z 1 7 a, SPRAWOZDANIA czyjeś


Marek Kopyto

Nr indeksu : 94597

Wprowadzenie do systemów telekomunikacyjnych

Seminarium rok 2000/2001

Zadanie 1/7

1) Treść zadania:

Znaleźć transformaty Fouriera, wykorzystując jej własności, następujących funkcji:

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
a) f{t}

A

-2 -1 1 2

0x08 graphic
t

A/2

rys.1

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
b) g(t)

A

0x08 graphic

t

-2 0 1

rys.2

0x08 graphic
0x08 graphic
c)

0x08 graphic
0x08 graphic
h(t)

A

cos t

- π/2 π/2

rys.3

2) Wprowadzenie teoretyczne:

Ciągła transformata Fouriera jest przekształceniem całkowym opisanym wzorem:

0x01 graphic

gdzie: f(t) - sygnał, którego transformatę wyznaczamy

ω - pulsacja sygnału

Własności ciągłej transformaty Fouriera:

  1. liniowość

F{a*f(t) + b*h(t)}= a*F{f(t)} + b*F{h(t)}

  1. transformata pochodnej funkcji:

0x01 graphic
)

  1. przesunięcie w czasie:

F{f(t-to) = e-jωto *F{f(t)}

  1. splot funkcji:

0x01 graphic

3) Rozwiązanie:

W celu wyznaczenia transformat podanych wyżej przebiegów skorzystam z własności liniowości oraz transformaty pochodnej funkcji

a) Różniczkując sygnał podany na rys.1 otrzymuję następujący przebieg

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
A f `(t)

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic

-2 -1,5 0 1,5 2 t

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

-A

Sygnałowi przedstawionemu na rysunku odpowiada transformata F{jω}*jω, gdzie F{jω} transformata sygnału f(t).

Różniczkując drugi raz otrzymujemy0x08 graphic

0x08 graphic
2Aδ(t +1,5 ) f`(t) 2Aδ(t - 1,5 )

0x08 graphic
0x08 graphic
2A

-2 -1,5 0 1,5 2

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
t

0x08 graphic
-A

-Aδ(t +2 ) -Aδ(t - 2)

0x08 graphic
-2A -2Aδ(t)

Z kolei temu sygnałowi odpowiada transformata -ω2 F(jω).

Czyli:

0x01 graphic

Korzystając również z faktu, że:

F{δ(t)}=1 oraz z własności o przesunięciu w czasie, możemy napisać :

0x01 graphic

b) Podobnie postępując jak w przykładzie a) z sygnałem przedstawionym na rys. 2 otrzymujemy:

0x08 graphic
g `(t)

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
A/2

0x08 graphic
0x08 graphic

-2 0 1 t

0x08 graphic
0x08 graphic
-A

Sygnałowi temu odpowiada transformata jωF{g(t)) gdzie g(t) sygnał przedstawiony na rys.2.

Różniczkując po raz drugi otrzymujemy:

0x08 graphic
g ``(t)

Aδ(t - 1)

0x08 graphic
0,5Aδ(t + 2)

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

-2 0 1 t

-1,5 Aδ(t)

Z kolei temu sygnałowi odpowiada transformata -ω2 F(jω).

Czyli:

0x01 graphic

Korzystając również z faktu, że:

F{δ(t)}=1 oraz z własności o przesunięciu w czasie, możemy napisać :

0x01 graphic

c) Różniczkując sygnał przedstawiony na rys.3 otrzymujemy:

0x08 graphic
h`(t)

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
A

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
-Asint

π/2

0x08 graphic
0x08 graphic

-π/2 0 t

-A

Sygnałowi temu odpowiada transformata jωF{h(t)) gdzie h(t) sygnał przedstawiony na rys.3.

Różniczkując po raz drugi otrzymujemy:

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
g``(t)

A Aδ(t + π/2 ) Aδ(t - π/2 )

-π/2 π/2 t

-Acost

-A

Sygnał ten możemy zapisać:

0x01 graphic

Ponieważ:

0x01 graphic

to:

0x01 graphic

Korzystając również z faktu, że:

F{δ(t)}=1 oraz z własności o przesunięciu w czasie, transformacie pochodnej funkcji oraz własności liniowości możemy napisać :

0x01 graphic

0x01 graphic

Ponieważ:

0x01 graphic

to 0x01 graphic

4)Wnioski:

Ciągła transformata Fouriera jest typem analizy widmowej.

Stosując różniczkowanie oraz korzystając z innych podstawowych własności tej transformacji można dosyć szybko i skutecznie określić widmo amplitudowe oraz fazowe badanego sygnału. Przy czym widmo amplitudowe jest modułem z transformaty Fouriera, a widmo fazowe argumentem tej transformaty.

3



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
pomoc2cd(1), SPRAWOZDANIA czyjeś
Budowa kontenera C, SPRAWOZDANIA czyjeś
Zalety systemów SDH, SPRAWOZDANIA czyjeś
Hartowanie i odpuszczanie, SPRAWOZDANIA czyjeś
z3 06, SPRAWOZDANIA czyjeś
Zabezpieczenie transformatora za pomocą zespołu automatyki(1), SPRAWOZDANIA czyjeś
w4m, SPRAWOZDANIA czyjeś
Z5 10, SPRAWOZDANIA czyjeś
pomoc, SPRAWOZDANIA czyjeś
siwex, SPRAWOZDANIA czyjeś
MetodyNumeryczne, SPRAWOZDANIA czyjeś
pomoc2, SPRAWOZDANIA czyjeś
labelektr14, SPRAWOZDANIA czyjeś
Budowa kontenera VC, SPRAWOZDANIA czyjeś
z4 06, SPRAWOZDANIA czyjeś
Kształtowanie widma, SPRAWOZDANIA czyjeś
Z2 08, SPRAWOZDANIA czyjeś
z4 02, SPRAWOZDANIA czyjeś

więcej podobnych podstron