0x08 graphic
DOLNOŚLĄSKIE MECZE MATEMATYCZNE

EDYCJA V - ROK SZKOLNY 2005/06

GIMNAZJA - FINAŁY (duży i mały)

  1. Znajdź wszystkie pary liczb rzeczywistych (x,y) spełniające nierówność:

2x2 − 2x + 2 − 6xy + 13y2 + 4y > 0.

  1. Udowodnij, że w trójkącie dwusieczna kąta, symetralna boku leżącego naprzeciw tego kąta i okrąg opisany na tym trójkącie mają punkt wspólny.

  1. Kwadrat liczby naturalnej ma jednakowe cyfry jedności i dziesiątek. Jakie to cyfry?

  1. Dla jakich n równanie: x1+x2+...+xn = x1⋅x2⋅...⋅xn ma w liczbach naturalnych rozwiązanie składające się z n różnych liczb?

  1. Znajdź punkt wewnątrz czworościanu foremnego, dla którego suma odległości od ścian tego czworościanu jest najmniejsza.

  1. Znajdź wszystkie liczby całkowite x i y spełniające równanie: x2+x+1= y2.

  1. Trapez ABCD, w którym 0x01 graphic
    , spełnia warunki: AB = AD = BC > CD. M jest punktem leżącym na 0x01 graphic
    , takim że figury BCDM i ABM mają równe pola. Udowodnij, że mają też równe obwody.

  1. Która liczba jest większa: 1⋅2⋅3⋅...⋅2005⋅2006 czy 10032006?

  1. Niech p i q będą różnymi liczbami pierwszymi. Oznaczmy przez n liczbę p⋅q100. Ile spośród elementów zbioru {1, 2, 3, ..., n} jest względnie pierwszych z n?

(DEFINICJA: liczby naturalne k i l nazywamy względnie pierwszymi, jeśli NWD(k,l)=1).

  1. W 2006 punktach płaszczyzny stoją 1003 duchy i 1003 pogromców. Żadne 3 z tych punktów nie leżą na jednej prostej. Pogromca obezwładnia ducha, wysyłając w jego kierunku strumień protonów, który jest przez ducha pochłaniany (tzn. nie biegnie dalej). Strumienie protonów nie mogą mieć punktów wspólnych, ponieważ zaburza to czasoprzestrzeń i jest niesłychanie niebezpieczne. Czy jest możliwe, aby pogromcy obezwładnili wszystkie duchy jednocześnie?

0x01 graphic