Reguły konstrukcji linii pierwiastkowych

1. Położenie zer układu zamkniętego jest niezależne od wzmocnienia k. Zera UO= zera UZ:

2. Położenie biegunów układu zamkniętego wynika z warunku fazy oraz amplitudy.

3. Linie pierwiastkowe mają n-gałęzi, odpowiadających n biegunom układu zamkniętego.

4. Gałęzie linii pierwiastkowych zaczynają się w biegunach układu otwartego (k=0).

5. m gałęzi linii dąży do zer układu otwartego, (n-m) dąży do nieskończoności wzdłuż asymptot
   .

6. Kąty nachylenia asymptot wynoszą:

Punkt przecięcia asymptot leży na osi liczb rzeczywistych w punkcie o współrzędnej:

7. Linie pierwiastkowe są symetryczne względem osi liczb rzeczywistych.

8. Do linii pierwiastkowej należą te fragmenty osi l. rzeczywistych, na prawo od których leży nieparzysta liczba zer i biegunów (z uwzględnieniem ich krotności) układu otwartego.

9. Punkty dojścia i odejścia od osi l. rzeczywistych spełniają równanie:

gdzie:

10. Jeżeli (n-m)>=2 suma biegunów układu otwartego równa się sumie biegunów układu zamkniętego (reguła sumowania).

11. Jeżeli układ otwarty ma zero w początku układu współrzędnych (z_i=0) iloczyn biegunów układu otwartego równa się iloczynowi biegunów układu zamkniętego (reguła mnożenia).

12. Wzmocnienie k dla danego punktu linii pierwiastkowej s_i^' (biegun układu zamkniętego) można wyznaczyć z warunku modułu:

13. Pełne wzmocnienie układu, dla danego k można wyznaczyć ze wzoru:

14. Współrzędne przecięcia linii pierwiastkowych z osią l. urojonych (utrata stabilności) można wyznaczyć wstawiając do warunku modułu s=jω. Dodatkowo można również wyznaczyć wartość wzmocnienia granicznego.

15. Kąty dojścia i odejścia linii pierwiastkowych do/od osi liczb rzeczywistych dla wielokrotnych biegunów są określone tak jak kąty w pkt.6.