)+0=0,323<1,0

(σ_c,0,d/ f_c,0,d)²+(σ_m,y,d/ f_m,y,d)+ k_m(σ_m,z,d/ f_m,z,d)<1,0

(0,153/1,592)²+(0,931/2,077)+0=0,457<1,0

L_d=l+2h=2445mm+2*150mm=2745mm

λ_rel,m=√(L_d*h*f_m,d/Π*b²*E_0,05)*√(E_0,mean/G_mean)

λ_rel,m=√(274,5cm*15cm*2,077kN/cm²/3,14*(6cm)²*800kN/cm²)*√(1200kN/cm²/75kN/cm²)

λ_rel,m=0,615

k_crit=1,0

σ_m,d≤k_crit*f_m,d

0,931≤1,0*2,077

0,931kN/cm²≤2,077kN/cm² -warunek spełniony

Stan graniczny użytkowalności- ugięcie krokwi:

l/h=2445/150=16,3<20

u=u_M*[1+19,2(l/h)²]=5/384*[(q_kp*l⁴)/(E_0,mean*I)] *[1+19,2(h/l)²]

I=b*h³/12=60mm*(150mm)³/12=16875000mm⁴=1687,5cm⁴

u=5/384*[(0,01943kN/cm*(244,5cm)⁴)/(1200kN/cm²*1687,5cm⁴)]*[1+19,2(15,0/244,5)²]

u=0,478cm

u_net,fin=l/200=244,5cm/200=1,223cm

u = 0,478cm < u_net,fin =1,223cm - warunek SGU jest spełniony

Jętka- stan graniczny nośności:

Wartość siły ściskającej:

N=R_B/sinα

N=5,341kN/sin42^o=7,972kN

Wartość długości wyboczeniowej:

l_c,y=l_c,z=l*μ=1782mm*1,0=1782mm

Przyjęto przekrój poprzeczny jętki 80mmx120mm

Charakterystyki geometryczne przekroju:

A_br=b*h=80*120=9600mm²=96cm²

I_y=b*h³/12=80*(120)³/12=1152cm⁴

Iz=h*b³/12=120*80³/12=512cm⁴

Smukłość jętki:

λ_y=l_c,y/√I_y/A_br=178,2/√1152/96=51,44 <150

λ_z=l_c,z/√I_z/A_br=178,2/√512/96=77,18 <150

Naprężenia krytyczne przy ściskaniu:

σ_c,crit,y=Π²*E_0,05/λ_y²=(3,14)²*800/(51,44)²=2,981kN/cm²

σ_c,crit,z=Π²*E_0,05/λ_z²=(3,14)²*800/(77,18)²=1,324kN/cm²

Smukłość sprowadzona przy ściskaniu:

λ_rel,y=√f_c,0,d/ σ_c,crit,y=√1,592/2,981=0,534

λ_rel,z=√f_c,0,d/ σ_c,crit,z=√1,592/1,324=1,202

Współczynniki k_y i k­_z:

k_y=0,5*[1+β_c(λ_rel,y-0,5)+ λ_rel,y²]

ky=0,5*[1+0,2(0,534-0,5)+(0,534)²]=0,646

k_z=0,5*[1+β_c(λ_rel,z-0,5)+ λ_rel,z²]

k_z=0,5*[1+0,2(1,202-0,5)+(1,202)²]=1,293

Współczynniki wyboczeniowe k_c,y i k_c,z:

k_c,y=1/[k_y+√(k_y²- λ_rel,y²)=1/[0,646+√(0,646)²-(0,534)²=0,990

k_c,z=1/[k_z+√(k_z²- λ_rel,z²)=1/[1,293+√(1,293)²-(1,202)²=0,565

k_c=min(k_c,y; k_c,z)=0,565

Warunek nośności dla jętki:

N/k_c*A_br=7,972/0,565*96=0,147kN/cm² < f_c,0,d=1,592kN/cm² - warunek spełniony