Zaliczenie - 2012
Podzielność liczb całkowitych. Wlasności.
Algorytm Euklidesa. Rozszerzony algorytm Euklidesa.
Liczby pierwsze i ich własności.
Funkcja Eulera
Twierdzenie Eulera. Male twierdzenie Fermata
Kongruencje liniowe
Chińskie twierdzenie o resztach
Równania diofantyczne
Działanie binarne
Grupy i ich własności
Podgrupy, podgrupy normalne, warstwy i grupy ilorazowe
Homomorfizmy, izomorfizmy grup
Twierdzenie o homomorfizmie grup
Grupa permutacji
Pierścienie, definicje i przykłady.
Dzielniki zera i dziedzina całkowitości.
Ciała, definicje i przykłady.
Podpierścieni i homomorfizmy pierścieni. Jądro i obraz homomorfizmu.
Ciało kwaternionów.
Ideały pierścieni.
Pierścień ilorazowy.
Pierścień ideałów głównych.
Iloczyn prosty grupy i pierścieni.
Wielomiany jednej zmiennej.
Algorytm Euklidesa dla wielomianów jednej zmiennej.
Schemat Hornera.
Pierwiastki wielomianu. Twierdzenie Bezout.
Pierścienie Euklidesowe.
Rozszerzony algorytm Euklidesa dla wielomianów jednej zmiennej.
Największy wspólny dzielnik wielomianów.
Wielomiany nad ciałem liczb zespolonych i liczb rzeczywistych.
Wielomiany o współczynnikach całkowitych i wymiernych.
Wielomiany nierozkładalne
Kryterium Eisensteina
Rozszerzenie ciał
Ciała skończone
Liczby algebraiczne i przestępne
Ciała algebraiczne domknięte
Przykłady do zaliczenia z algebry
1. Sprawdzić, które z liczb 123, 653, 1241 są pierwsze.
2. Rozłóż liczbę 849 na czynniki pierwsze w Z.
3. Wyznaczyć iloraz oraz resztę przy dzieleniu liczby całkowitej a przez liczbę całkowitą b,
jeśli:
.
4. Obliczyć za pomocą algorytmu Euklidesa:
NWD(1540, 756).
NWD(2891, 1589).
5. Znajdź liczby x,y ∈Z takie że
33x+42y=NWD(33,42).
.
6. Obliczyć funkcję Eulera
ϕ(144).
ϕ(60)
ϕ(250)
ϕ(1000000)
ϕ(1053)
ϕ(5844)
7. Znajdź resztę:
20032005 (mod 100)
95351 (mod 14)
45133 (mod 6)
10100 + 11100 (mod 17)
6100 (mod 35)
8900 (mod 29)
5966 (mod 17)
13216 (mod 19)
8. Udowodnić:
x7 ≡ x (mod 42)
x561 ≡ x (mod 11)
9. Udowodnić:
52n+3 + 33n+3 ⋅ 2n ≡ 0 (mod 10)
13⋅(-50)n + 17⋅ 40n -30 ≡ 0 (mod 1989)
3099 + 61100 ≡ 0 (mod 31)
43101 + 23101 ≡ 0 (mod 66)
1110 - 1 ≡ 0 (mod 100)
7120 - 1 ≡ 0 (mod 143)
10. Znajdź ostatnią cyfra:
2555, 3140, 13219, 17500
11. Znajdź dwie ostatnie cyfry:
3130, 3159, 7444, 105100
12. Udowodnić:
26n+1 + 32n+2 ≡ 0 (mod 11)
13. Rozwiąż kongruencję:
8x ≡ 5 (mod 11)
3x ≡ 2 (mod 4)
25x ≡ 8 (mod 29)
14. Wyznaczyć wszystkie całkowite rozwiązania równania
27x+15y=13
12x+20y=14
11x+31y=1
15. Obliczyć τσ, στ2, στσ-1, στ-3, gdzie
σ =
, τ =
,
16. Znaleźć permutacje
spełniającą równanie
, gdzie
17. Które z następujących zbiorów są grupami względem danego działania. Uzasadnij
odpowiedzi.
Zbiór {-1,1} względem mnożenia liczb;
Zbiór liczb zespolonych, dla których
względem dodawania.
18. Jakiego rzędu podgrupy mogą istnieć w grupie
? Znajdź wszystkie podgrupy grupy
.
19. W grupie M2(Z) macierzy nieosobliwych względem mnożenia macierzy obliczyć rzędy
elementów
,
20. Udowodnić, że Z[i]= {a+bi | i2=-1; a,b ∈Z } jest pierścienią.
21. Udowodnić, że Q[√7] = { a+b√7 | a,b ∈ Q } jest podpierscienią w R.
22. Udowodnić, że Z6 jest pierścienią z dzielnikami zero.
23. Udowodnić, że Z5 jest pierścienią bez dzielników zero.
24. Sprawdzić, czy funkcja f: M2(R) → R, f(A) = det(A) dla A ∈ M2(R), jest homomorfizmem pierścieni. Jeśli jest, to wyznaczyć Ker(f) oraz Im(f).
