Twierdzenie o czworokącie wpisanym w okrąg

C

γ

D δ

β

α B

A

Aby na czworokącie można było opisać okrąg, sumy miar przeciwległych kątów tego czworokąta muszą być równe 180°.

α + γ = β + δ = 180°

Dowód twierdzenia:

Założenie: ABCD - czworokąt wpisany w okrąg

Teza: α + γ = β + δ = 180°

Dowód:

α + γ = (∠ BAC + ∠ CAD) + (∠ BCA + ∠ ACD) (*)

Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym (kąt środkowy ma dwukrotnie większą miarę, niż kąt wpisany oparty na tym samym łuku) wypływa wniosek, że kąty wpisane oparte na tym samym łuku są sobie równe. Korzystając z tego faktu możemy zapisać:

∠ BAC = ∠ BDC

∠ CAD = ∠ CBD

∠ BCA = ∠ BDA

∠ ACD = ∠ ABD

Podstawiając za poszczególne kąty z równania (*) ich odpowiedniki oparte na tym samym łuku, otrzymamy:

α + γ = (∠ BDC + ∠ CBD) + (∠ BDA + ∠ ABD) =

= (∠ BDC + ∠ BDA) + (∠ CBD + ∠ ABD) = β + δ

Z kolei podstawiając znowu za ∠ BDC i ∠ BDA ich odpowiedniki z równania (*) otrzymamy:

β + δ = (∠ BAC + ∠ BCA) + (∠ CBD + ∠ ABD) =

= ∠ BAC + ∠ BCA + ∠ ABC

Zauważmy, że ∠ BAC, ∠ BCA i ∠ ABC są kątami wewnętrznymi trójkąta ABC. Z twierdzenia o sumie kątów wewnętrznych trójkąta (suma ta jest równa 180°) wynika:

β + δ = 180°

Zatem:

α + γ = β + δ = 180°

C.N.D.