Przykłady do zaliczenia z algebry, Studia matematyka, Algebra


Zaliczenie - 2012

  1. Podzielność liczb całkowitych. Wlasności.

  2. Algorytm Euklidesa. Rozszerzony algorytm Euklidesa.

  3. Liczby pierwsze i ich własności.

  4. Funkcja Eulera

  5. Twierdzenie Eulera. Male twierdzenie Fermata

  6. Kongruencje liniowe

  7. Chińskie twierdzenie o resztach

  8. Równania diofantyczne

  9. Działanie binarne

  10. Grupy i ich własności

  11. Podgrupy, podgrupy normalne, warstwy i grupy ilorazowe

  12. Homomorfizmy, izomorfizmy grup

  13. Twierdzenie o homomorfizmie grup

  14. Grupa permutacji

  15. Pierścienie, definicje i przykłady.

  16. Dzielniki zera i dziedzina całkowitości.

  17. Ciała, definicje i przykłady.

  18. Podpierścieni i homomorfizmy pierścieni. Jądro i obraz homomorfizmu.

  19. Ciało kwaternionów.

  20. Ideały pierścieni.

  21. Pierścień ilorazowy.

  22. Pierścień ideałów głównych.

  23. Iloczyn prosty grupy i pierścieni.

  24. Wielomiany jednej zmiennej.

  25. Algorytm Euklidesa dla wielomianów jednej zmiennej.

  26. Schemat Hornera.

  27. Pierwiastki wielomianu. Twierdzenie Bezout.

  28. Pierścienie Euklidesowe.

  29. Rozszerzony algorytm Euklidesa dla wielomianów jednej zmiennej.

  30. Największy wspólny dzielnik wielomianów.

  31. Wielomiany nad ciałem liczb zespolonych i liczb rzeczywistych.

  32. Wielomiany o współczynnikach całkowitych i wymiernych.

  33. Wielomiany nierozkładalne

  34. Kryterium Eisensteina

  35. Rozszerzenie ciał

  36. Ciała skończone

  37. Liczby algebraiczne i przestępne

  38. Ciała algebraiczne domknięte

Przykłady do zaliczenia z algebry

1. Sprawdzić, które z liczb 123, 653, 1241 są pierwsze.

2. Rozłóż liczbę 849 na czynniki pierwsze w Z.

3. Wyznaczyć iloraz oraz resztę przy dzieleniu liczby całkowitej a przez liczbę całkowitą b,
jeśli: 0x01 graphic
.

4. Obliczyć za pomocą algorytmu Euklidesa:

NWD(1540, 756).

NWD(2891, 1589).

5. Znajdź liczby x,y ∈Z takie że

33x+42y=NWD(33,42).

0x01 graphic
.

6. Obliczyć funkcję Eulera

ϕ(144).

ϕ(60)

ϕ(250)

ϕ(1000000)

ϕ(1053)

ϕ(5844)

7. Znajdź resztę:

20032005 (mod 100)

95351 (mod 14)

45133 (mod 6)

10100 + 11100 (mod 17)

6100 (mod 35)

8900 (mod 29)

5966 (mod 17)

13216 (mod 19)

8. Udowodnić:

x7 ≡ x (mod 42)

x561 ≡ x (mod 11)

9. Udowodnić:

52n+3 + 33n+3 ⋅ 2n ≡ 0 (mod 10)

13⋅(-50)n + 17⋅ 40n -30 ≡ 0 (mod 1989)

3099 + 61100 ≡ 0 (mod 31)

43101 + 23101 ≡ 0 (mod 66)

1110 - 1 ≡ 0 (mod 100)

7120 - 1 ≡ 0 (mod 143)

10. Znajdź ostatnią cyfra:

2555, 3140, 13219, 17500

11. Znajdź dwie ostatnie cyfry:

3130, 3159, 7444, 105100

12. Udowodnić:

26n+1 + 32n+2 ≡ 0 (mod 11)

13. Rozwiąż kongruencję:

8x ≡ 5 (mod 11)