25. Obliczyć w ciele kwaternionów: u +v, uv, u-1, v-1, gdzie
u= 2e+j-5k, v= e+2i-j
26. Obliczyć w ciele kwaternionów: u +v, uv, u-1, v-1, gdzie
u= e-j+3k, v= i-4k
27. Obliczyć (2x3+3x2+1)(2x2+x+2) w pierścieni wielomianów Z4[x].
28. Obliczyć NWD wielomianów
x3-7x2+12x-4 oraz x2+x-6 w Z[x].
x4+1 oraz x2+1 w Z[x].
7(x-1)3(x+2)2(x-3)(x2+4)2 ∈R[x] oraz -3(x-1)(x+2)3(x-3)2(x2+4) ∈R[x]
x3 - 7x2 +12x -4 oraz x2 + x - 6 w R[x].
29. Znaleźć wartość wielomianu x5+ 2x4 +x3 + 4x2+3x + 1 w pierścieni wielomianów Z5[x] dla x=4.
30. Znajdź wielomiany s(x),t(x) ∈Z3[x] takie, że a(x) s(x) +b(x)t(x)=NWD(a(x),b(x)), gdzie a(x)= x4+x+1, b(x)=x3 + x2 +x ∈Z3[x].
31. Znaleźć a,b ∈ R, dla których wielomian 2x3 -3x2 -ax +b ∈ R[x] przy dzieleniu przez x+1 daje resztę 7, a przy dzieleniu przez x-1 daje resztę 5.
32. Obliczyć wszystkie pierwiastki wielomianu f(x) = 2x4+x3+ x2+3x+3 w pierścieniu Z5[x].
33. Obliczyć wszystkie pochodne wielomianu f(x) = 2x4+3x3+2 x2+3x+3 w pierścieniu Z4[x].
34. Podzielić 17+11i przez 3+4i w Z[i].
35. Podzielić 3x4+4x3-x2+5x-1 przez 2x2+x+1 w Q[x].
36. W pierścieniu Z5[x] podzielić wielomian f(x) = 2x4+x3+ x2+3x+3 przez wielomian g(x)=3x2+x+4.
37. Korzystając ze schematu Hornera określić krotność pierwiastka x0=4 wielomianu f(x) = 3x4+3x3+x2+4 w pierścieni Z5[x].
38. Znaleźć wszystkie pierwiastki całkowite wielomianu P(x) = x4 - 7x3 + 4x2 +3
39. Stosując kryterium Eisensteina sprawdzić, czy wielomian
f(x) = x4 -6x3 + 18x2 +12x-10
jest rozkładalny w pierścieniu Q[x].
40. Rozłóż wielomian x3-4x +1 na czynniki nierozkładalne w Q[x].
41. Rozłóż wielomian x5-1 na czynniki nierozkładalne w Q[x].
42. Rozłóż wielomian x3-4x +1 na czynniki nierozkładalne w Q[x].
43. Znając, że x1=1+2i jest pierwiastkiem wielomianu P(x) = x4-x3+x2+9x-10, znaleźć pozostałe pierwiastki tego wielomianu.
44. Znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu P(z) = 2z2 +(6-2i)z + 4 -3i
45. Rozłożyć wielomian W(z) = z4 +1 na iloczyny dwumianów w C[x].
46. Przedstawić wielomian W(z) = x4 + 16 w postaci wielomianów rzeczywistych nierozkładalnych w R[x].
47. Przedstawić wielomian W(z) = x4 + x2 + 1 w postaci wielomianów rzeczywistych nierozkładalnych w R[x].
48. Pokazać, że
jest liczbą algebraiczną nad Q. Znajdź wielomian w Q[x] pierwiastkiem którego jest liczba
.
49. Znajdź warstwy lew- i prawostronne podgrup H= A3 i K={(1), (12)} w grupie S3.
50. Znajdź grupę ilorazową S3/A3.
51. Znajdź grupę ilorazową {Z/5Z, +}.
52. Zapisz tabelkę dodawania i mnożenia w pierścieni Z2 ×Z3.
53. Wykazać, że K=Z2[x]/(x2+x+1) jest ciałem. Zapisać tabelkę operacji w K.
54. Wykazać, że K=Z3[x]/(x2+1) jest ciałem. Ile elementów ma ciało K?
55. Wykazać, że K=Z3[x]/(x3+2x+1) jest ciałem. Ile elementów ma ciało K?