Definicja

Zdaniem (w sensie logicznym) nazywamy takie zdanie oznajumjące (w sensie gramatycznym), któremu w jednoznaczyny sposób można przypisać ocenę prawdy lub fałszu. Prawdę lub fałsz będziemy nazywać wartością logliczną zdania.

Przykład:

• Warszawa jest stolicą Polski. - prawda

• Jutro będzie środa. - to nie jest zdanie w sensie logicznym

• Nie prawda, że istnieją liczby rzeczywiste, których kwadrat jest dodatni - fałsz

Symbole oznaczające zdania

zdanie prawdziwe -> p = 1
zdanie fałszywe ->p = 0

Spójniki logiczne

~ p - spójnik negacji: "nieprawda, że p"
p
q- spójnik implikacji: "jeżeli p to g" ( p - poprzednik implikacji, q - następnik implikacji)
p
q - równoważność: "p wtedy i tylko wtedy gdy q"
p
q - koniunkcja: "p i g"
p
q - alternatywa: "p lub q"

p

~p

1

0

0

1

p

q

p
q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

p

q

p
q

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

p

q

p
q

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

p

q

p
q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

Definicja tautologii (prawa rachunku zdań)

Tautologią nazywać będziemy taki schemat zdania złożonego, że każde zdanie podpadające pod ten schemat jest prawdziwe (bez względu na wartość logiczną zdań go tworzących).

Prawa rachunku zdań

I. Prawo sprzeczności

Dwa zdania sprzecznie nie mogą być jednocześnie prawdziwe.

II. Prawo wyłączonego środka

Dwa zdania sprzeczne nie mogą być jednocześnie fałszywe.

III. Prawo podwójnego zaprzeczenia

Zdania p oraz ~ ( ~ p) mają tę samą wartość logiczną. Uwagi 1. Warunek wystarczający dla p może nie być warunkiem koniecznym dla p. 2. Warunek konieczny dla p może nie być warunkiem wystarczającym dla p.

IV. Prawa de Morgana

Pierwsze z praw de Morgana orzeka, że zaprzeczeniem koniunkcji jest alternatywa zaprzeczeń, drugie, że zaprzeczeniem alternatywy jest koniunkcja zaprzeczeń.

V. Prawo zaprzeczenia implikacji

VI. Prawo przechodniości implikacji

Jeśli prawdziwe są dwie implikacje p q i q r, to prawdziwa jest implikacja p r.

VII. Zasada kontrapozycji (transpozycja implikacji)

VIII. Prawo rozdzieloności koniunkcji względem alternatywy

IX. Prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji

2