3x ≡ 2 (mod 4)

25x ≡ 8 (mod 29)

14. Wyznaczyć wszystkie całkowite rozwiązania równania

27x+15y=13

12x+20y=14

11x+31y=1

15. Obliczyć τσ, στ2, στσ-1, στ-3, gdzie

σ = 0x01 graphic
, τ = 0x01 graphic
,

16. Znaleźć permutacje 0x01 graphic
spełniającą równanie 0x01 graphic
, gdzie

0x01 graphic

17. Które z następujących zbiorów są grupami względem danego działania. Uzasadnij
odpowiedzi.

  1. Zbiór {-1,1} względem mnożenia liczb;

  2. Zbiór liczb zespolonych, dla których 0x01 graphic
    względem dodawania.

18. Jakiego rzędu podgrupy mogą istnieć w grupie 0x01 graphic
? Znajdź wszystkie podgrupy grupy 0x01 graphic
.

19. W grupie M2(Z) macierzy nieosobliwych względem mnożenia macierzy obliczyć rzędy
elementów

0x01 graphic
, 0x01 graphic

20. Udowodnić, że Z[i]= {a+bi | i2=-1; a,b ∈Z } jest pierścienią.

21. Udowodnić, że Q[√7] = { a+b√7 | a,b ∈ Q } jest podpierscienią w R.

22. Udowodnić, że Z6 jest pierścienią z dzielnikami zero.

23. Udowodnić, że Z5 jest pierścienią bez dzielników zero.

24. Sprawdzić, czy funkcja f: M2(R) → R, f(A) = det(A) dla A ∈ M2(R), jest homomorfizmem pierścieni. Jeśli jest, to wyznaczyć Ker(f) oraz Im(f).

25. Obliczyć w ciele kwaternionów: u +v, uv, u-1, v-1, gdzie

u= 2e+j-5k, v= e+2i-j

26. Obliczyć w ciele kwaternionów: u +v, uv, u-1, v-1, gdzie

u= e-j+3k, v= i-4k

27. Obliczyć (2x3+3x2+1)(2x2+x+2) w pierścieni wielomianów Z4[x].

28. Obliczyć NWD wielomianów

x3-7x2+12x-4 oraz x2+x-6 w Z[x].

x4+1 oraz x2+1 w Z[x].

7(x-1)3(x+2)2(x-3)(x2+4)2 ∈R[x] oraz -3(x-1)(x+2)3(x-3)2(x2+4) ∈R[x]

x3 - 7x2 +12x -4 oraz x2 + x - 6 w R[x].

29. Znaleźć wartość wielomianu x5+ 2x4 +x3 + 4x2+3x + 1 w pierścieni wielomianów Z5[x] dla x=4.

30. Znajdź wielomiany s(x),t(x) ∈Z3[x] takie, że a(x) s(x) +b(x)t(x)=NWD(a(x),b(x)), gdzie a(x)= x4+x+1, b(x)=x3 + x2 +x ∈Z3[x].

31. Znaleźć a,b ∈ R, dla których wielomian 2x3 -3x2 -ax +b ∈ R[x] przy dzieleniu przez x+1 daje resztę 7, a przy dzieleniu przez x-1 daje resztę 5.

32. Obliczyć wszystkie pierwiastki wielomianu f(x) = 2x4+x3+ x2+3x+3 w pierścieniu Z5[x].

33. Obliczyć wszystkie pochodne wielomianu f(x) = 2x4+3x3+2 x2+3x+3 w pierścieniu Z4[x].

34. Podzielić 17+11i przez 3+4i w Z[i].

35. Podzielić 3x4+4x3-x2+5x-1 przez 2x2+x+1 w Q[x].

36. W pierścieniu Z5[x] podzielić wielomian f(x) = 2x4+x3+ x2+3x+3 przez wielomian g(x)=3x2+x+4.

37. Korzystając ze schematu Hornera określić krotność pierwiastka x0=4 wielomianu f(x) = 3x4+3x3+x2+4 w pierścieni Z5[x].

