Wahadło torsyjne
Zgodnie z II Zasada dynamiki ruch drgający wahadła torsyjnego jest opisany równaniem: M = Iε
gdzie: M - wypadkowy moment sil dzialajacych na wahadlo (sil sprezystych i tarcia)
I - moment bezwladności ukladu
ε - chwilowe przyspieszenie katowe ukladu
Jak wiadomo rozwiazanie tego równania ma postac:
ϕ = ϕ0 e-βt cos(ωt + α0)
Z graficznej interpretacji powyzszego wzoru otrzymujemy wyrazenie na amplitude drgan w chwili t:
ϕn = ϕ0 e-βt
gdzie ϕn - wspomniana wczesniej amplituda
ϕ0 - amplituda w chwili poczatkowej
β - wspólczynnik tlumienia (β = b / 2I - b - wspólczynnik oporu)
Logarytm naturalny stosunku dwóch kolejnych amplitud ϕn i ϕn+1 nastepujacych po czasie Δt = T ( T - okres drgań ) nazywamy dekrementem logarytmicznym λ drgań tlumionych.
Wyliczenie wartosci dekrementu logarytmicznego tlumienia λ dla kilku wychyleń wahadla torsyjnego dla wody i cieczy wg. wzoru:
λ= ln ( n / n+1 ) = βT
gdzie: T - okres drgań
n - wychylenie dla czasu t
n+1 - wychylenie dla czasu t + T
Tabela pomiarów:
|
woda |
ciecz |
||
n |
n lewo |
n prawo |
n lewo |
1 prawo |
8 |
9 |
8 |
8 |
|
8 |
8 |
6 |
5 |
|
7 |
8 |
5 |
4 |
|
7 |
8 |
4 |
3 |
|
6 |
7 |
3 |
2 |
|
6 |
6 |
2 |
1 |
|
5 |
6 |
1 |
1 |
|
5 |
5 |
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
Powyższa tabela przedstawia pomiary amplitud wychyleń po prawej i po lewej stronie działki zerowej skali dla kilku pełnych drgań wachadła torsyjnego.
Wyliczenie kilku wartości logarytmicznego dekrementu tłumienia i wartości średniej śr
Lp. |
w |
c |
||
1 |
0,0000 |
0,2877 |
||
2 |
0,1335 |
0,1823 |
||
3 |
0,0000 |
0,2231 |
||
4 |
0,1542 |
0,2877 |
||
5 |
0,0000 |
0,4055 |
||
6 |
0,1823 |
0,6931 |
||
7 |
0,0000 |
0,4700 |
||
8 |
0,0000 |
0,2231 |
||
9 |
0,2231 |
0,2877 |
||
10 |
0,1178 |
0,4055 |
wartości średnie |
|
11 |
0,0000 |
0,6931 |
w śr |
0,0712 |
12 |
0,0000 |
0,0000 |
c śr |
0,3466 |
Wyliczenie wartości współczynnika tłumienia β dla wody i cieczy wg. wzoru:
β = λ / T
T = t / m ( m - liczba pełnych drgań wahadła )
tw = 60,4 s tc = 61,4 s
mw = 6 mc = 6
Tw = 10,07 s Tc = 10,23 s
βw = 7,07 10-3 1/s
βc = 33,88 10-3 1/s
Wyznaczenie Δ metodą Studenta z założonym poziomem ufności α = 0,98
Δw =
Δc =
w = 0,0712 ±
c = 0,3466 ±
B. Kamerton
Pobudzony do drgań kamerton przyłożony do pudła rezonansowego wymusza drgania pudła. Drgania te rejestruje mikrofon umieszczony w pobliżu pudła rezonansowego. Napięcie rejestrowane przez miernik w obwodzie mikrofonu zmienia się wraz ze zmianą amplitudy drgań kamertonu.
Zmiany amplitudy drgań tłumionych w czasie opisuje równanie:
A(t) = A0e-βt
Czas po którym amplituda drgań maleje e - krotnie nosi nazwę czasu relaksacji. Czas relaksacji τ powiązany jest ze współczynnikiem tłumienia β następującą zależnością:
τ = 1 / β
zaś logarytmiczny dekrement tłumienia λ:
λ = β ∗ T ( T - okres drgań tłumionych)
Pomiar czasu od momentu gdy amplituda drgań A0 = 2,00 V do momentu gdy amplituda osiągnie wartość At = 0,50 V dla częstotliwości f = 440 Hz:
kolejny pomiar |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
t [ s ] |
7,90 |
7,80 |
7,40 |
7,80 |
7,40 |
7,80 |
7,40 |
7,20 |
7,20 |
7,20 |
Pomiar czasu zmniejszania się napięcia od wartości A0 = 2,5 V do kolejnych wartości At (ujętych w tabeli pomiarowej):
A0 [ V ] |
At [ V ] |
t [ s ] |
2,50 |
2,00 |
1,00 |
2,50 |
1,50 |
2,40 |
2,50 |
1,00 |
4,60 |
2,50 |
0,50 |
7,80 |
2,50 |
0,30 |
11,40 |
Wyznaczenie wartości współczynnika tłumienia ze wzoru:
β = ( 1 / τ ) ∗ ln ( A0 / At )
kolejny pomiar |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
β [ s-1 ] |
0,176 |
0,178 |
0,187 |
0,178 |
0,187 |
0,178 |
0,187 |
0,193 |
0,193 |
0,193 |
Wartość średnia βśr = 0,185 s-1
Wyznaczenie Δβ metodą Studenta z założonym poziomem ufności α = 0,98
Δβ = s-1
β = ( 0,185 ± ) s-1
Wyznaczenie dekrementu logarytmicznego tłumienia ze wzoru: λ = βśr / f
λ = 4,200∗ 10-04
Wykres zależności A = A ( t )
Powyższy wykres odpowiada przebiegowi funkcji: A = 2,4 e-0,189 t
gdzie A0 = 2,4 V
β = 0,189 s-1
Jak widać z otrzymanych wartości nieznacznie odbiegają one od wcześniej wyliczonych i tak z pomiarów wynika, że A0 = 2,5 V a program Microsoft Excel 5.0 funkcją „wstaw linię trendu z równaniem przy wykresie” daje wartość A0 = 2,4 V zaś wartość współczynnika tłumienia wyliczono wcześniej na β = 0,185 s-1 zaś program dał wynik β = 0,189 s-1. Pomimo niedoskonałości metody pomiarowej (np. mała liczbowo seria pomiarów, pomiar czasu przy pomocy ręcznego stopera, hałas w pracowni wpływający na zakłócenia w pracy mikrofonu w obwodzie pomiarowym) uważam, że uzyskana zgodność wyników potwierdza poprawność przeprowadzenia ćwiczenia.