Kryteria stabilności

O stabilności układu liniowego najprościej można orzec, znając jego transmitancję

G(s)= L(s) / M(s)

Lub znając położenie pierwiastków równania charakterystycznego M(s) = 0 czyli biegunów transmitancji.

Układ liniowy jest:

- stabilny - wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie bieguny jego transmitancji mają niedodatnie części rzeczywiste,

- stabilny asymptotycznie - wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie bieguny jego transmitancji leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s (mają ujemną część rzeczywistą), więc składowa przejściowa y(t) zanika do zera przy t → ∞.

- na granicy stabilności - jeżeli ma jeden biegun zerowy lub dwa urojone sprzężone, a reszta biegunów leży w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s.

- niestabilny - jeżeli co najmniej jeden jego biegun leży w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s lub więcej niż jeden biegun znajduje się na osi urojonej, więc składowa przejściowa odpowiedzi y(t) rośnie do nieskończoności przy t → ∞.

Podział kryteriów stabilności:

- kryteria analityczne, stosowane w przypadku znajomości analitycznej postaci transmitancji - postaci wielomianu charakterystycznego M(s). Można tu zaliczyć między innymi kryteria: Routha, Hurwitza.

- kryteria graficzne - stosowane w przypadku znajomości charakterystyk częstotliwościowych układu. Można tu zaliczyć między innymi kryteria: Nyquista, Bodego, Nicholsa. Są także stosowane w przypadku znajomości analitycznej postaci układu otwartego - metoda linii pierwiastkowych.

Kryterium Routha

Umożliwia określenie liczby biegunów transmitancji leżących w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s na podstawie tzw. tablicy Routha. Układ jest stabilny kiedy wszystkie współczynniki wielomianu charakterystycznego są większe od zera orazwszystkie współczynniki skrajnej lewej kolumny tablicy Routha są dodatnie. W przeciwnym wypadku liczba zmian znaku w pierwszej kolumnie jest równa liczbie biegunów znajdujących się w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s.

Kryterium Hurwitza

Nie daje bezpośrednio informacji o liczbie biegunów znajdujących się w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s. Układ jest stabilny, jeżeli wszystkie współczynniki wielomianu charakterystycznego są większe od zera oraz wszystkie podwyznaczniki wyznacznika Hurwitza są większe od zera.

Kryterium Nyquista

Umożliwia zbadanie stabilności układu zamkniętego z ujemnym sprzężeniem zwrotnym na podstawie charakterystyk częstotliwościowych układu otwartego, przy czym (n ≥ m). Układ zamknięty jest stabilny asymptotycznie, wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego przy zmianie pulsacji wymuszenia od ω=0 do ω=∞ nie obejmuje punktu (-1,j0).

Układ zamknięty znajduje się na granicy stabilności, jeżeli układ otwarty jest również stabilny asymptotycznie, wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa stabilnego układu otwartego przy zmianie pulsacji wymuszenia od ω=0 do ω→∞ obejmuje punkt (-1,j0)

Układ zamknięty jest niestabilny, jeżeli układ otwarty jest również stabilny asymptotycznie, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego przy zmianie pulsacji wymuszenia od ω=0 do ω→∞ obejmuje punkt (-1,j0).

Kryterium Bodego

Jest to kryterium Nyquista na wykresach logarytmicznych charakterystyk częstotliwościowych: modułu i fazy.

Układ zamknięty jest stabilny asymptotycznie, jeżeli układ otwarty jest również stabilny asymptotycznie, wtedy i tylko wtedy, gdy dla pulsacji wymuszenia z przedziału 0< ω<∞, przy których Lm(ω)>0, logarytmiczna charakterystyka fazowa przecina parzystą liczbę razy prostą φ(ω)=-π.

Kryterium Nicholsa

Wykres Nicholsa jest reprezentacją kryterium Nyquista, we współrzędnych: przesunięcie fazowe układu otwartego, wzmocnienie układu otwartego.

Układ zamknięty jest stabilny asymptotycznie, wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego przy zmianie pulsacji wymuszenia od ω=0 do ω=∞ nie obejmuje punktu (-1,j0).

Układ zamknięty znajduje się na granicy stabilności, jeżeli układ otwarty jest również stabilny asymptotycznie, wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa stabilnego układu otwartego przy zmianie pulsacji wymuszenia od ω=0 do ω→∞ obejmuje punkt (-1,j0)

Układ zamknięty jest niestabilny, jeżeli układ otwarty jest również stabilny asymptotycznie, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego przy zmianie pulsacji wymuszenia od ω=0 do ω→∞ obejmuje punkt (-1,j0).

Metoda linii pierwiastkowych

Pozwala na określenie położenia biegunów transmitancji układu zamkniętego w zależności od zmiany wzmocnienia w układzie otwartym, co w układzie zamkniętym powoduje przesunięcie biegunów po liniach nazywanymi liniami pierwiastkowymi.

Określenie zakresu wzmocnienia układu otwartego, dla którego układ zamknięty będzie stabilny, odbywa się przez sprawdzenie dla określonych wartości k, czy istnieją bieguny o nieujemnej części rzeczywistej, czyli zgodne z definicją stabilności.

Zapas modułu i fazy

Zaletą wymieniony graficznych kryteriów stabilności jest prostota określenia zapasu stabilności za pomocą:

- zapas modułu λ[dB]

To krotność, o jaką musiałoby wzrosnąć wzmocnienie układu otwartego przy niezmienionym argumencie transmitancji widmowej równym -π, aby doprowadzić układ do granicy stabilności. Zależnośc pomiędzy zapasem modułu a zapasem wzmocnienia

λ[dB] = 10 log(k)

- zapas fazy Δφ [^o]

To wartość zmiany argumentu transmitancji widmowej (przesunięcia fazowego) układu otwartego przy niezmiennym wzmocnieniu, która doprowadziłaby układ zamknięty do granicy stabilności.

---