RACHUNEK WEKTOROWY

1. Wyznaczyć współrzędne wierzchołka D równoległoboku ABCD jeżeli A = (0, 0, 0), B = (3, -2, 1) i C = (0, 4, -2). Wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego równoległoboku.

2. Obliczyć długość wektora
   jeżeli
   ,
   i
   .

3. Wyznaczyć kosinusy kierunkowe wektora
   .

4. Obliczyć iloczyn skalarny wektorów
   i
   .

5. Wyznaczyć kąt między wektorami
   i
   .

6. Dla jakiej wartości parametru
   wektory
   i
   są prostopadłe?

7. Wykazać, że czworokąt o wierzchołkach A = (-3, 5, 6), B = (1, -5, 7), C = (8, -3, -1) i D = (4, 7, -2) jest kwadratem.

8. Obliczyć iloczyn wektorowy wektorów
   i
   .

9. Uprościć wyrażenie
   .

10. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach A = (1, 1, 1), B = (2, 3, 4) i C = (4, 3, 2). Obliczyć długość wysokości opuszczonej z wierzchołka B.

11. Znaleźć wektor jednostkowy
    prostopadły do wektorów
    i
    .

12. Wyznaczyć iloczyn mieszany wektorów
    ,
    i
    .

13. Wykazać, że punkty A = (1, 2, -1), B = (0, 1, 5), C = (-1, 2, 1) i D = (2, 1, 3) leżą w jednej płaszczyźnie.

14. Dany jest czworościan o wierzchołkach w punktach A = (3, 1, 1), B = (1, 4, 1), C = (1, 1, 7) i D = (3, 4, 9). Obliczyć jego objętość oraz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka D.

15. Sprawdzić, czy wektory
    ,
    i
    są komplenarne.