38. Znaleźć wszystkie pierwiastki całkowite wielomianu P(x) = x4 - 7x3 + 4x2 +3

39. Stosując kryterium Eisensteina sprawdzić, czy wielomian

f(x) = x4 -6x3 + 18x2 +12x-10

jest rozkładalny w pierścieniu Q[x].

40. Rozłóż wielomian x3-4x +1 na czynniki nierozkładalne w Q[x].

41. Rozłóż wielomian x5-1 na czynniki nierozkładalne w Q[x].

42. Rozłóż wielomian x3-4x +1 na czynniki nierozkładalne w Q[x].

43. Znając, że x1=1+2i jest pierwiastkiem wielomianu P(x) = x4-x3+x2+9x-10, znaleźć pozostałe pierwiastki tego wielomianu.

44. Znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu P(z) = 2z2 +(6-2i)z + 4 -3i

45. Rozłożyć wielomian W(z) = z4 +1 na iloczyny dwumianów w C[x].

46. Przedstawić wielomian W(z) = x4 + 16 w postaci wielomianów rzeczywistych nierozkładalnych w R[x].

47. Przedstawić wielomian W(z) = x4 + x2 + 1 w postaci wielomianów rzeczywistych nierozkładalnych w R[x].

48. Pokazać, że 0x01 graphic
jest liczbą algebraiczną nad Q. Znajdź wielomian w Q[x] pierwiastkiem którego jest liczba 0x01 graphic
.

49. Znajdź warstwy lew- i prawostronne podgrup H= A3 i K={(1), (12)} w grupie S3.

50. Znajdź grupę ilorazową S3/A3.

51. Znajdź grupę ilorazową {Z/5Z, +}.

52. Zapisz tabelkę dodawania i mnożenia w pierścieni Z2 ×Z3.

53. Wykazać, że K=Z2[x]/(x2+x+1) jest ciałem. Zapisać tabelkę operacji w K.

54. Wykazać, że K=Z3[x]/(x2+1) jest ciałem. Ile elementów ma ciało K?

55. Wykazać, że K=Z3[x]/(x3+2x+1) jest ciałem. Ile elementów ma ciało K?



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
leki do zaliczenia studenci, Studia - ratownictwo medyczne, 3 rok, Zawansowane procedury ratunkowe
Zakres problematyki do zaliczenia przedmiotu-w, studia pedagogiczne, Psychologia rozwoju człowieka
zagadnienia do egzaminu z algebry, Matematyka stosowana, Algebra, zagadnienia do egzaminu z algebry
Przykładowe pytania egzaminacyjne z algebry, Studia, Informatyka, Semestr I, Algebra z geometrią, Eg
Gewert M, Skoczylas Z Wstęp do analizy i algebry Teoria, przykłady, zadania wyd 2
pytania do zaliczenia, Studia, geologia
Komentarz do przykladowej pracy zaliczeniowej, Komentarz do przykładowej pracy zaliczeniowej:
Zagadnienia do kolokwium zaliczeniowego 2014, studia PWr, wprowadzenie do inżynierii chemicznej
Przykładowe pytania na zaliczenie ar, Studia, Materiały z inzynierii, Semestr III, Analiza ryzyka
Konc. zarz. - zagadnienia do zaliczenia, Studia mgr, Koncepcje - cwiczenia opracowania
A Mostowski Zarys teorii Galois cz 02 Zastosowanie do równań algebraicznych
typy gleb zaliczanych do rzędu brunatnoziemnych, Studia, 2-stopień, magisterka, Ochrona Środowiska,
Przykłady z mnożenia i dzielenia do 30, Kształtowanie kompetencji matematycznych dziecka
Przykładowe pytania do rozmowy kwalifikacyjnej, Studia
Biznes Plan - gotowy przykład na zaliczenie, RÓŻNOŚCI DO POBRANIA
Sygnały elektryczne, aaa, studia 22.10.2014, Materiały od Piotra cukrownika, Teoria Obwodow, przykła

więcej podobnych podstron