Nieliniowe zagadnienia optymalizacyjne

Programem nieliniowym nazywamy zadanie o postaci:

gdzie przynajmniej jedna z funkcji f lub g_i nie jest funkcją liniową, przy czym zakłada się, że funkcje f lub g_i są ciągłe.

Nie ma ogólnej metody rozwiązywania programów nieliniowych.

Metoda rozwiązywania zależy od postaci, jaką przyjmuje zadanie.

Funkcja celu: wklęsła lub wypukła (z reguły zakłada się, że jest wypukła tzw. programowanie wypukłe).

Wyróżniamy programy o postaci:

• kanonicznej (warunki ograniczające mają postać równości)

• standardowej (wszystkie warunki ograniczające w postaci nierówności)

Metody optymalizacji

Rozpatrywane będą jednowskaźnikowe zadania programowania, przy czym elementy zbioru rozwiązań dopuszczalnych należą do przestrzeni skończenie wymiarowej Rⁿ. Zadanie optymalizacji polega na znalezieniu takiego wektora należącego do zbioru , że dla każdego x należącego do zbioru X₀, f () ≤ f (x). W zadaniu tym X₀, jest zbiorem rozwiązań dopuszczalnych, f : Rⁿ → R¹ jest funkcją celu, g: Rⁿ → i h: Rⁿ → są wektorowymi funkcjami ograniczeń.

Jeden ze sposobów podziału zadań programowania:

1. programowanie liniowe - jeśli funkcje f , g i h są liniowe, a więc
   f (x) = <c, x〉
   oraz
   [ g (x)^T, h (x)^T]^T = Ax - b,
   gdzie wektory c ∈ Rⁿ, b ∈ R^m oraz macierz A o wymiarach m × n są znane.

2. programowanie nieliniowe - jeśli co najmniej jedna z funkcji f , g bądź h jest nieliniowa.

Wśród wymienionych wyżej typów zadań, za podstawowe zadanie programowania należy uznać ciągłe deterministyczne zadanie programowania nieliniowego o postaci:

znaleźć takie, że

f () = ,

gdzie

,

przy czym

f : Rⁿ → R¹, g: Rⁿ → , h: Rⁿ → .

Zadanie programowania nieliniowego z ograniczeniami równościowymi

Dla zadania programowania nieliniowego utwórzmy funkcję Lagrange'a, a mianowicie

Warunki konieczne można zapisać w postaci

---